[v2.4] Qaether Theory: Static Boundary-Graph Axioms

Static Boundary-Graph Foundation with Flat $SU(2)$ Vertex State and $C_4$-Oriented Square Sector

0. Core Statement

Qaether 이론의 지금 버전은 정적 boundary-graph foundation이다.

이 버전의 핵심은 다음이다.

\[
\boxed{
\text{Qaether}=\text{vertex}
}
\]

\[
\boxed{
\text{primitive bond}=\text{edge}
}
\]

\[
\boxed{
\text{primitive structures are boundary structures}
}
\]

\[
\boxed{
\text{no filled faces, no filled volumes}
}
\]

즉 Qaether 이론은 채워진 면이나 채워진 부피를 기본 존재자로 두지 않는다.
기본 구조는 vertex–edge network와 그 위의 selected boundary cycles, boundary motifs이다.

v2.4의 정적 기초는 세 층으로 구성된다.

\[
\boxed{
\text{boundary incidence layer}
}
\]

\[
\boxed{
\text{vertex-induced flat }SU(2)\text{ relative-phase layer}
}
\]

\[
\boxed{
C_4\text{-oriented square structural layer}
}
\]

Part 0. Introduction

0.1 Purpose

Qaether 이론의 목적은 공간을 연속체로 먼저 가정하지 않고, 공간의 최소 단위와 그 관계망으로부터 기하학적·물리학적 구조가 어떻게 생길 수 있는지 탐구하는 것이다.

기본 흐름은 다음이다.

 

minimum units of space $\rightarrow$ contact graph $\rightarrow$ boundary cycles $\rightarrow$ T/O motifs
$\rightarrow$ emergent structure-like sectors

 

여기서 Qaether는 배경공간 속을 움직이는 입자가 아니다.

\[
\boxed{
\text{Qaether is not a particle inside space.}
}
\]

오히려 Qaether는 공간 자체를 구성하는 최소 단위이다.

\[
\boxed{
\text{Qaether is a minimum unit of space itself.}
}
\]

따라서 Qaether 이론에서 “운동”은 일반적인 입자 운동보다는 다음 구조들의 변화로 해석된다.

\[
\boxed{
\text{graph adjacency rearrangement}
}
\]

\[
\boxed{
\text{motif-network evolution}
}
\]

\[
\boxed{
\text{defect propagation}
}
\]

\[
\boxed{
\text{internal }SU(2)\text{ state evolution}
}
\]

0.2 Present Status

Qaether 이론은 완성된 물리 이론이 아니라 pre-geometric structural toy model 또는 boundary-graph motif model for emergent physics-like structures이다.

Qaether 이론은 일반 상대론을 완전히 유도했다거나 양자장 이론을 완전히 유도했다거나 표준 모형을 유도했다는 뜻으로 만들어지지 않았다. 대신 이 이론을 통해 공간 단위와 boundary motif 구조만으로 물리량-like sector의 기반을 만들 수 있는가에 관심을 두고 있다.

0.3 Scope

이 버전에서 정의하는 것은 다음이다.

• Qaether ontology
• Qaether graph
• geometric realization
• primitive triangular and square boundary cycles
• $T/O$ boundary motifs
• $SU(2)$ vertex state
• flat edge-induced loop holonomy
• $C_4$-oriented square double cover

이 버전에서 아직 정의하지 않는 것은 다음이다.

• $n_\square$ oriented square polarity
• $Q_O$ O-frame structural charge
• $\Pi_\triangle$ central triangular parity
• $\kappa_\square$ color-like square observable
• confinement-like dynamics

즉 $(n_\square,\ Q_O,\ \Pi_\triangle,\ \kappa_\square)$는 이후 따로 정의하겠다.

Part I. Qaether Configuration and Boundary-Graph Ontology

1.1 Qaether configuration

Qaether configuration은 다음 자료로 정의한다.

\[ Q_{2.4} =
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\pi_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
\]

여기서 $
G_Q=(V,E)
$는 Qaether graph이다.

각 성분의 의미는 다음과 같다.

\[
\boxed{
V=\text{Qaether vertices}
}
\]

\[
\boxed{
E=\text{primitive bonds}
}
\]

\[
\boxed{
\rho:V\to\mathbb{R}^3
\quad
\text{geometric realization}
}
\]

\[
\boxed{
\ell_Q>0
\quad
\text{contact/exclusion scale}
}
\]

\[
\boxed{
q:V\to SU(2)
\quad
\text{vertex quaternionic state}
}
\]

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle = \text{selected primitive triangular boundary-cycle family}
}
\]

\[
\boxed{
\mathcal C_\square = \text{selected primitive square boundary-cycle family}
}
\]

\[
\boxed{
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square) = \text{oriented }C_4\text{-double cover of square supports}
}
\]

\[
\boxed{
\pi_\square:
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)\to\mathcal C_\square
}
\]

는 orientation-forgetting projection이다.

\[
\boxed{
\mathcal M_T = \text{tetrahedral boundary motif family}
}
\]

\[
\boxed{
\mathcal M_O = \text{octahedral boundary motif family}
}
\]

1.2 Qaether ontology

기본 존재론은 다음이다.

\[
\boxed{
\text{Qaether}=\text{vertex}
}
\]

즉 Qaether는 vertex로 표현된다.
하지만 이는 단순 계산용 점이 아니라, 공간의 최소 단위를 나타내는 존재론적 단위이다.

두 Qaether 사이의 primitive adjacency는 edge이다.

\[
\boxed{
\text{primitive bond}=\text{edge}
}
\]

따라서 Qaether graph는

\[
\boxed{
G_Q=(V,E)
}
\]

이다.

1.3 Simple graph axiom

Qaether graph는 simple graph이다.

\[
\boxed{
E\subseteq
\left\{
\{v,w\}:v,w\in V,\ v\neq w
\right\}
}
\]

따라서 edge는 ordered pair가 아니라 unordered pair이다.

Self-loop는 허용하지 않는다.

\[
\boxed{
\{v,v\}\notin E
}
\]

Multiple edge도 허용하지 않는다.

1.4 No filled faces and no filled volumes

Qaether 이론은 채워진 면과 채워진 부피를 기본 존재자로 두지 않는다.

