위상차 양자화 증명 (v1.1)

FCC 격자에서 위상차가 \(\displaystyle\pi/6\) 단위로 양자화된다는 완전 증명

핵심 결론: 모든 링크 \((i,j)\)의 총위상차는     $$  \boxed{\;\;\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}=m_{ij}\,\frac{\pi}{6}, \qquad m_{ij}\in\mathbb Z\;}$$

격자 전체의 위상 자유도는
$$\displaystyle U(1)\big/\mathbb Z_{12}\,\simeq\,C_{12}$$
로 축소된다.

 

0. 전제와 기호

기호 의미

\(l_p\)	구(셀) 사이 중심‑간 거리 = 진동 파장
\(\phi_i\)	셀 \(i\)의 이산 위상
$$\chi_{ij}=e^{i\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}}$$	링크 변수
$$\chi_\ell=\prod_{(ab)\in\ell}\chi_{ab}$$	루프 변수
\(N_\ell\)	루프에 포함된 셀 수 (삼각 3, 사각 4, …)
$$\Lambda_\ell=\Lambda_0\,\pi\hbar c/(l_p N_\ell)$$	루프 되돌림 토크 강도

 

Qaether의 위상 동역학방정식:

$$I_i(m_i)\,\ddot\phi_i =\sum_{j\in\mathcal N(i)}\!\![K_{ij}-\mathfrak A_s P_i]\;\Im\chi_{ij} +\sum_{\ell\ni i}\frac{\Lambda_\ell}{N_\ell}\,\Im(\chi_\ell\chi_{i\ell}^*). \tag{1}$$

 

1. 동역학이 강제하는 안정 조건

정상 상태( \(\phi_i=0\) )에서 (1)의 두 번째 합은

$$\Im(\chi_\ell)=\sin\Phi_\ell=0 \;\;\Longrightarrow\;\; \Phi_\ell\equiv\sum_{(ab)\in\ell}\!\Delta\phi_{ab}^{\rm tot}=2\pi n_\ell,\qquad n_\ell\in\mathbb Z. \tag{2}$$

\(\Lambda_\ell\propto 1/N_\ell\) 이므로 짧은 루프(삼각, 사각)가 위상을 강하게 잠금 한다.
(2)는 물리적 메커니즘을 수식으로 보여준다.

 

2. 기본 루프별 위상 조건

대칭성 가정 없이 \(\Delta\phi\)를 개별 변수로 두고 삼각(△)·사각(□) 루프 식을 적는다.

$$\begin{aligned} \Delta\phi_{12}+\Delta\phi_{23}+\Delta\phi_{31}&=2\pi n_\triangle,\\ \Delta\phi_{12}+\Delta\phi_{23}+\Delta\phi_{34}+\Delta\phi_{41}&=2\pi n_\square. \end{aligned} \tag{3}$$

 

3. 루프 공유 선분 → 선형 제약

삼각 △(1,2,3)과 사각 □(1,2,4,5)가 링크 (1‑2)를 공유하면 (3)을 빼서

$$\underbrace{\Delta\phi_{31}-\Delta\phi_{34}-\Delta\phi_{41}}_{\text{공유하지 않는 세 링크}} \;=\;2\pi\,(n_\triangle-n_\square). \tag{4}$$

이 관계가 격자 전역으로 전파되어 모든 \(\Delta\phi\)가 단일 최소 단위를 갖게 된다.

 

4. 정수론적 최소 단위 도출 (GCD 접근)

삼각 루프만 보면
\(3\,\Delta\phi = 2\pi \mathbb Z\).
사각 루프만 보면
\(4\,\Delta\phi = 2\pi \mathbb Z\).

두 조건을 동시에 만족하는 \(\Delta\phi\)의 최소 양수는

$$\theta_0=\gcd\!\Bigl(\tfrac{2\pi}{3},\,\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=\frac{\pi}{6}. \tag{5}$$

 

5. LCM 검증 — \(C_{12}\) 위상군

(5)는

$$3\theta_0=2\pi/2,\qquad 4\theta_0=2\pi/3$$

을 만족 ⇒ 공통 분모는 \(\operatorname{lcm}(3,4)=12\)
따라서

$$\Delta\phi_{ij}^{\rm tot}=k_{ij}\frac{2\pi}{12}=m_{ij}\frac{\pi}{6},\quad k_{ij},m_{ij}\in\mathbb Z, \tag{6}$$

즉 12차 순환군 \(C_{12}\).

 

6. 비균일 결합·결함에도 불변성

• \(K_{ij},P_i,\Lambda_\ell\)이 위치마다 달라도
  \(\Lambda_\triangle>\Lambda_\square\) 관계만 유지되면
  짧은 루프가 먼저 (6)으로 잠기고, 긴 루프 항은 \(\sin(2\pi n)=0\)이라 불변.
• 결함(디슬론) 주변에서도 (2)가 위상 전하를
  \(\mathbb Z_{12}\) 값으로 양자화 →$$\pi_1\!\bigl(U(1)/\mathbb Z_{12}\bigr)=\mathbb Z_{12}$$

 

7.긴 루프 자동 만족

\(N_\ell\ge 8\)이면 \(\Lambda_\ell\)이 작아 위상 잠금 기여가 미미.
그러나 (6)을 이미 만족하는 링크 조합은
$$\Phi_\ell=\sum\Delta\phi_{ab}= \frac{\pi}{6}\times 12 n =2\pi n$$
→ 긴 루프도 자동으로 (2) 충족.

 

8. 정리

1. 동역학 토크 (1)가 루프 양자화(2)를 실제로 강제.
2. 정수론 (5)과 선형 제약(4)이 만나 \(\theta_0=\pi/6\) → \(C_{12}\) 위상군(6) 확정.
3. 격자 불균일성·결함·장주기 루프에도 불변.

 

따라서 FCC 격자의 모든 링크 위상차는 \(\displaystyle \pi/6\) 배수로만 존재할 수 있다.
이는 향후 디슬론 전하, 음향·스핀 모드, 유효 게이지 계산의 필수 경계조건이자, 동역학적으로 안정한 유일한 해이다.