[v1.4] 기본가정 및 공리 - 전하 (수정중)

A7. 전하(Electric Charge) 정의 — 기하학적 스핀의 산술(Arithmetic)

1. 핵심 원리

• 전하는 입자를 구성하는 3차원 위상 구조(정사면체, 정팔면체)의 각 꼭짓점(Vertex)에 위치한 Qaether들의 내재적 스핀 상태(SU(2))로부터 창발하는 집단적·산술적 U(1) 속성이다.
• 즉, 전하는 입자에 외삽된 숫자가 아니라, 그 입자를 이루는 시공간 최소 단위들의 스핀 방향이 만들어내는 산술적 총합이다.

 

2. 정의의 계층 구조

(1) 근본 자유도 — 꼭짓점의 SU(2) 스핀

• 각 꼭짓점 ii의 내부 상태(스핀)는 단위 쿼터니안/SU(2) 행렬로 쓴다. $$\mathbf q_i \;=\; \exp\!\left[i\,\frac{\phi_i}{2}\,(\mathbf n_i\!\cdot\!\boldsymbol\sigma)\right]$$
• 여기서 \(\mathbf n_i\in S^2\)는 스핀 축(단위벡터), \(\phi_i\)는 회전각이다. (A1과 정합)

(2) U(1) 성분 추출 — 국소 전하 기여분

• 전하는 SU(2) 스핀을 하나의 스칼라로 Projection한 결과로 정의한다. 전역적으로 선택된 U(1) 방향(카르탄 축) \(\hat{\mathbf u}\)에 대해, $$\boxed{ \; c_i \;=\; k_0 \cdot \frac{\phi_i}{2}\,(\mathbf n_i\!\cdot\!\hat{\mathbf u})\; }$$ 를 국소 전하 기여분이라 한다.
• 여기서 \(k_0\)는 정규화 상수다. (이때 \(\cos\theta_i=\mathbf n_i\!\cdot\!\hat{\mathbf u}\))
• 정규화(캘리브레이션): 기준 입자 \(P_{\rm ref}\) (예: 전자)에 대해 다음과 같은 방법으로 \(k_0\)를 고정한다.$$\displaystyle Q_{P_{\rm ref}}=\sum_{i\in \mathrm{Vertices}(P_{\rm ref})} k_0 \frac{\phi_i}{2}(\mathbf n_i\!\cdot\!\hat{\mathbf u})=-e$$ 이렇게 하면 다른 입자(특히 쿼크)의 분수 전하도 자동으로 맞춰진다.
• 게이지/좌표 선택: \(\hat{\mathbf u}\)는 내부군에서 택한 U(1) 방향(카르탄 축)이다. 전역 SU(2) 회전에 대해 \(\{\mathbf n_i\}\)와 \(\hat{\mathbf u}\)를 함께 회전시키면 \(Q_P\)는 불변이다. (원한다면 공통 기준점으로 평행수송 후 Projection하는 정의로도 동치.)

(3) 기하학적 총합 — 입자의 총 전하

• 입자 P의 총 전하는 해당 다면체의 꼭짓점 합으로 $$\boxed{ \; Q_P \;=\; \sum_{i\in \text{Vertices}(P)} c_i \; }$$

 

3. 위상 양자화와 전하 양자화

• 회전각 양자화(격자 위상 조건, A2):

  $$\boxed{\;\phi_i \;=\; m_i\,\frac{\pi}{6}\quad (\mathrm{mod}\ 2\pi),\quad m_i\in\mathbb Z\;}$$

• 따라서 국소 기여는

$$c_i \;=\; k_0 \frac{\pi}{12}\, m_i\,(\mathbf n_i\!\cdot\!\hat{\mathbf u})$$

가 되어 \(c_i\) 자체가 \(\pi/12\) 단위의 유리수배가 된다.

• 결과적으로 다음과 같이 자연스럽게 양자화된다. $$Q_P \;=\; \sum_i c_i$$
• 입자–반입자 공변성: \(\mathbf n_i\to -\mathbf n_i\) 또는 \(\phi_i\to -\phi_i\)이면 \(Q_P\to -Q_P\).