따라서 primitive cycles는 filled 2-face가 아니다.

\[
\boxed{
C_\triangle,C_\square\neq\text{filled 2-faces}
}
\]

또한 $T$-motif와 $O$-motif는 filled 3-cell이 아니다.

\[
\boxed{
T,O\neq\text{filled 3-cells}
}
\]

이론의 기본 구조는 boundary graph이다.

1.5 Boundary structure principle

Qaether 이론에서 다루는 primitive structures는 다음이다.

vertices, edges, boundary cycles, boundary motifs

즉,

\[
\boxed{
\text{primitive cycle}=\text{2D boundary closure}
}
\]

\[
\boxed{
\text{primitive motif}=\text{3D-realized boundary graph with distinguished cycle incidence}
}
\]

이다. 이 구분을 다시 정리해보면 다음과 같다.

$(C_\triangle, C_\square)$는 2D boundary closure이고, $(T, O)$는 3D boundary graph motif이다.

1.6 Injective geometric realization

Qaether graph는 geometric realization을 가진다.

\[
\boxed{
\rho:V\to\mathbb{R}^3
}
\]

서로 다른 Qaether는 같은 위치를 점유하지 않는다.

\[
\boxed{
v\neq w
\quad\Longrightarrow\quad
\rho(v)\neq\rho(w)
}
\]

이는 $\rho$가 injective임을 뜻한다. 단, $\rho$는 배경공간이 더 근본적이라는 의미가 아니다.
Qaether에서 $\rho$는 boundary graph와 motif의 기하학적 realization을 표현하기 위한 구조이다.

1.7 Local finiteness

Qaether graph는 locally finite해야 한다.

\[
\boxed{
\forall v\in V,
\qquad
\deg(v)<\infty
}
\]

또한 geometric realization도 locally finite해야 한다.

\[
\boxed{
\forall K\Subset\mathbb{R}^3,
\qquad
|\rho^{-1}(K)|<\infty
}
\]

즉 유한한 물리적 영역 안에는 유한 개의 Qaether만 존재한다.

1.8 Contact/exclusion scale

\[
\boxed{
\ell_Q>0
}
\]

는 Qaether의 primitive contact/exclusion scale이다.

서로 다른 Qaether는 최소 거리 조건을 만족한다.

\[
\boxed{
v\neq w
\quad\Longrightarrow\quad
|\rho(v)-\rho(w)|\ge \ell_Q
}
\]

Primitive bond는 contact scale에서만 허용된다.

\[
\boxed{
\{v,w\}\in E
\quad\Longrightarrow\quad
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q
}
\]

그러나 역은 공리가 아니다.

\[
\boxed{
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q
\not\Longrightarrow
\{v,w\}\in E
}
\]

따라서 $E$는 단순한 거리관계가 아니다.

\[
\boxed{
E=\text{selected primitive boundary incidence}
}
\]

Part II. Primitive Boundary Motifs

2.1 Motif principle

Motif는 채워진 3차원 물체가 아니다.

\[
\boxed{
\text{motif}\neq\text{filled 3-cell}
}
\]

Qaether 이론에서 motif는 다음 자료를 포함한다.

\[
\boxed{
\text{motif} = \text{1-skeleton boundary graph} + \text{distinguished boundary-cycle incidence}
}
\]

Primitive boundary motif는 두 종류이다.

\[
\boxed{
\mathcal M_{\mathrm{prim}} = \mathcal M_T\sqcup\mathcal M_O
}
\]

즉, $T$ = tetrahedral boundary motif, $O$ = octahedral boundary motif 이다.

2.2 Tetrahedral boundary motif

$T$-motif는 다음을 만족하는 element이다.

\[
\boxed{
T\in\mathcal M_T
}
\]

with data

\[
\boxed{
T=
\left(
V_T,
G_Q[V_T],
\mathcal C_\triangle(T)
\right)
}
\]

where

\[
\boxed{
V_T=\{a_0,a_1,a_2,a_3\}\subset V
}
\]

그리고 네개의 vertex는 서로 모두 다르다.

2.3 Tetrahedral boundary graph

모든 쌍 $(i\neq j)$에 대해 다음과 같다.

\[
\boxed{
\{a_i,a_j\}\in E
}
\]

그래서,

\[
\boxed{
G_Q[V_T]\cong K_4
}
\]

따라서 $T$-motif는 tetrahedral boundary graph이다.

\[
\boxed{
T \text{ is a } K_4\text{ boundary motif.}
}
\]

2.4 Tetrahedral geometric nondegeneracy

네 개의 기하학적 점은 하나의 평면에 놓이지 않아야 하며 affine span이 3차원이어야 한다. 즉, 3차원 공간에서 비퇴화(nondegenerate) 상태여야 한다:

\[
\boxed{
\dim\operatorname{aff}
\{\rho(a_0),\rho(a_1),\rho(a_2),\rho(a_3)\}
=3
}
\]

$T$의 모든 edge들은 primitive bonds이므로 6개 모든 edge 길이는 $\ell_Q$이다.

따라서 $T$의 geometric realization은 regular tetrahedral boundary graph이다.
그러나

\[
\boxed{
T\neq\text{filled tetrahedron}
}
\]

2.5 Tetrahedral triangular boundary cycles

$(T)$-모티프는 정확히 4개의 구별된 삼각형 경계 사이클을 가진다.

각 $(i=0,1,2,3)$에 대해, 만약

\[
V_T\setminus\{a_i\} = \{a_j,a_k,a_l\},
\]

라면 다음을 정의한다.

\[
\boxed{
C_\triangle^{(i)} = [a_j,a_k,a_l]_{D_3}
}
\]

그러면

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle(T) =
\left\{
C_\triangle^{(0)},
C_\triangle^{(1)},
C_\triangle^{(2)},
C_\triangle^{(3)}
\right\}
}
\]

이고

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle(T)\subseteq\mathcal C_\triangle
}
\]

이다. 따라서

\[
\boxed{
|\mathcal C_\triangle(T)|=4
}
\]

이며

\[
\boxed{
T\sim 4C_\triangle
}
\]

이다. 여기서 $(\sim)$는 경계 사이클 결합(incidence) 분해를 의미하며 채워진 면으로의 분해를 뜻하지 않는다.

