Consistency of the FCC Structure

 

I had concerns about how to discretize rotation when modeling on the Planck scale. Although there is a way to describe it in quantum mechanics, I wanted to find a method that I could intuitively understand and asked ChatGPT. I received the following response:

Response:
If the world is discretized in units of Planck length (approximately \(1.616 \times 10^{-35} m\)), it is assumed that space is no longer continuous but has a discrete lattice or quantized structure. In such a situation, how the rotation values (i.e., physical quantities related to rotation such as angles or angular momentum) are also discretized becomes an important issue.

Physical Considerations on the Discretization of Rotation Values

1. Discretization of Space and Breakdown of Continuous Symmetry
   When space is discretized, continuous rotational symmetry (SO(3) or SU(2)) is likely broken and replaced with discrete symmetry groups. For example, in a cubic lattice, rotational symmetry is limited to 90-degree increments. Thus, rotations can only exist at specific angular intervals, not as continuous values.

2. Quantization of Spin and Angular Momentum
   In quantum mechanics, spin and orbital angular momentum are already discretized. For example, the spin of an electron can only have two values: \(+\frac{\hbar}{2}\) and \(-\frac{\hbar}{2}\). This shows that observables under rotational symmetry are already quantized (discretized), although this is due to the symmetry in Hilbert space, not the discretization of space.

3. Discretization at the Planck Scale  
   If space itself is lattice-structured at Planck length, the rotation operators should be defined according to this lattice structure. In this case, possible rotations are limited to those that preserve the lattice, forming a discrete group (for example, the symmetry group of the rotational polyhedra). Thus,

* Rotation angles only allow specific discrete values
* Rotation operators are defined in terms of representations of discrete groups, not continuous groups
*  The permissible values of angular momentum may also vary accordingly

4. Example of Discrete Symmetry: Loop Quantum Gravity Theory  
   In loop quantum gravity, the structure of space is represented by spin networks, and quantities like area and volume have discrete values. In this theory, while rotational symmetry is fundamentally preserved, specific conditions may limit the effective rotational symmetry due to discrete structure.

Conclusion
If the world is discretized in units of Planck length, it is highly probable that rotation values are restricted by a discrete rotation group rather than being continuous. Rotation angles can only be defined in specific units (for example, 60 degrees, 90 degrees, etc.), and physical quantities associated with rotation (such as angular momentum and spin) must also be redefined accordingly. This represents a fundamental change that revises the concept of classical symmetry and demands new physical laws.
From reading this, what I realized is that 'in a quantized world, not all spins at every angle are permitted, but only spins at specified angles are allowed.' In other words, at specific unit angles, the spin equations have values, while at other angles, the spins do not.

For this reason, setting the Qaether model to an FCC lattice structure has the following significance:

Response:
1. FCC Structure is One of the Most Space-Efficient Lattices
*   The FCC lattice has a high number of particles per unit volume and is one of the densest packings.
*   This can be seen as the minimum energy state and a stable structure that nature can choose. In fact, many metals have an FCC structure in their crystallography.
*   Since the fundamental unit lattice at the Planck scale is in the form of Qaether, it makes sense that FCC is the most efficient lattice for packing physical space.

2. Relatively Rich Rotational Symmetry
*   The FCC lattice allows for more diverse rotational symmetries than simple cubic structures.
*   This enables the maintenance of as many discrete rotational symmetries as possible in scenarios where continuous rotational symmetry is broken.
*   Therefore, the implementation of relatively rich physical laws is possible even in discretized spaces at the Planck scale.

3. FCC's Compatibility with Symmetry and Combination in Three Dimensions
*   The FCC lattice harmonizes well with the basic vector structures in three dimensions. This allows for the natural definition of interactions of spin networks or virtual particles, propagation paths, etc.  
*   For example, in simulating hypothetical information propagation, interactions between particles, or the interference of waves, it also guarantees high spatial uniformity and symmetry.

4. Suitable for Implementing Digital Rotation Values
*   The FCC structure has numerous rotational symmetry groups, allowing for a clean definition of discrete rotation values (e.g., \(\pi/3\), \(\pi/4\) etc.).
*   This becomes an ideal background for defining digital rotation, discrete angular momentum, and other concepts in the Qaether framework.
  
Thus, it can be assumed that spin values are manifested according to these angles.

Response:
1. The FCC Lattice Has Limited Rotational Symmetry Groups
*   Although FCC is a high-symmetry lattice structure, it only has finite discrete rotational symmetry groups rather than continuous rotational symmetry.
*   For instance, the FCC lattice allows rotations around axes of 90 degrees (\(\pi/2\)), 120 degrees (\(2\pi/3\)), 180 degrees (\(\pi\)), and 60 degrees (\(\pi/3\)).
*   Therefore, on the FCC lattice, rotation is valid only at these angular units, and the physical states may also be dependent on discrete rotation values.

