[v2.1.1] Qaether의 공간정의 (Vertex에 phase 배정)

[Vertex에 위상을 배치한 모델]

본 연구의 기본 대상은, $1$-skeleton이 FCC 최근접 이웃 그래프에 실현되고, 그 elementary cycle들을 경계로 하는 triangular $2$-cell 및 square $2$-cell이 부착된 $2$-dimensional cellular complex $K$이다. 또한 $K$에는 geometric realization과 국소 bonding 정보를 기록하는 geometric data $\mathcal G$가 주어져 있다고 가정한다. 다만, 본 절에서 서술하는 cochain 수준의 구조와 exact flatness는 본질적으로 $K$의 cellular structure만으로 결정되며, $\mathcal G$는 어떤 face들이 물리적으로 선택된 bonded face들인지를 해석하는 데 사용된다.

$K$의 $2$-cell들의 집합은
$$ K_2 = T \sqcup Q $$
로 분해되며, 여기서 $T$는 triangular $2$-cell들의 집합이고, $Q$는 square $2$-cell들의 집합이다.

계수군은 가법 표기를 사용하는 원군
$$ G := \mathbb R / 2\pi \mathbb Z $$
로 둔다.

또한 $C_p(K;\mathbb Z)$를 $K$의 cellular chain group이라 하고,
$$ C^p(K;G):=\operatorname{Hom}(C_p(K;\mathbb Z),G) $$
를 $G$-계수 cellular cochain group이라 하자. Coboundary operator는
$$ d:C^p(K;G)\to C^{p+1}(K;G) $$
로 쓴다.

각 unoriented $1$-cell에 대하여 reference orientation을 하나씩 고정하면, $C_1(K;\mathbb Z)$는 이 기준 방향이 부여된 $1$-cell들을 생성원으로 하는 자유 아벨군이 된다. 따라서 $\phi\in C^1(K;G)$는 기준 방향이 정해진 각 $1$-cell에 대한 $G$-값으로 주어진다. 이를 임의의 oriented edge $\vec e$에 대해 반대 방향 $\bar e$에 대한 값이
$$ \phi(\bar e)=-\phi(\vec e) $$
가 되도록 확장하여 생각할 수 있다. 이하에서는 oriented edge $\vec e$의 시작점과 끝점을 각각 $s(\vec e)$, $t(\vec e)$로 쓴다.

또한 각 $2$-cell에는 orientation을 하나씩 고정하고, 그 orientation에 의해 유도되는 cellular boundary를 사용한다.

1. Vertex phase configuration과 induced edge phase

vertex phase configuration space를
$$ \Theta(K):= {\theta:K_0\to G}=C^0(K;G) $$
로 정의한다. 즉, 각 vertex $v\in K_0$에 위상값
$$ \theta(v)\in G $$
를 배정한다.

이제 각 $\theta\in\Theta(K)$에 대하여, oriented edge $\vec e$를 따라 유도되는 edge phase를
$$ \phi_\theta(\vec e):=\theta\bigl(t(\vec e)\bigr)-\theta\bigl(s(\vec e)\bigr)\in G $$
로 정의한다.

그러면 임의의 oriented edge $\vec e$에 대하여
$$ \phi_\theta(\bar e) =\theta\bigl(t(\bar e)\bigr)-\theta\bigl(s(\bar e)\bigr) =\theta\bigl(s(\vec e)\bigr)-\theta\bigl(t(\vec e)\bigr) =-\phi_\theta(\vec e) $$
가 성립하므로, $\phi_\theta$는 $G$-값 $1$-cochain으로 생각될 수 있다. 실제로 이는 $0$-cochain $\theta$의 coboundary이며,
$$ \phi_\theta=d\theta\in C^1(K;G) $$
이다.

즉, 이 모델에서 edge phase는 독립 자유도가 아니라 vertex phase의 차이로부터 유도되는 양이다.