2.6 No primitive square inside (T)

$(K_4)$ 내부의 모든 4-사이클은 현(chord)을 가진다.
따라서 $(T)$-모티프는 내부에 원시 현 없는(chordless) 정사각형 경계 사이클을 포함하지 않는다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(T)=\varnothing
}
\]

그러므로,

\[
\boxed{
T\sim 4C_\triangle,
\qquad
T\not\sim C_\square
}
\]

2.7 Octahedral boundary motif

$(O)$-모티프는 다음 데이터를 가지는 원소 $O\in\mathcal M_O$ 이다.

\[
\boxed{
O=
\left(
V_O,
\mathcal P_O,
G_Q[V_O],
\mathcal C_\triangle(O),
\mathcal C_\square(O)
\right)
}
\]

여기서

\[
\boxed{
V_O =
\left\{
x_1^+,x_1^-,
x_2^+,x_2^-,
x_3^+,x_3^-
\right\}
\subset V
}
\]

이며 6개의 꼭짓점은 서로 다르다.

마주보는 쌍(opposite-pair) 구조는 다음과 같다.

\[
\boxed{
\mathcal P_O =
\left\{
\{x_1^+,x_1^-\},
\{x_2^+,x_2^-\},
\{x_3^+,x_3^-\}
\right\}
}
\]

2.8 Octahedral boundary graph

서로 다른 꼭짓점 $(x_i^\epsilon,x_j^\delta\in V_O)$에 대하여,

\[
\boxed{
\{x_i^\epsilon,x_j^\delta\}\in E
\quad\Longleftrightarrow\quad
i\neq j
}
\]

여기서

\[
i,j\in\{1,2,3\},
\qquad
\epsilon,\delta\in\{+,-\}.
\]

따라서 마주보는 쌍은 에지가 아니다.

\[
\boxed{
\{x_i^+,x_i^-\}\notin E
}
\]

마주보지 않는 모든 쌍은 에지이다.

그러므로

\[
\boxed{
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}
}
\]

이것이 팔면체 경계 그래프이다.

2.9 Octahedral geometric realization

중심점

\[
\boxed{
c\in\mathbb{R}^3
}
\]

과 정규직교 공간 프레임

\[
\boxed{
(u_1,u_2,u_3)
}
\]

이 존재하여 다음을 만족한다.

\[
\boxed{
\rho(x_i^\pm) = c\pm\frac{\ell_Q}{\sqrt{2}}u_i
}
\]

$(i\neq j)$에 대하여 거리는

\[
\boxed{
|\rho(x_i^\epsilon)-\rho(x_j^\delta)|=\ell_Q
}
\]

이며, 마주보는 쌍의 거리는

\[
\boxed{
|\rho(x_i^+)-\rho(x_i^-)|=\sqrt{2}\ell_Q
}
\]

이다. 따라서 $(O)$의 기하학적 실현은 정팔면체 경계 그래프이다.

하지만 채워진 팔면체는 아니다.

\[
\boxed{
O\neq\text{filled octahedron}
}
\]

2.10 Three orthogonal square boundary cycles of (O)

$(O)$-모티프는 3개의 구별된 정사각형 경계 사이클을 가진다.

\[
\boxed{
C_\square^{(1)} = [x_2^+,x_3^+,x_2^-,x_3^-]_{D_4}
}
\]

\[
\boxed{
C_\square^{(2)} = [x_1^+,x_3^+,x_1^-,x_3^-]_{D_4}
}
\]

\[
\boxed{
C_\square^{(3)} = [x_1^+,x_2^+,x_1^-,x_2^-]_{D_4}
}
\]

이들은 각각 다음 평면에 놓여 있다.

\[
\boxed{
c+\operatorname{span}(u_2,u_3)
}
\]

\[
\boxed{
c+\operatorname{span}(u_1,u_3)
}
\]

\[
\boxed{
c+\operatorname{span}(u_1,u_2)
}
\]

따라서 이들은 서로 직교하는 정사각형 경계 사이클이다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(O) =
\left\{
C_\square^{(1)},C_\square^{(2)},C_\square^{(3)}
\right\}
\subseteq
\mathcal C_\square
}
\]

그러므로

\[
\boxed{
O\sim 3C_\square^\perp
}
\]

2.11 Eight triangular boundary cycles of (O)

각 $(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3$에 대하여, 다음을 정의한다.

\[
\boxed{
C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3} = [x_1^{\epsilon_1},x_2^{\epsilon_2},x_3^{\epsilon_3}]_{D_3}
}
\]

그러면

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle(O) =
\left\{
C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3}
:
(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3
\right\}
\subseteq
\mathcal C_\triangle
}
\]

따라서

\[
\boxed{
|\mathcal C_\triangle(O)|=8
}
\]

이며

\[
\boxed{
O\sim 8C_\triangle
}
\]

이다.

2.12 O-motif incidence decomposition

$(O)$-모티프는 두 가지 경계 사이클 결합(incidence) 분해를 동시에 가진다.

\[
\boxed{
O\sim 3C_\square^\perp
}
\]

그리고

\[
\boxed{
O\sim 8C_\triangle
}
\]

그러므로,

\[
\boxed{
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle
}
\]

이것은 채워진 면이나 채워진 부피 분해가 아니다. 하나의 팔면체 경계 그래프가 3개의 구별된 직교 정사각형 경계 사이클과 8개의 구별된 삼각형 경계 사이클을 지닌다는 것을 의미한다.

2.13 O-square edge incidence proposition

모든 $(O)$-모티프에 대하여,

\[
\boxed{
E(O) = E(C_\square^{(1)}) \sqcup E(C_\square^{(2)}) \sqcup E(C_\square^{(3)})
}
\]

따라서 3개의 O-정사각형 사이클은 12개의 O-에지를 정확히 한 번씩 덮는다(cover).

동등하게 표현하면,

\[
\boxed{
\forall e\in E(O),
\qquad
\#\{C_\square\in\mathcal C_\square(O):e\in E(C_\square)\}=1
}
\]

이다.

2.14 O-triangle edge incidence proposition

모든 $(O)$-에지에 대하여,

\[
\boxed{
\forall e\in E(O),
\qquad
\#\{C_\triangle\in\mathcal C_\triangle(O):e\in E(C_\triangle)\}=2
}
\]

따라서 팔면체 경계 그래프의 각 에지는 정확히 두 개의 삼각형 경계 사이클에 속한다.

