[v0.1] 기본 가정 및 공리

Qaether라는 최소단위 공간을 정의하게 된 이유는, 우주를 더 이상 배경적 연속체로 보지 않고, 가장 미세한 단위의 공간 요소들이 만들어내는 작용과 상호작용으로부터 우주의 구조와 현상을 기술하고자 했기 때문이다.

이를 위해서는 먼저 공간의 최소 단위인 Qaether를 정의하고, 이 Qaether들이 어떻게 결합하는지를 명확히 기술해야 했다. 결합 구조로는 3차원 공간에서 가장 자발적으로 형성되기 쉬운 구조로 알려진 FCC 격자를 채택하였다. 동일한 크기의 구형 요소들이 무작위로 쌓일 경우, FCC 구조로 정렬될 확률이 높기 때문에 물리적으로 자연스러운 전제로 볼 수 있다.

또한 Qaether 간의 결합은 실제 회전 동역학에서 에너지를 최소화하는 방식으로 이루어져야 하기 때문에, 스핀 상태에 따른 결합 규칙을 정의하였다. 이는 결합의 안정성과 선택성을 동시에 보장한다.

Qaether는 플랑크 길이 크기의 최소 공간 단위로 가정되기 때문에, 이 위에서 발생할 수 있는 모든 진동 파장은 \(\ell_p\)의 정수배로 제한된다. 따라서 진동 모드도 이산화되고, 그 진동 위상의 변화량을 통해 **시간이 발현(emerge)**되는 구조로 모델링된다.

마지막으로, Qaether가 결합되지 못한 방향은 국소적인 공간 비대칭성을 유발하며, 이러한 비대칭성은 곧 **공간 결핍(tensor deficit)**으로 이어지고, 이는 곡률로 해석되어 중력 현상의 기초를 형성한다.

 

 

- 우리가 살고 있는 우주는 플랑크 길이 스케일의 이산적인 공 모양의 최소 공간 단위인 Qaether들의 결합망으로 구성된다. Qaether의 지름은 플랑크 길이 \(\ell_p\)와 같다.

- Qaether는 결합 텐서, 스핀 텐서, 진동 텐서를 자체적으로 가지며, 이 텐서들은 플랑크 스케일에서 작동하므로 모두 이산 수학적으로 계산이 가능하다.

- 결합 텐서와 관련하여, Qaether는 가장 안정적인 구조인 FCC (face-centered cubic) 격자 구조를 기반으로 결합하며, 결합 가능한 방향은 FCC 격자의 최근접 12개 방향으로 이산 양자화된다:

- 따라서 결합 방향 벡터들의 평균을 구할 수 있으며, 이는 연속적이 아니라 이산적으로 계산된다. 다음은 가능한 결합 방향 벡터 값들이다:

$$\left\{\frac{1}{2}(\pm1, \pm1, 0),\ \frac{1}{2}(\pm1, 0, \pm1),\ \frac{1}{2}(0, \pm1, \pm1)\right\}$$

- 스핀 텐서는 Qaether 공간의 회전을 나타낸다. 하지만 플랑크 스케일에서는 회전 중간 위상의 관측이 불가능하다고 가정하므로, 회전은 이산적으로 발생하고 스핀 조건은 다음과 같다:

$$S_z \in \{+1, 0, -1\}$$

- 이 스핀 조건에 따라 Qaether는 결합을 시도하며, 결합 안정 조건은 $$S_i = -S_j$$ 일 때 성립하고, 이 경우에만 $$\delta^{\text{spin}}_{ij} = 1$$ 이 된다.

- Qaether의 고유 진동 모드는 파장 \(\lambda_n = n \ell_p\) 를 따르며, 이에 따른 진동수는 다음과 같이 정의된다:

$$\omega_n = \frac{2\pi c_v}{n\ell_p} \quad (\text{여기서 } c_v \text{는 위상 전달 속도이며, 빛의 속도 } c \text{와 일치한다고 가정된다})$$

- 이 진동은 결합 거리 및 방향 \(\vec{x}_{ij}\) 에 따라 이산적으로 위상을 가지며, 진동 모드 수 \(n \in \mathbb{N}\) 는 진동 에너지에 대응된다.

- 진동 위상은 다음과 같이 정의되며, 시간은 이 위상 변화의 누적을 진동수로 정규화한 내재적 양(emergent quantity)이다:

$$t_{\text{eff}} = \frac{\Delta \phi}{\omega_n}$$

- 따라서 실제 결합 구조는 이상적 FCC 격자를 기반으로 하되, 스핀 조건을 만족하는 방향만 포함하는 유도된 부분 격자(subgraph of FCC)로 구성되며, 그 위에서 결합이 발생한다.

- Qaether는 완전한 구형이므로 모든 방향에 대해 완전 결합은 불가능하고, 결합망에서 스핀 조건을 만족하지 못해 결합되지 않은 방향들의 텐서곱 평균을 통해 국소 결핍 곡률 텐서 \(D^i_{abc}\) 를 정의할 수 있다.

- 이러한 국소적 공간 결핍은 Qaether 당 기본적인 중력 텐서로 작용하며, 결합되지 않은 방향들의 누적 구조가 중력 현상의 기초를 이룬다.

- 위의 내용을 통합하여 Qaether의 상태를 다음과 같은 이산 텐서로 표현할 수 있다:

$$Q^{sn}_{\mu\nu f}$$

여기서 \(\mu, \nu, f\): 결합 방향 벡터 인덱스, \(s\): 스핀 상태, \(n\): 진동 모드 인덱스를 나타낸다. 이 텐서는 결합, 스핀, 진동 상태를 통합한 Qaether의 완전한 상태를 기술한다.

- 이러한 방식으로 Qaether 간 결합망의 위상 구조가 곧 ‘공간’ 그 자체를 이룬다.

- 이 모델에서 시간은 외재적 연속 변수가 아니라, 결합 위상 변화의 누적 \(\Delta \phi\) 를 통해 발현되는 내재적 emergent quantity이다.