 

4. 물리적 귀결

1. 전하 양자화
   \(\phi_i=\frac{\pi}{6}m_i\) 양자화로 \(c_i\)가 정수배 단위로 나오고, 합 \(Q_P\)도 자동 양자화.
2. 중성 입자의 존재
   대칭적 스핀 배열로 \(\sum_i c_i=0\)이 가능 → 중성미자 등의 전하 0가 기하학적으로 설명된다.
3. 분수 전하의 창발
   정팔면체(쿼크) 구조에서 안정 배열은 완전 정렬/완전 상쇄 사이의 중간 상태들을 포함한다. 이때 산술합 \(Q_P\)는 \(\pm\frac13 e,\ \pm\frac23 e\) 같은 분수 값으로 귀결된다.

 

5. 정팔면체(Octahedron) 폐합에서의 분수 전하 도출

셋업

• 국소 기여: $$\displaystyle c_i = k_0\,\frac{\phi_i}{2}(\mathbf n_i\!\cdot\!\hat{\mathbf u})$$ $$\displaystyle \phi_i = m_i\,\frac{\pi}{6}$$ \((m_i\in\mathbb Z), \hat{\mathbf u}\)는 전역 U(1) 축.
• 편의상 \(\displaystyle q_0 := k_0\,\frac{\pi}{12}\)라 두면 $$c_i \;=\; q_0\, m_i\,(\mathbf n_i\!\cdot\!\hat{\mathbf u})$$

 

6. 정팔면체 기하와 Projection

• 정팔면체의 여섯 꼭짓점을 \(\{\pm\hat x,\pm\hat y,\pm\hat z\}\)로 잡고, U(1) 축을 \(\hat{\mathbf u}=\hat z\)로 선택하면 $$(\mathbf n\!\cdot\!\hat{\mathbf u})=\begin{cases} +1 & \text{at } +\hat z,\\ -1 & \text{at } -\hat z,\\ 0 & \text{at } \pm\hat x,\ \pm\hat y. \end{cases}$$
• 즉 유효 기여는 \(\pm\hat z\) 꼭짓점 두 개뿐 이다. 따라서 $$Q_{\rm oct} \;=\; q_0\,[\,m_{+z} - m_{-z}\,] \;\in\; \{\,0,\ \pm q_0,\ \pm 2q_0\,\}$$

 

7. 전자 전하로 정규화

• 전자 기준으로 \(k_0\)를 고정했을 때 자연스럽게 \(q_0=e/3\)가 되도록 캘리브레이션하면,  $$\boxed{\; Q_{\rm oct}\in\Big\{0,\ \pm\frac{e}{3},\ \pm\frac{2e}{3}\Big\}\;}$$
• 예시:
  • \(m_{+z}=1,\ m_{-z}=0 \Rightarrow Q=+\,e/3\)
  • \(m_{+z}=1,\ m_{-z}=-1 \Rightarrow Q=+\,2e/3\)
  • 부호 반전으로 \(-\,e/3,\ -\,2e/3\)도 동일하게 실현
• 여기서 \(m_i\)는 \(\phi_i\)의 양자화 정수이며, 부호는 \(\mathbf n_i\) 방향(또는 \(\phi_i\) 부호)으로 반전된다.

 

8. 정당화

• 대칭 최소 에너지 정렬: 정팔면체 안정상태에서 스핀축이 방사 방향(±좌표축) 정렬 → \((\mathbf n\!\cdot\!\hat{\mathbf u})\in\{0,\pm1\}\).
• 양자화의 역할: \(\phi_i=\frac{\pi}{6}m_i\) 덕분에 \(c_i\)가 \(q_0\)의 정수배 → 총합도 양자화.
• 정규화 일관성: \(q_0=e/3\) 캘리브레이션 한 번으로 쿼크 전하 \(\pm\frac13 e,\ \pm\frac23 e\)가 기하학적으로 자동 재현.

 

9. 결론

Qaether 이론의 전하는 (i) 꼭짓점 SU(2) 스핀의 U(1) Projection → (ii) 꼭짓점 합으로 정의되며, 격자 위상 양자화와 정팔면체 폐합만으로 분수 전하가 필연적으로 도출된다. 전자 기준 정규화로 \(q_0=e/3\)를 맞추면, 관측되는 쿼크 전하 \(\pm\frac13 e,\ \pm\frac23 e\)가 자연스럽게 나온다. 이는 전하가 본질적으로 기하학적·산술적 총합이라는 본 이론의 철학과 정확히 맞물린다.