2.15 Motif cycle families

$(T)$-모티프의 경우,

\[
\boxed{
\mathcal C(T)=\mathcal C_\triangle(T)
}
\]

$(O)$-모티프의 경우,

\[
\boxed{
\mathcal C(O) = \mathcal C_\triangle(O)\cup\mathcal C_\square(O)
}
\]

따라서, 만약 $(T)$-모티프와 $(O)$-모티프가 구별된 원시 경계 사이클을 공유한다면, 그 공유된 사이클은 반드시 삼각형이어야 한다.

\[
\boxed{
C\in\mathcal C(T)\cap\mathcal C(O)
\quad\Longrightarrow\quad
C\in\mathcal C_\triangle
}
\]

그러므로 정사각형 경계 사이클은 T/O 사이클 수준의 인터페이스가 될 수 없다.

\[
\boxed{
C_\square\text{ is not a T/O interface cycle}
}
\]

이 진술은 $(T)$와 $(O)$가 꼭짓점이나 에지를 공유하는 것을 금지하지 않는다. 단지 구별된 원시 경계 사이클을 공유하는 경우만을 제한하는 것이다.

Part III. T/O Reference Geometry and Cuboctahedral Local Order

3.1 Status of Part III

Part III은 경계-그래프 존재론 단독으로 자동 유도되는 내부 정리가 아니다.

대신, 이것은 기하학적 참조(reference) 층이다.

\[
\boxed{
\text{Part III provides ideal local admissibility criteria for Qaether motif networks.}
}
\]
(Part III은 Qaether 모티프 네트워크를 위한 이상적인 국소 허용 기준을 제공한다.)

참조 모델은 유클리드 3차원 공간의 정사면체-정팔면체 기하학이다.

따라서 다음 결과들은 도입된 기하학적 참조 정리 또는 이상적인 국소 질서 기준으로 취급된다.

\[
\boxed{
\text{T/O complex theorem}
\Rightarrow
\text{Qaether local-order criterion}
}
\]

이 구분은 Qaether 모티프가 채워진 3-셀(filled 3-cells)이 아니라 경계 그래프이기 때문에 필수적이다.

3.2 Tetrahedron-only obstruction

채워진 유클리드 정사면체 복합체 설정에서, 정사면체만으로는 결함 없는 면대면(face-to-face) $\mathbb{R}^3$ 채움을 형성할 수 없다.

정사면체 이면각(dihedral angle)은 다음과 같다.

\[
\boxed{
\alpha_{\mathrm{tet}} = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)
}
\]

다음을 만족하는 정수 $(m\ge 1)$는 존재하지 않는다.

\[
\boxed{
m\alpha_{\mathrm{tet}}=2\pi
}
\]

따라서 정사면체만으로 이루어진 결함 없는 유클리드 복합체는 존재하지 않는다.

Qaether 해석:

\[
\boxed{
T\text{-only regular Euclidean closure is obstructed.}
}
\]
(T-전용 정칙 유클리드 닫힘은 방해받는다.)

따라서 $(T)$-전용 구역(sector)은 곡률(curvature)이나 좌절(frustration) 같은 것으로 해석될 수 있으나, 이는 참조 기하학의 해석일 뿐 경계 그래프 자체의 자동적인 정리는 아니다.

3.3 Mixed T/O reference geometry

정팔면체 이면각은 다음과 같다.

\[
\boxed{
\alpha_{\mathrm{oct}} = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)
}
\]

그리고

\[
\boxed{
\alpha_{\mathrm{oct}} = \pi-\alpha_{\mathrm{tet}}
}
\]

결함 없는 채워진 정칙 T/O 복합체에서, 에지-각도 닫힘 조건은 모든 내부 에지 주위에 정확히 2개의 사면체와 2개의 팔면체를 강제한다.

\[
\boxed{
2T+2O
}
\]

Qaether 해석:

\[
\boxed{
\text{Ideal defect-free T/O local order is modeled by }2T+2O\text{ edge incidence.}
}
\]
(이상적인 결함 없는 T/O 국소 질서는 $2T+2O$ 에지 결합으로 모델링된다.)

이것은 경계 그래프 존재론에 의해 자동으로 부여되는 것이 아니다. 참조 T/O 기하학에서 도입된 이상적인 국소 질서 기준이다.

3.4 TOTO and TTOO edge types

이상적인 $(2T+2O)$ 에지 결합이 주어질 때, 두 가지 기본 순환 유형이 있다.

교대형(Alternating type):

\[
\boxed{
T-O-T-O
}
\]

이것을 다음이라 부른다.

\[
\boxed{
TOTO}
\]

군집형(Clustered type):

\[
\boxed{
T-T-O-O
}
\]

이것을 다음이라 부른다.

\[
\boxed{
TTOO}
\]

해석:

\[
\boxed{
TOTO=\text{ideal alternating local order (이상적인 교대 국소 질서)}
}
\]

\[
\boxed{
TTOO=\text{clustered or weakly defective local order (군집되거나 약한 결함이 있는 국소 질서)}
}
\]

\[
\boxed{
\text{non-}2T+2O=\text{defect relative to the ideal T/O criterion (이상적 T/O 기준에 대한 결함)}
}
\]

3.5 Vertex link reference structure

채워진 T/O 복합체에서 꼭짓점 주위의 국소 구조는 꼭짓점 링크(vertex link)를 사용해 연구된다.

사면체는 꼭짓점 링크에 삼각형 면을 기여한다.

\[
\boxed{
T\rightarrow \triangle
}
\]

팔면체는 꼭짓점 링크에 정사각형 면을 기여한다.

\[
\boxed{
O\rightarrow \square
}
\]

따라서 참조 꼭짓점 링크는 삼각형-정사각형 구면 도형(spherical figure)이다.

여기서 말하는 삼각형 면과 정사각형 면은 Qaether의 채워진 면이 아니라, 참조 $T/O$ complex의 vertex link에 나타나는 spherical link face이다.

3.6 Reference local counting

결함 없는 채워진 정칙 T/O 참조 복합체에서, 국소 카운팅은 다음과 같다:

\[
\boxed{
t_v=8
}
\]

\[
\boxed{
o_v=6
}
\]

여기서 $(t_v)$는 꼭짓점에 결합된 사면체의 수이고, $(o_v)$는 팔면체의 수이다.

꼭짓점 링크는 다음과 같은 면 벡터를 가진다.

\[
\boxed{
(f_0,f_1,f_2)=(12,24,14)
}
\]

그리고 다음과 같은 구성을 가진다.

\[
\boxed{
8\text{ triangles}+6\text{ squares}
}
\]

Qaether 해석:

\[
\boxed{
\text{The ideal dense T/O motif neighborhood is cuboctahedral-like.}
}
\]
(이상적이고 조밀한 T/O 모티프 이웃은 육팔면체 형태를 띤다.)