2. Face closure condition의 자동 성립

이제 oriented $2$-cell $f\in K_2$의 cellular boundary를
$$ \partial f=\sum_{j=1}^m \varepsilon_j e_j, \qquad \varepsilon_j\in \{\pm1\} $$
로 쓴다. 여기서 $e_j$들은 reference orientation이 고정된 $1$-cell들이고, $\varepsilon_j$는 각 $e_j$의 기준 방향이 $f$의 boundary orientation과 일치하는지 여부를 나타낸다. 또한 $f\in T$이면 $m=3$, $f\in Q$이면 $m=4$이다.

그러면 cochain의 정의에 의해
$$ (d\phi_\theta)(f) = \phi_\theta(\partial f) = \sum_{j=1}^m \varepsilon_j \phi_\theta(e_j) $$
가 성립한다.

한편 $f$의 boundary orientation에 맞는 oriented edge들을 $\vec e_1,\dots,\vec e_m$라 쓰면,
$$ \phi_\theta(\vec e_j)=\varepsilon_j \phi_\theta(e_j) $$
이므로
$$ (d\phi_\theta)(f) = \sum_{j=1}^m \phi_\theta(\vec e_j) = \sum_{j=1}^m \Bigl( \theta\bigl(t(\vec e_j)\bigr)-\theta\bigl(s(\vec e_j)\bigr) \Bigr) $$
가 성립한다.

그런데 $(\vec e_1,\dots,\vec e_m)$는 $f$의 경계를 따라 순서대로 이어지는 닫힌 순환이므로, 위 합은 망원합으로 소거되어
$$ (d\phi_\theta)(f)=0\in G $$
가 된다.

따라서 모든 triangular face와 square face에서 closure condition이 자동으로 성립한다.

같은 사실을 cochain complex의 언어로 쓰면
$$ d\phi_\theta=d(d\theta)=0\in C^2(K;G) $$
이다. 즉, vertex phase로부터 유도된 모든 edge phase configuration은 모든 $2$-cell 위에서 flat하다.

특히 geometric data $\mathcal G$에 의해 선택된 tetrahedral 또는 octahedral bonded face들도 $K_2$의 부분집합이므로, 위 closure 결과는 그 face들에도 자동으로 적용된다.

3. 임의의 닫힌 edge path에 대한 총 위상차

닫힌 oriented edge path
$$ C=(\vec e_1,\dots,\vec e_n) $$
가
$$ t(\vec e_j)=s(\vec e_{j+1})\quad(1\le j<n), \qquad t(\vec e_n)=s(\vec e_1) $$
를 만족한다고 하자.

이때 $C$를 따른 induced edge phase의 총합을
$$ \int_C \phi_\theta := \sum_{j=1}^n \phi_\theta(\vec e_j) $$
로 정의하면,
$$ \int_C \phi_\theta = \sum_{j=1}^n \Bigl( \theta\bigl(t(\vec e_j)\bigr)-\theta\bigl(s(\vec e_j)\bigr) \Bigr) = 0\in G $$
가 성립한다. 이는 역시 망원합에 의한 소거 때문이다.

즉, vertex phase로부터 유도된 edge phase는 임의의 닫힌 edge path에 대해서도 총 위상차가 항상 $0\in G$이다. 따라서 이 모델에서 허용되는 edge phase들은 모두 exact $1$-cochain이며, 비자명한 loop holonomy를 갖지 않는다.

중요한 점은, 여기서의 “flatness”가 단지 각 elementary face에서의 closure만을 뜻하는 데 그치지 않고, exactness 때문에 모든 닫힌 loop에 대해 holonomy가 사라진다는 더 강한 성질을 의미한다는 것이다.

4. 전역 위상 이동과 물리적 상태공간

vertex phase configuration에 전역적으로 같은 상수 $c\in G$를 더하는 변환
$$ \theta(v)\longmapsto \theta(v)+c \qquad (v\in K_0) $$
은 모든 edge phase $\phi_\theta(\vec e)$를 보존한다. 실제로
$$ (\theta+c)(t(\vec e))-(\theta+c)(s(\vec e)) = \theta(t(\vec e))-\theta(s(\vec e)) $$
이므로, 이는 물리적으로 같은 상태를 나타내는 전역 위상 이동(global phase shift)이다.

constant vertex phase configuration들의 부분군을
$$ \Delta G := {\theta_c\in\Theta(K)\mid \theta_c(v)=c\text{ for all }v\in K_0,\ c\in G} $$
로 둔다.

