[v1.3.6] Qaether 이론: 순환열로부터 입자까지 — 색·맛·전하·스핀의 기하학적 정식화

“순환열 → 색 → 맛(정팔면체) → 쿼크 → 바리온/메손 → 트라이앵글릿 → 정사면체 → 렙톤 → 전하·스핀”까지, 기본 대칭을 순환열의 \(D_4\)로 하여 규약을 일관된 수학 기호와 정의로 정리한다. 

0. 전제·기호

• 격자: FCC, 격자 간격 \(a=l_p\). (v1.4에서 부터 반영 예정)
• 노드(사이트) \(i\): 단위 쿼터니안 \(q_i\in SU(2)\) (로터/스핀자 자유도).
• 링크 위상: \(\Delta\phi_{ij}=\phi_j-\phi_i\).
• 짧은 루프 잠금(삼각·사각)$$\Delta\phi_{ij}\in\tfrac{\pi}{6}\mathbb Z,\qquad \sum_{(ij)\in \ell}\Delta\phi_{ij}\equiv \Phi_\ell=2\pi n_\ell\ (n_\ell\in\mathbb Z)$$
• 플라켓(사각 루프)을 시계/반시계로 읽는 순서(순환열, cyclic order) 자체를 물리 양자수로 채택.
  대칭군: 정사각형의 회전·반사군 \(D_4\) (크기 8).

 

1. 순환열의 정의와 분류

1.1 정의

• 한 플라켓의 네 위상값 \(\{a<b<c<d\}\subset (\pi/6)\mathbb Z\)를 둘레 순서대로 읽은 원순열을 순환열이라 부른다.

1.2 \(D_4\) - 궤도 3종

• 가능한 원순열 24개를 \(D_4\) (회전·반사)로 나누면 정확히 3개의 불변 동치류(궤도)만 남는다.
• 방향 반전(orientation flip)은 각 궤도의 반대 동치류로 간다(아래 색에서 반색).

 

2. 색(Color) = 단일 플라켓의 \(D_4\)-궤도

2.1 정의

• 세 동치류를 \(\{C_r,C_g,C_b\}\)로 명명하고, SU(3) 기본 가중벡터 \(\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}\subset\mathbb R^2\)에 정적 임베딩:$$C_r\mapsto\omega_1,\quad C_g\mapsto\omega_2,\quad C_b\mapsto\omega_3, \qquad \omega_1+\omega_2+\omega_3=0$$
• 반색은 \(-\omega_i\)로 표기(orientation flip).

2.2 색중성(바리온 조건)과 등가 표기

• 바리온 조건: \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\).
• 같은 뜻의 텔레스코핑 표기:\(RG+GB+BR=[R-G]+[G-B]+[B-R]=0.\)두 식은 동치(여기서 \(R,G,B\)는 쿼크 세 개의 색벡터).

 

3. 맛(Flavor) = 3면 접합 정팔면체

3.1 3면 접합 규칙

• 서로 직교하는 세 축 \(x,y,z\) 방향의 동치가 아닌 서로 다른 플라켓을 공유 엣지 위상 일치 규칙으로 3면 접합하면 정팔면체 내부배치가 된다.

3.2 허용 위상 집합(정상형 3종)

• 제약(면합 \(=2\pi\), 공유엣지 일치, \(D_4\)·축치환 모듈러)에 따라 가능한 네 위상지표 집합은\((0,2,4,6), (0,1,5,6), (0,3,4,5)\) 세 종류뿐.
• 각 집합에서 파생되는 팔면체는 6개이되 둘씩 orientation 반대쌍 → 실제 구분은 3종(+ 반대회전 3종).

3.3 맛 매핑(권장 규약)

\(u\!:\!(0,2,4,6),\quad d\!:\!(0,1,5,6),\quad s\!:\!(0,3,4,5).\)

(“반대회전 3종”은 §7의 전하 규약에 따라 반입자 또는 키랄 짝으로 판정.)

3.4 색–맛 계층 분리

• 색: 단일 면의 \(D_4\)-궤도(1차, 국소).
• 맛: 세 면을 묶은 정팔면체 전역 배치(2차).
• 포트(외부 SU(3) 결합 면) 선택은 “어느 면의 순환열을 색으로 읽을지”라는 메타정보이고, 색 자체는 그 면의 \(D_4\)-궤도.