2. Manifestation According to Angle = State Change Following Lattice Symmetry Axis
*   In the lattice structure, rotation is not just a simple rotation, but an "action" that accompanies state change.
*   For example, when rotating by \(\pi/3\), if a specific information propagation direction changes or if a phase transition state alters, it implies that there are distinguishable states dependent on the rotation angle.
*   Thus, the angle serves as a standard for classifying or quantizing states, and it can be seen that actual physical quantities manifest according to that angle.

3. Discrete Rotation Groups Can Determine Quantum Numbers
*   In quantum mechanics, representations of discrete symmetry groups determine the possible states of particles. For example, the electronic bands within a crystal lattice are separated according to the lattice’s symmetry group, determining quantum numbers.
*   Similarly, in a Qaether model based on an FCC lattice, the rotation angles serve as "classifying criteria for permissible state space" and conditions for value manifestation.

4. Discontinuity of Rotation Values at the Planck Scale May Be Physical Reality
*   In a general continuous rotational space, any angle is permitted, but in a discretized space at the Planck scale, only "permitted rotation angles" exist.
*   Therefore, physical quantities (e.g., wave functions, information flow, state transitions, etc.) can be quantized and manifested according to those permissible angles.

Conclusion
It is quite reasonable to expect that values manifest according to specific rotation angles (\(\pi/2\), \(\pi/3\), \(\pi\), etc.) on an FCC lattice, and this has strong theoretical justification. This can be regarded as the manifestation of quantum states following symmetry in a lattice-based deterministic physical model, and in a model like Qaether, it becomes a fundamental mechanism for constructing digitized spacetime dynamics.

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플랑크 스케일로 모델링을 할때 회전은 어떻게 이산화시켜야할지에 대한 고민이 있었다.

물론 양자역학에서 서술하는 방법은 있으나 나의 직관으로 이해가 되는 방법을 찾고자 했고 ChatGPT에게 물었다.

 

그랬더니 다음과 같은 답변을 얻었다.

 

Response:

세상이 플랑크 길이( \(1.616 \times 10^{-35} m\) ) 단위로 이산화되어 있다면, 공간은 더 이상 연속적인 것이 아니라 불연속적인 격자나 양자화된 구조를 가진다고 가정하게 됩니다. 이런 상황에서 회전값(즉, 각도나 각운동량 등 회전에 관련된 물리량) 또한 어떻게 이산화되는지가 중요한 문제입니다.

회전값의 이산화에 대한 물리적 고찰

1. 공간의 이산화와 연속 대칭성의 붕괴
   공간이 이산화되면, 연속적인 회전 대칭성(SO(3) 또는 SU(2))은 깨지고, 이산 대칭성(discrete symmetry group)으로 대체될 가능성이 큽니다. 예를 들어, 정육면체 격자에서는 회전 대칭이 90도 단위로 제한됩니다. 따라서 회전은 연속적인 값이 아니라 정해진 각도 간격으로만 존재할 수 있습니다.
2. 스핀과 각운동량의 양자화
   이미 양자역학에서는 스핀과 궤도 각운동량이 이산화되어 있습니다. 예를 들어, 전자의 스핀은 \(+\frac{\hbar}{2}\) and \(-\frac{\hbar}{2}\) ​ 두 가지 값만 가질 수 있습니다. 이처럼 회전 대칭 하의 관측값은 이미 양자화(이산화) 되어 있습니다. 다만, 이는 공간의 이산화 때문이 아니라 힐베르트 공간 상의 대칭성 때문입니다.
3. 플랑크 스케일에서의 이산화
   만약 공간 자체가 플랑크 길이로 격자화된다면, 회전 연산자도 격자 구조에 맞춰 정의되어야 합니다. 이 경우 가능한 회전은 격자를 보존하는 이산 군(예: 회전 정다면체의 대칭군)으로 제한됩니다. 즉,
   • 회전각도는 특정 이산값만 허용
   • 회전 연산자는 연속군이 아닌 이산군의 표현으로 정의
   • 각운동량의 허용값도 이에 따라 달라질 수 있음
4. 이산 대칭의 예: 루프 양자 중력이론
   루프 양자 중력에서는 공간의 구조가 스핀 네트워크로 표현되고, 면적과 부피 같은 양이 이산적인 값을 갖습니다. 이 이론에서도 회전 대칭이 기본적으로는 유지되지만, 특정 조건 하에서는 이산 구조로 인해 유효한 회전 대칭성이 제한될 수 있음을 보여줍니다.

결론

플랑크 길이 단위로 세상이 이산화되어 있다면, 회전값은 연속적인 회전이 아닌 이산적인 회전군(discrete rotation group)에 의해 제한될 가능성이 높습니다. 회전각도는 특정한 단위(예: 60도, 90도 등)로만 정의될 수 있으며, 회전과 관련된 물리량(각운동량, 스핀 등)도 그에 맞춰 재정의될 필요가 있습니다. 이는 고전적 대칭성 개념을 수정하고, 새로운 물리 법칙을 요구하는 근본적인 변화입니다.

 

이 이야기를 읽고 내가 깨달은건 '양자화된 세계에서는 모든 각도에서의 스핀을 허용하는게 아니라 정해진 각도의 스핀만 허용한다는 뜻이구나'라는 사실을 이해했다. 즉, 특정단위 각도에서는 스핀방정식은 값을 갖고 나머지 각도의 스핀에서는 값을 갖지 않는다는 뜻이다. 