3.7 Cuboctahedral vertex figure

교대 에지 조건 하에서, 참조 꼭짓점 링크는 육팔면체(cuboctahedral) 구면 도형이 된다.

\[
\boxed{
\operatorname{Lk}(v)\cong \Sigma_{\mathrm{co}}
}
\]

여기서 $(\Sigma_{\mathrm{co}})$는 다음을 가진다.

\[
\boxed{
12\text{ vertices (꼭짓점)}
}
\]

\[
\boxed{
24\text{ edges (에지)}
}
\]

\[
\boxed{
8\text{ triangular faces (삼각형 면)}
}
\]

\[
\boxed{
6\text{ square faces (정사각형 면)}
}
\]

Qaether 해석:

\[
\boxed{
\Sigma_{\mathrm{co}}
\text{ is the ideal alternating local order figure for dense T/O motif networks.}
}
\]
($\Sigma_{\mathrm{co}}$는 조밀한 T/O 모티프 네트워크를 위한 이상적인 교대 국소 질서 도형이다.)

3.8 Role in Qaether v2.4-1.1

T/O 참조 기하학은 국소 질서 벤치마크로 사용된다.

이는 시뮬레이션과 분류를 위한 기준을 제공한다:

\[
\boxed{
2T+2O\text{ edge incidence}
}
\]

\[
\boxed{
TOTO/TTOO\text{ edge type}
}
\]

\[
\boxed{
\text{cuboctahedral vertex figure detection (육팔면체 꼭짓점 도형 감지)}
}
\]

\[
\boxed{
\text{motif-network defect classification (모티프 네트워크 결함 분류)}
}
\]

하지만 이들은 경계 그래프 자체만으로 도출되는 자동적인 결과가 아니다.

정확한 지위:

\[
\boxed{
\text{T/O geometry is an ideal reference model for Qaether local order.}
}
\]
(T/O 기하학은 Qaether 국소 질서를 위한 이상적인 참조 모델이다.)

Part IV. Primitive Boundary Cycles

4.1 Cycle principle

원시 사이클은 경계 사이클이며 채워진 면이 아니다.

\[
\boxed{
C_\triangle,C_\square=\text{boundary cycles (경계 사이클)}
}
\]

\[
\boxed{
C_\triangle,C_\square\neq\text{filled faces (채워진 면)}
}
\]

원시 사이클은 그래프의 모든 사이클을 의미하지 않는다. 그것은 선택된 물리적 경계 사이클이다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle,\mathcal C_\square
\text{ are distinguished subfamilies of graph cycles.}
}
\]

4.2 Unoriented boundary support

경계 결합 수준에서 원시 사이클은 방향이 없다(unoriented).

$(n)$-사이클 지지체(support)는 다음과 같다.

\[
\boxed{
C_n=[v_0,\dots,v_{n-1}]_{D_n}
}
\]

순환 회전(Cyclic rotations)은 동일하게 취급된다.

\[
\boxed{
[v_0,v_1,\dots,v_{n-1}] = [v_1,v_2,\dots,v_0]
}
\]

역순(Reversal) 또한 경계 지지체 수준에서 동일하게 취급된다.

\[
\boxed{
[v_0,v_1,\dots,v_{n-1}] = [v_0,v_{n-1},\dots,v_1]
}
\]

따라서 경계 결합은 $(D_n)$-몫공간(quotient)을 사용한다.

\[
\boxed{
\text{boundary support level}=D_n\text{-quotient}
}
\]

4.3 Primitive triangular boundary cycle

원시 삼각형 경계 사이클은 다음과 같다.

\[
\boxed{
C_\triangle=[v_0,v_1,v_2]_{D_3}
}
\]

여기서 $(v_0,v_1,v_2)$는 서로 다르다.

그 에지 집합은 다음과 같다.

\[
\boxed{
E(C_\triangle) =
\left\{
\{v_0,v_1\},
\{v_1,v_2\},
\{v_2,v_0\}
\right\}
}
\]

그리고

\[
\boxed{
E(C_\triangle)\subseteq E
}
\]

기하학적 실현은 비퇴화되어야 한다.

\[
\boxed{
\dim\operatorname{aff}
\{\rho(v_0),\rho(v_1),\rho(v_2)\}
=2
}
\]

모든 에지의 길이는 $(\ell_Q)$이므로, $(C_\triangle)$는 정삼각형 경계 사이클이다.

하지만 채워진 삼각형 면은 아니다.

\[
\boxed{
C_\triangle\neq\text{filled triangular face}
}
\]

4.4 Primitive square boundary cycle

원시 정사각형 경계 사이클은 다음과 같다.

\[
\boxed{
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
}
\]

여기서 $(v_0,v_1,v_2,v_3)$는 서로 다르다.

그 에지 집합은 다음과 같다.

\[
\boxed{
E(C_\square) =
\left\{
\{v_0,v_1\},
\{v_1,v_2\},
\{v_2,v_3\},
\{v_3,v_0\}
\right\}
}
\]

그리고

\[
\boxed{
E(C_\square)\subseteq E
}
\]

4.5 Chordless square condition

원시 정사각형 경계 사이클은 현이 없어야(chordless) 한다.

\[
\boxed{
\{v_0,v_2\}\notin E
}
\]

\[
\boxed{
\{v_1,v_3\}\notin E
}
\]

따라서 원시 정사각형은 대각선 에지에 의해 두 개의 원시 삼각형으로 분해되지 않는다.

4.6 Genuine planar square condition

네 점은 평면상에 있어야 하며 비퇴화되어야 한다.

\[
\boxed{
\dim\operatorname{aff}
\{\rho(v_0),\rho(v_1),\rho(v_2),\rho(v_3)\}
=2
}
\]

평행사변형 중심 조건은 다음과 같다.

\[
\boxed{
\rho(v_0)+\rho(v_2) = \rho(v_1)+\rho(v_3)
}
\]

대각선 길이 조건은 다음과 같다.

\[
\boxed{
|\rho(v_0)-\rho(v_2)| = |\rho(v_1)-\rho(v_3)| = \sqrt{2}\ell_Q
}
\]

네 경계 에지는 접촉 척도 공리에 의해 길이 $(\ell_Q)$를 가진다.