 

4. 유효 쿼크, 바리온, 메손

4.1 유효 쿼크

• 정의: (맛 팔면체)+(포트 면 색).
  예: u-팔면체 + 포트색 \(r\Rightarrow (u,r)\).

4.2 바리온

• 서로 다른 색 \(\omega_1,\omega_2,\omega_3\) 조합이면\(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\)→ 색중성.
• 예(uud): (0,2,4,6),(0,2,6,4),(0,1,5,6)에 R,G,B 배정 \(\Rightarrow 0\).

4.3 메손

• 색–반색: \(\omega_i+(-\omega_i)=0\) → 색단일자 형성.

 

5. 트라이앵글릿(삼각 루프)과 정사면체 렙톤

5.1 트라이앵글릿

• 정의: 최소 삼각 루프의 폐합 위상 \(\Phi_\triangle=2\pi n_\triangle\).
• 대칭군 \(D_3\)에서는 세 값이 모두 다르면 동치류가 하나 → 오리엔테이션(시계/반시계)만 남는다.
  ⇒ 플라켓처럼 3색류가 생기지 않음(본질적 색중성).

5.2 정사면체(△×4) 폐합 = 렙톤

• 트라이앵글릿 4개를 공유 변 위상 일치로 정사면체로 닫으면, 외부에서 보이는 것은 총 폐곡면 위상만 남는다.$$\Phi_{\partial T}=\sum_{\text{faces}}\Phi_\triangle=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
• 오리엔테이션 부호가 전하 부호를 결정, 반전은 반입자.
• 내부에 색 정보를 얹을 구조가 없으므로 렙톤은 색중성.

 

6. 스핀(Spin) = 노드 SU(2) 로터

• 각 노드가 단위 쿼터니안 \(q_i\in SU(2)\)를 내장 → Spin(3)\(\cong\)SU(2) 자유도.
• 로터 라그랑지안$$\mathcal L_{\rm rotor}=\rho_s\,\mathrm{Tr}\big[(D_\mu q)^\dagger(D^\mu q)\big],\quad D_\mu q=\partial_\mu q-\tfrac{i}{2}A_\mu^a\sigma^a q$$
• 닫힌 경로의 SU(2) 홀로노미가 +1/-1로 양자화되어 -1이면 스핀 1/2(페르미온), \(+1\)이면 보손.

 

7. 전하(Charge)의 통합 규약 — 쿼크·렙톤 공통

7.1 기본식 (Gell-Mann–Nishijima 형태)

$$  \boxed{\;Q(X)=e\Big(I_3(X)+\tfrac12\,Y(X)\Big)\;}$$

• \(I_3\): 로터(SU(2))에서 오는 이소스핀 3성분.
  좌손 이중항은 \(I_3=\pm\frac12\), 우손 단일항은 \(I_3=0\).
• Y: U(1) 위상-플럭스의 감김수에서 오는 하이퍼전하.

7.2 하이퍼전하 Y의 Qaether 정의

• X를 둘러싸는 최소 폐곡면 \(S_X\)에 대해$$n(SX).n(S_X)\equiv \frac{1}{2\pi}\sum_{\ell\subset S_X}\Phi_\ell\in\mathbb Z,\qquad Y(X)=\kappa_X\,s_X\,n(S_X)$$
  • \(s_X=\pm1\): 전역 오리엔테이션 부호(flip 시 부호 반전 → 반입자).
  • \(\kappa_X\): 분수화 상수:$$\kappa_{\text{lepton}}=1\quad(\text{정사면체는 바로 닫힌 정수감김}),\qquad \kappa_{\text{quark}}=\tfrac13\quad(\text{바리온에서 세 포트가 모여 정수감김})$$