$K$의 $1$-skeleton이 연결되어 있다고 가정하면, 물리적 상태공간은
$$ \Theta_{\mathrm{phys}}(K):=\Theta(K)/\Delta G $$
로 정의할 수 있다.

즉, 이 모델에서 물리적으로 의미 있는 자유도는 “절대 위상” 그 자체가 아니라, vertex들 사이의 상대 위상차이다.

5. Induced edge phase configuration space와 exact flat sector

vertex phase로부터 유도되는 edge phase configuration들의 집합을
$$ \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K) := {\phi_\theta \mid \theta\in\Theta(K)} = \operatorname{Im}\bigl(d:C^0(K;G)\to C^1(K;G)\bigr) $$
로 정의한다.

이 집합의 모든 원소는 모든 $2$-cell에서 closure condition을 만족하는 induced edge phase configuration이다. 즉,
$$ \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K) \subset \ker\bigl(d:C^1(K;G)\to C^2(K;G)\bigr). $$

여기서 중요한 점은, 일반적으로
$$ \operatorname{Im}(d:C^0\to C^1) \subset \ker(d:C^1\to C^2) $$
이지만 이 포함이 항상 equality인 것은 아니라는 점이다. 즉, 모든 flat $1$-cochain이 vertex phase로부터 유도되는 것은 아니다. 두 공간의 차이는 제1 코호몰로지군
$$ H^1(K;G) := \ker(d:C^1(K;G)\to C^2(K;G)) \big/ \operatorname{Im}(d:C^0(K;G)\to C^1(K;G)) $$
에 의해 측정된다.

따라서 본 모델이 다루는 것은 모든 flat sector 전체가 아니라, 그중에서도
$$ \operatorname{Im}\bigl(d:C^0(K;G)\to C^1(K;G)\bigr) $$
로 주어지는 exact한 flat sector이다.

이제 $K$의 $1$-skeleton이 연결되어 있다고 하자. 그러면
$$ \ker\bigl(d:C^0(K;G)\to C^1(K;G)\bigr)=\Delta G $$
가 성립한다. 실제로 $d\theta=0$이면 인접한 두 vertex 사이의 위상차가 모두 $0\in G$이므로, 연결성에 의해 $\theta$는 전체 $K_0$ 위에서 상수여야 한다.

따라서 아벨 군에 대한 제1동형정리에 의해
$$ \Theta_{\mathrm{phys}}(K) = \Theta(K)/\Delta G \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K) $$
가 성립한다.

즉, 연결된 복합체에서는 물리적으로 서로 다른 vertex phase 상태들이 정확히 induced edge phase configuration들과 일대일 대응한다.

6. 요약

이 모델에서 기본 자유도는 vertex phase
$$ \theta\in\Theta(K)=C^0(K;G) $$
에 있고, edge phase는 항상 그 차이
$$ \phi_\theta=d\theta $$
로 유도된다.

따라서
$$ d\phi_\theta=d^2\theta=0 $$
가 자동으로 성립하여 모든 triangular face와 square face에서 closure가 만족된다. 더 나아가 임의의 닫힌 edge path $C$에 대해서도
$$ \int_C\phi_\theta=0 $$
이므로, 비자명한 loop holonomy는 존재하지 않는다.

결국 이 모델이 기술하는 것은 $C^1(K;G)$ 전체도 아니고, 모든 flat $1$-cochain 전체도 아니라,
$$ \operatorname{Im}\bigl(d:C^0(K;G)\to C^1(K;G)\bigr) $$
로 주어지는 exact $1$-cochain들의 부분군, 즉 vertex phase로부터 유도되는 exact flat sector이다.