따라서 $(C_\square)$는 완전한 평면형의 현 없는 정사각형 경계 사이클(genuine planar chordless square boundary cycle)이다.

하지만 채워진 정사각형 면은 아니다.

\[
\boxed{
C_\square\neq\text{filled square face}
}
\]

4.7 Square cycles belong to the O-sector

선택된 모든 원시 정사각형 경계 사이클은 적어도 하나의 $(O)$-모티프에 속한다.

\[
\boxed{
\forall C_\square\in\mathcal C_\square,
\quad
\exists O\in\mathcal M_O
\quad
\text{such that}
\quad
C_\square\in\mathcal C_\square(O)
}
\]

이 공리는 $(\mathcal C_\square)$ 안의 선택된 원시 정사각형 사이클에 적용되는 것이지, 부수적으로 생기는 모든 그래프 4-사이클에 적용되는 것이 아니다.

따라서,

\[
\boxed{
C_\square\text{ belongs to the O-sector (정사각형 사이클은 O-구역에 속한다)}
}
\]

반면에,

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(T)=\varnothing
}
\]

이다.

4.8 Triangle cycles as T/O interfaces

$(T)$-모티프와 $(O)$-모티프는 구별된 원시 삼각형 경계 사이클을 공유할 수 있다.

\[
\boxed{
C_\triangle\in\mathcal C(T)\cap\mathcal C(O)
}
\]

이러한 경우, $(C_\triangle)$는 T/O 사이클 수준의 인터페이스이다.

하지만 정사각형 사이클은 T/O 사이클 수준의 인터페이스가 아니다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\square\cap\mathcal C(T)\cap\mathcal C(O)=\varnothing
}
\]

4.9 Bond incidence principle

모든 원시 결합(bond)은 적어도 하나의 원시 경계 사이클이나 원시 경계 모티프에 속해야 한다.

\[
\boxed{
\forall e\in E,
\quad
\exists X\in
\mathcal C_\triangle
\sqcup
\mathcal C_\square
\sqcup
\mathcal M_T
\sqcup
\mathcal M_O
\quad
\text{such that}
\quad
e\in E(X)
}
\]

여기서

\[
\boxed{
E(C_\triangle)=\text{three boundary edges of }C_\triangle
}
\]

\[
\boxed{
E(C_\square)=\text{four boundary edges of }C_\square
}
\]

\[
\boxed{
E(T)=\text{six edges of }K_4
}
\]

\[
\boxed{
E(O)=\text{twelve edges of }K_{2,2,2}
}
\]

따라서 에지는 고립된 원시 객체가 아니다. 그것은 적어도 하나의 원시 경계 사이클이나 모티프에 의해 구조적으로 지지된다.

Part V. Quaternionic Vertex State and Flat Induced Holonomy

5.1 Quaternionic vertex state

각 Qaether 꼭짓점은 단위 사원수 상태(unit quaternionic state)를 지닌다.

\[
\boxed{
q_v\in SU(2)\cong\mathbb H_1
}
\]

동등하게,

\[
\boxed{
q:V\to SU(2)
}
\]

값 $(q_v)$는 내부 꼭짓점 상태이다.

이 단계에서, $(q_v)$ 자체만으로는 아직 스핀, 전하 또는 곡률을 정의하지 않는다.

5.2 Oriented edge set

그래프 에지는 방향이 없지만, 상대 위상을 정의하기 위해서는 방향을 가진 에지가 필요하다.

다음을 정의한다.

\[
\boxed{
E^{\mathrm{or}} = \{(v,w)\in V\times V:\{v,w\}\in E\}
}
\]

원소 $(v,w)\in E^{\mathrm{or}}$는 방향이 선택된 에지이다.

5.3 Relative quaternionic phase

$(v,w)\in E^{\mathrm{or}}$에 대해 다음을 정의한다.

\[
\boxed{
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
}
\]

그러면

\[
\boxed{
h_{wv}=h_{vw}^{-1}
}
\]

이고

\[
\boxed{
h_{vw}\in SU(2)
}
\]

이다.

5.4 Edge phases are not independent link variables

상대 위상 $(h_{vw})$는 꼭짓점 상태로부터 유도된다.

\[
\boxed{
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
}
\]

따라서 이것은 독립적인 링크 변수가 아니다.

\[
\boxed{
h_{vw}\text{ is not an independent gauge-link variable.}
}
\]

이 점이 독립적인 에지 변수를 가지는 격자 게이지 이론(lattice gauge theory)과 Qaether v2.4-1.1을 구분 짓는다.

5.5 Closed loop holonomy

다음을 닫힌 그래프 루프라고 하자.

\[
\boxed{
C=(v_0,v_1,\dots,v_n=v_0)
}
\]

여기서 모든 $(i)$에 대해

\[
\boxed{
\{v_i,v_{i+1}\}\in E
}
\]

를 만족한다.

에지에서 유도된 루프 홀로노미(edge-induced loop holonomy)를 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
h_C = h_{v_0v_1} h_{v_1v_2} \cdots h_{v_{n-1}v_0}
}
\]

다음을 사용하면,

\[
h_{v_iv_{i+1}} = q_{v_i}^{-1}q_{v_{i+1}},
\]

다음과 같이 연쇄 소거되어 상쇄된다.

\[
h_C = q_{v_0}^{-1}q_{v_1} q_{v_1}^{-1}q_{v_2} \cdots q_{v_{n-1}}^{-1}q_{v_0} = 1_{SU(2)}
\]

따라서 모든 닫힌 그래프 루프에 대해,

\[
\boxed{
h_C=1_{SU(2)}
}
\]

이다.

5.6 Flat vertex-induced holonomy

유도된 $(SU(2))$ 상대 위상 층은 평탄(flat)하다.

\[
\boxed{
\text{All edge-induced loop holonomies are trivial.}
}
\]
(모든 에지 유도 루프 홀로노미는 자명하다.)

따라서

\[
\boxed{
\text{Qaether v2.4-1.1 has no loop-holonomy curvature.}
}
\]
(Qaether v2.4-1.1은 루프-홀로노미 곡률을 가지지 않는다.)

향후에 나타날 곡률, 패리티, 또는 좌절(frustration) 같은 양은 반드시 모티프나 호환성 수준에서 별도로 정의되어야 한다.

5.7 Vertex product versus edge holonomy

다음 두 가지 양은 서로 다르다.