7.3 값 검증

• 렙톤(정사면체): 좌손 이중항 \((\nu_L,e_L)\)에 \(Y=-1\) (즉 \(s=-1,n=1\))를 채택하면$$Q(\nu_L)=e\big(+\tfrac12+\tfrac12(-1)\big)=0,\quad Q(e_L)=e\big(-\tfrac12+\tfrac12(-1)\big)=-e$$orientation flip \(\Rightarrow\) \(\bar\nu,\ e^+\).
• 쿼크(팔면체): 좌손 \((u_L,d_L)\), \(Y=+\tfrac13\) (바리온에서 포트 3개 합)$$Q(u_L)=e\big(+\tfrac12+\tfrac12\cdot\tfrac13\big)=\tfrac{2}{3}e,\quad Q(d_L)=e\big(-\tfrac12+\tfrac12\cdot\tfrac13\big)=-\tfrac{1}{3}e$$반쿼크 \(\Rightarrow Q\to -Q\).

요점: 한 식 \(Q=e(I_3+\tfrac12Y)\)로 쿼크·렙톤 모두가 정확히 재현되고, 우리 기하(팔면체/정사면체)와 정합한다.

 

8. 보존 법칙·선택 규칙·대칭

• 색 보존: 삼발(Y) 결합에서 \(\omega_1+\omega_2+\omega_3=0\) 유지.
• 전하 보존: U(1) 가우스 제약 \(\dot Q=0\).
• 맛 안정성(초선택): 루프-잠금 \(\Lambda_\ell\)이 충분히 크면 팔면체 간 터널링 억제 → \(u,d,s\) 고정.
• 반입자 규칙: orientation flip \(s\to -s\), 로터 공액 \(I_3\to -I_3\) ⇒ \(Q\to -Q\).
• IR 로렌츠 복원: \(\lambda\gg l_p\)에서 위반은 \(\mathcal O((l_p/\lambda)^2)\).

 

9. 작용(라그랑지안) 스케치

$$\boxed{\ S=\int d^4x\,\sqrt{-g}\ \Big[\ \mathcal L_{\rm rotor}+\mathcal L_{U(1)}+\mathcal L_{SU(2)}+\mathcal L_{SU(3)}+\mathcal L_{\rm loop}+V_{\rm eff}+V_{\rm octa}+V_{\rm tetra}\ \Big]\ }$$

• 로터(스핀): $$\mathcal L_{\rm rotor}=\rho_s\,\mathrm{Tr}[(D_\mu q)^\dagger(D^\mu q)]$$
• 게이지부(IR): $$\mathcal L_{U(1)}=-\tfrac14F^2,\ \mathcal L_{SU(2)}=-\tfrac14F_a^2,\ \mathcal L_{SU(3)}=-\tfrac14G_A^2$$
• 루프-잠금: $$\displaystyle \mathcal L_{\rm loop}=-\sum_{\ell\in\{\triangle,\square\}}\Lambda_\ell\,(1-\cos\Phi_\ell)$$ \((\Delta\phi\in\pi/6\cdot\mathbb Z,\ \Phi_\ell=2\pi n_\ell \quad \text{안정화})\)
• 정팔면체/정사면체 선택 퍼텐셜: $$V_{\rm octa}[\text{팔면체 정상형3종}],\ V_{\rm tetra}[\text{정사면체 감김수}]→ u,d,s \quad \text{분할 갭, 렙톤 전하 안정화}$$
• 진공 퍼텐셜(우주상수): $$V_{\rm eff}=Z_P\,p_0\,[1-\alpha\,\overline m]$$

 

10. 표준 이론과의 연결·차이

• 색: 표준 QCD는 “물질장 표현(3, \(\bar 3\))”으로 색을 붙이지만, 여기선 ‘플라켓 순환열의 \(D_4\)-궤도’를 관측 가능 양자수로 채택(윌슨 \(\mathrm{Tr}\) 배제). SU(3) 가중벡터 임베딩 덕에 동등한 색대수가 작동.
• 전하: 표준의 \(Q=I_3+\tfrac12Y\)와 형식적으로 같되, Y를 폐곡면 감김수×분수화 상수로 기하학적으로 정의(렙톤 1, 쿼크 1/3).
• 렙톤의 색중성: 사각 플라켓(색) 대신 삼각 위상(정사면체)으로 폐합하므로 본질적으로 색 없음이 구조적으로 보장.