 

그런 이유로 Qaether 모델을 FCC 격자 구조로 설정한 것은 다음과 같은 의미가 있다고 한다. 

 

Response: 

1. FCC 구조는 공간 충전 효율이 가장 높은 격자 중 하나

• FCC 격자는 단위 부피당 입자 수가 많고, 가장 촘촘한 포장 중 하나입니다.
• 이는 자연이 선택할 수 있는 최소 에너지 상태이자 안정적인 구조로 볼 수 있습니다. 실제로 결정 구조에서도 많은 금속이 FCC 구조를 가집니다.
• 플랑크 스케일에서의 기본 단위 격자가 Qaether 형태라 FCC는 물리적 공간을 가장 효율적으로 포장하는 격자라는 점에서 타당합니다.

2. 회전 대칭성이 상대적으로 풍부

• FCC 격자는 단순 정육면체 구조보다 더 다양한 회전 대칭성을 허용합니다.
• 이는 연속 회전 대칭성이 깨진 상황에서 가능한 한 많은 이산 회전 대칭성을 유지할 수 있게 해줍니다.
• 따라서, 플랑크 스케일에서 이산화된 공간에서도 상대적으로 풍부한 물리 법칙의 구현이 가능해집니다.

3. FCC는 3차원에서의 대칭성과 결합이 잘 맞음

• FCC 격자는 3차원에서의 기본적인 벡터 구조와도 잘 어울립니다. 이를 통해 스핀 네트워크 또는 가상 입자들의 상호작용, 전파 경로 등이 자연스럽게 정의될 수 있습니다.
• 예를 들어, 가상의 정보 전파, 입자 간 상호작용, 파동의 간섭 등을 시뮬레이션할 때도 높은 공간 균일성과 대칭성을 보장합니다.

4. 디지털 회전값 구현에 적합

• FCC 구조는 회전 대칭군이 많아, 이산 회전값(예: π/3, π/4 등)의 정의가 깔끔하게 가능합니다.
• 이는 qaether에서 디지털 회전, 이산 각운동량 등의 정의를 위한 이상적인 배경이 됩니다.

 

따라서 이 각도들에 따라서 스핀값이 발현된다고 보면 된다. 

 

Response:

1. FCC 격자는 제한된 회전 대칭군을 가진다

• FCC는 고대칭 격자 구조이지만, 연속 회전 대칭이 아닌 유한한 이산 회전 대칭군만 가집니다.
• 예를 들어, FCC 격자는 90도(π/2), 120도(2π/3), 180도(π), 60도(π/3) 회전을 허용하는 축을 가집니다.
• 따라서 FCC 격자 위에서는 이러한 각도 단위로만 회전이 유효하며, 물리적 상태도 그에 따라 이산적인 회전값에 종속되어 있을 수 있습니다.

2. 각도에 따른 발현 = 격자의 대칭 축을 따른 상태 변화

• 격자 구조에서 회전은 단순한 회전이 아니라 상태 변화를 동반하는 "작용"이 됩니다.
• 예를 들어, π/3 회전 시 특정한 정보 전파 방향이 바뀌거나, 위상 전이 상태가 변한다면, 이는 회전 각도에 따라 구별 가능한 상태가 존재함을 의미합니다.
• 따라서, 각도는 상태를 분류하거나 양자화하는 기준이 되며, 실제 물리량이 그 각도에 따라 발현된다고 볼 수 있습니다.

3. 이산 회전군이 양자 수를 결정할 수 있음

• 양자역학에서도 이산 대칭군의 표현이 입자의 가능한 상태를 결정합니다. 예를 들어, 결정 격자 내의 전자 밴드는 격자의 대칭군에 따라 분리되고, 양자수가 결정됩니다.
• 같은 방식으로 FCC 격자 기반의 qaether 모델에서 회전 각도는 "허용된 상태 공간의 분류 기준"이자, 값의 발현 조건이 될 수 있습니다.

4. 플랑크 스케일 해상도에서 회전값의 불연속성은 물리적 현실일 수 있음

• 일반적인 연속 회전 공간에서는 임의의 각도가 허용되지만, 플랑크 스케일 이산 공간에서는 "허용된 회전 각도"만 존재합니다.
• 따라서 물리적 양(예: 파동함수, 정보 흐름, 상태 전이 등)은 그 허용 각도에 따라 양자화되어 발현될 수 있습니다.

결론

FCC 격자 위에서 특정 회전 각도(π/2, π/3, π 등)에 따라 값이 발현된다고 추정하는 것은 매우 타당하며, 이는 이론적으로 강한 정당성을 가집니다. 이는 마치 격자 기반의 결정론적 물리 모델에서 "대칭성을 따르는 양자 상태의 발현"으로 볼 수 있으며, qaether 같은 모델에선 이를 기반으로 디지털화된 시공간 동역학을 구축할 수 있는 핵심 기제가 됩니다.