첫째,

\[
\boxed{
h_C = \prod_{\text{edges of }C}q_v^{-1}q_w
}
\]

는 에지에서 유도된 루프 홀로노미이다. 이것은 항상 연쇄 소거되어 $(1)$이 된다.

둘째,

\[
\boxed{
\Pi_C = \prod_{\text{vertices of }C}q_v
}
\]

는 꼭짓점-사이클 곱(vertex-cycle product)이다. 이것은 에지 홀로노미가 아니다.

따라서 나중에 프레임이 부여된 모티프가

\[
\boxed{
\Pi_C=-1
}
\]

을 생성하더라도, 이것이

\[
\boxed{
h_C=-1
}
\]

을 의미하지 않는다.

이 구분은 필수적이다.

\[
\boxed{
\Pi_C\neq h_C
}
\]

꼭짓점 곱은 프레임 해석을 요구하며 평탄한 에지 홀로노미 정리의 일부가 아니다.

5.8 Role of the (SU(2)) vertex state

$(SU(2))$ 꼭짓점 상태는 나중에 다른 구조들을 구축할 수 있는 내부 사원수 층을 제공한다.

가능한 향후 구조들은 다음과 같다.

\[
\boxed{
\text{spinor-like sign structure (스피너 형태의 부호 구조)}
}
\]

\[
\boxed{
\text{O-frame central parity (O-프레임 중심 패리티)}
}
\]

\[
\boxed{
\text{square phase ordering (정사각형 위상 정렬)}
}
\]

\[
\boxed{
\text{motif compatibility defects (모티프 호환성 결함)}
}
\]

하지만 v2.4-1.1에서 유일하게 정의된 정리는 평탄한 유도 홀로노미 뿐이다:

\[
\boxed{
h_C=1_{SU(2)}
}
\]

Part VI. (C_4)-Oriented Square Sector

6.1 Motivation

경계 결합 수준에서 정사각형 지지체(support)는 방향이 없다.

\[
\boxed{
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
}
\]

이것은 순환 회전과 역순이 동일하게 취급된다는 뜻이다.

하지만 차후 도입될 카이랄, 극성, 와인딩, 또는 켤레 같은 구조들은 방향성을 요구한다.

따라서 v2.4-1.1은 방향을 가진 정사각형 이중 덮개(double cover)를 도입한다.

6.2 Oriented square lift

정사각형 지지체

\[
\boxed{
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
}
\]

에 대한 방향을 가진 $(C_4)$-올림(lift)은 다음과 같다.

\[
\boxed{
\vec C_\square = \langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4}
}
\]

순환 회전은 동일시된다.

\[
\boxed{
\langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4} = \langle v_1,v_2,v_3,v_0\rangle_{C_4}
}
\]

\[
\boxed{
= \langle v_2,v_3,v_0,v_1\rangle_{C_4} = \langle v_3,v_0,v_1,v_2\rangle_{C_4}
}
\]

역순(Reversal)은 동일시되지 않는다.

\[
\boxed{
\langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4}
\neq
\langle v_0,v_3,v_2,v_1\rangle_{C_4}
}
\]

6.3 Reversal

역순된 방향 정사각형을 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
-\vec C_\square
:=
\langle v_0,v_3,v_2,v_1\rangle_{C_4}
}
\]

그러면

\[
\boxed{
-(-\vec C_\square)=\vec C_\square
}
\]

따라서 각 방향 없는 정사각형 지지체는 정확히 두 개의 방향을 가진 올림을 가진다.

\[
\boxed{
\operatorname{Or}(C_\square) = \{\vec C_\square,-\vec C_\square\}
}
\]

6.4 Oriented square double cover

전체 방향 정사각형 구역(sector)은 다음과 같다.

\[
\boxed{
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square) = \bigsqcup_{C_\square\in\mathcal C_\square} \operatorname{Or}(C_\square)
}
\]

방향성을 잊는 사영을 적용하면 다음과 같다.

\[
\boxed{
\pi_\square:
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\to
\mathcal C_\square
}
\]

이때

\[
\boxed{
\pi_\square(\vec C_\square) = \pi_\square(-\vec C_\square) = C_\square
}
\]

이므로 다음이 성립한다.

\[
\boxed{
\pi_\square^{-1}(C_\square) = \{\vec C_\square,-\vec C_\square\}
}
\]

6.5 (C_4) rotations as equivalent descriptions

방향 정사각형 구역에서, $(C_4)$ 회전은 동일한 방향 정사각형 올림에 대한 동등한 설명이다.

\[
\boxed{
C_4\text{ rotations preserve the oriented square lift.}
}
\]
($C_4$ 회전은 방향 정사각형 올림을 보존한다.)

이것은 방향을 보존하는 재명명(relabeling) 동치이다.

$(SU(2))$ 게이지 이론과의 혼동을 피하기 위해, 이를 독립적인 게이지 대칭으로 부르지 않는 것이 좋다. 이는 단순히 동일한 방향 정사각형을 따라 다른 시작 꼭짓점을 식별하는 것일 뿐이다.

6.6 Reversal is physical conjugation

방향 정사각형 구역에서 역순(reversal)은 몫(quotient)으로 처리되지 않는다.

\[
\boxed{
\vec C_\square\mapsto -\vec C_\square
}
\]

은 방향 정사각형 구역의 켤레(conjugation)로 취급된다.

\[
\boxed{
\text{reversal}=\text{physical conjugation (역순 = 물리적 켤레)}
}
\]

이 선택은 카이랄리티나 부호 같은 정보를 보존한다.

따라서,

\[
\boxed{
\text{boundary incidence is unoriented, but square structural sector is oriented.}
}
\]
(경계 결합은 방향이 없지만, 정사각형 구조 구역은 방향을 가진다.)

6.7 (D_4) support versus (C_4) oriented sector

두 가지 뚜렷한 수준이 존재한다.

경계 지지체 수준(Boundary support level):

\[
\boxed{
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
}
\]

여기서는 회전과 반사/역순이 모두 동일시된다.

방향 구조 수준(Oriented structural level):

\[
\boxed{
\vec C_\square = \langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4}
}
\]

여기서는 회전만 동일시된다. 역순은 구분되어 남는다.

따라서,

\[
\boxed{
\text{boundary support}:D_4\text{-quotient (경계 지지체: }D_4\text{-몫)}
}
\]

\[
\boxed{
\text{oriented square sector}:C_4\text{-quotient (방향 정사각형 구역: }C_4\text{-몫)}
}
\]

6.8 Distinct-label counting caveat

만약 4개의 레이블이 모두 다르고 정사각형 위에서 자유롭게 순열이 가능하다면, 전체 $(D_4)$-몫은 다음 클래스 개수를 준다.

\[
\boxed{
\frac{4!}{8}=3
}
\]

하지만 방향성을 가진 $(C_4)$-몫은 다음 클래스 개수를 준다.

\[
\boxed{
\frac{4!}{4}=6
}
\]

따라서,

\[
\boxed{
D_4\text{ three-class counting applies only when reflections are quotiented.}
}
\]
($D_4$의 3-클래스 카운팅은 반사가 몫으로 처리될 때만 적용된다.)

$(C_4)$ 방향 정사각형 구역에서 역순은 몫으로 처리되지 않으며 켤레 연산으로 남는다.

이 카운팅은 4개의 구별되는 레이블과 자유 대칭 작용을 가정한다. 레이블이 반복되거나 추가적인 제약이 부과되면 카운팅이 달라질 수 있다.

6.9 Preparation for later square polarity

v2.4-1.1은 아직 정사각형 극성 $(n_\square)$를 정의하지 않는다. 그러한 극성이 나중에 정의될 수 있도록 정의역을 준비할 뿐이다.

나중에 다음과 같이 정의될 수 있다.

\[
\boxed{
n_\square:
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\to
\{-1,0,+1\}
}
\]

역순 법칙(reversal law)은 다음과 같다.

\[
\boxed{
n_\square(-\vec C_\square) = -n_\square(\vec C_\square)
}
\]

하지만 이것은 향후 구조적 전하 구역에 속하며 현재의 v2.4-1.1 핵심에는 속하지 않는다.

6.10 Final principle of Part VI

Part VI의 중심 원리는 다음과 같다:

\[
\boxed{
\text{Boundary incidence is unoriented.}
}
\]
(경계 결합은 방향이 없다.)

\[
\boxed{
\text{Square structural polarity/chirality sector is oriented.}
}
\]
(정사각형 구조적 극성/카이랄 구역은 방향을 가진다.)

따라서 동일한 정사각형 지지체 $(C_\square)$는 하나의 경계 결합 정체성을 가지지만, 두 개의 방향을 가진 구조적 올림(lifts)을 지닌다.

\[
\boxed{
C_\square
\quad\leadsto\quad
\{\vec C_\square,-\vec C_\square\}
}
\]

이를 통해 v2.4-1.1은 향후 물리적인 해석을 위한 카이랄 정사각형 구역을 준비하면서 동시에 경계-그래프 존재론을 보존한다.

v2.4-1.1 Formal Core Summary (공식 핵심 요약)

Qaether v2.4-1.1은 다음으로 정의된다.

\[
\boxed{
\mathcal Q_{2.4-1.1} =
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\pi_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
}
\]

여기서

\[
\boxed{
G_Q=(V,E)
}
\]

이고

\[
\boxed{
\text{Qaether}=\text{vertex (꼭짓점)}
}
\]

\[
\boxed{
\text{primitive bond}=\text{edge (에지)}
}
\]

\[
\boxed{
\text{no filled faces, no filled volumes (채워진 면이나 부피는 없음)}
}
\]

$(T)$-모티프는

\[
\boxed{
G_Q[V_T]\cong K_4
}
\]

이며

\[
\boxed{
T\sim 4C_\triangle
}
\]

이고

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(T)=\varnothing
}
\]

이다.

$(O)$-모티프는

\[
\boxed{
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}
}
\]

이며

\[
\boxed{
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle
}
\]

이다.

선택된 모든 원시 정사각형은 O-구역에 속한다.

\[
\boxed{
\forall C_\square\in\mathcal C_\square,
\quad
\exists O\in\mathcal M_O
\quad
C_\square\in\mathcal C_\square(O)
}
\]

각 꼭짓점은 단위 사원수 상태를 가진다.

\[
\boxed{
q_v\in SU(2)
}
\]

각 방향을 가진 에지는 유도된 상대 위상을 가진다.

\[
\boxed{
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
}
\]

모든 닫힌 그래프 루프는 자명한 유도 홀로노미를 가진다.

\[
\boxed{
h_C=1_{SU(2)}
}
\]

원시 정사각형 지지체는 경계 결합 수준에서는 방향이 없지만:

\[
\boxed{
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
}
\]

방향을 가진 $(C_4)$-올림을 가진다:

\[
\boxed{
\vec C_\square = \langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4}
}
\]

이때

\[
\boxed{
\operatorname{Or}(C_\square) = \{\vec C_\square,-\vec C_\square\}
}
\]

이고

\[
\boxed{
\pi_\square(\vec C_\square) = \pi_\square(-\vec C_\square) = C_\square
}
\]

이다.

T/O 복합체 및 육팔면체 결과는 기하학적 참조 기준으로 사용되지만:

\[
\boxed{
2T+2O
}
\]

\[
\boxed{
TOTO/TTOO
}
\]

\[
\boxed{
\Sigma_{\mathrm{co}}
}
\]

이들은 경계 그래프 존재론 단독으로 도출되는 자동적인 내부 정리가 아니다.

Final Statement

\[
\boxed{
\text{Qaether v2.4-1.1 is a static boundary-graph foundation.}
}
\]
(Qaether v2.4-1.1은 정적 경계-그래프 기초 이론이다.)

\[
\boxed{
\text{It defines Qaether vertices, primitive bonds, boundary cycles, T/O motifs,}
}
\]
(이것은 Qaether 꼭짓점, 원시 결합, 경계 사이클, T/O 모티프를 정의하며,)

\[
\boxed{
\text{flat }SU(2)\text{ vertex-induced holonomy, and }C_4\text{-oriented square lifts.}
}
\]
(평탄한 $SU(2)$ 꼭짓점 유도 홀로노미와 $C_4$ 방향을 가진 정사각형 올림을 정의한다.)

\[
\boxed{
\text{It prepares but does not yet define charge, color, triangular parity, spin, or dynamics.}
}
\]
(이 이론은 전하, 색, 삼각형 패리티, 스핀, 또는 동역학을 준비할 뿐 아직 정의하지 않는다.)

\[
\boxed{
\text{Those belong to later structural and dynamical layers.}
}
\]
(그것들은 향후의 구조적 및 동역학적 층에 속한다.)