[v1.3] Qaether 라그랑지안

Research Diary

[v1.3] Qaether 라그랑지안

Qaether Theory 2025. 8. 7. 18:25

자율형(재매개 불변) 구성, 국소 게이지 구조, 변분 방정식, 연속극한 및 페르미온 포함 여부를 체계적으로 서술합니다. 본 문서는 FCC 위상 양자화와 공변 강성 아이디어를 일관되게 통합합니다.

0. 전제·기호

격자는 사이트(셀) i, 링크 $\langle i,j\rangle$, 플라켓 $\square$, 유한 루프 $\ell$로 구성되며, 격자 간격은 $a$입니다. 내부 회전자(물질 자유도)는 $q_i\in SU(2)$이고 링크 상대위상은 정의상 $\Delta q_{ij}=q_j q_i^{-1}$입니다. Hopf–$S^1$ 각은 $\phi_i$, 링크 위상은 $\Delta\phi_{ij}=\phi_j-\phi_i$입니다.

FCC의 삼각·사각 루프 제약에 의해 $\Delta\phi_{ij}\in (\pi/6)\mathbb Z$의 위상 양자화가 도출됩니다. 결합수 $m_i\in\{0,\dots,12\}$에 따른 관성/압력은

$$I_i(m_i)=I_0\bigl(1-\alpha m_i\bigr),\qquad P_i(m_i)=p_0\bigl(1-\alpha m_i\bigr),\quad I_0,p_0>0,\;0<\alpha\ll1.$$

게이지 부문 표기: $U(1)$ 플라켓 위상 $\Phi_\square$, $SU(3)$ 홀로노미 $G_\square$. 재매개 불변성 유지를 위해 전역 라프스( einbein) $E(\phi)>0$를 도입하며, 게이지 고정을 하지 않습니다. 관측량 해석시에는 유효시간 $\tau$를 도입해 $\tfrac{d}{d\tau}=\mathcal N(\text{fields})\,\tfrac{d}{d\phi}$로 환산합니다.

1. SU(2) 국소 게이지 구조

국소 변환 $g_i\in SU(2)$에 대해

$$q_i\to g_i q_i,\qquad V_{ij}\to g_i V_{ij} g_j^{-1},\qquad V_{ji}=V_{ij}^{-1}.$$

플라켓(윌슨 루프)은 고정된 순서의 링크 곱으로

$$V_\square=\prod_{\ell\in\square}V_\ell,\qquad U^{(1)}_\square=e^{i\Phi_\square},\qquad G_\square=\prod_{\ell\in\square}S_\ell.$$

$\mathrm{Tr}(V_\square-\mathbb I_2)^2$ 대신 프로베니우스 노름을 사용하여 양의 정부호를 확보합니다:

$$\|U-\mathbb I_N\|_F^{2}=\mathrm{Tr}\big[(U-\mathbb I_N)^{\dagger}(U-\mathbb I_N)\big]=2N-\mathrm{Tr}\,U-\mathrm{Tr}\,U^{\dagger}. $$

물리적 “정렬 강성”은 국소 게이지 불변의 최소결합으로 대체됩니다(아래 §2-(2)).

2. 자율형(배경시간 없음) 전체 라그랑지안

작용은 $S=\int d\phi\,\widetilde{\mathcal L}(\phi)$이며, 자율형(재매개 불변) 형태를 유지합니다.

$$\boxed{\begin{aligned} \widetilde{\mathcal L} &=\frac{1}{2E}\sum_{i} I_i(m_i)\;\bigl\|\,q_i^{-1}q_i'\,\bigr\|^2\\ &\quad-\;E\,\kappa\sum_{\langle i,j\rangle}\Big(\mathrm{Re}\,\mathrm{Tr}[q_i^{\,-1}V_{ij}q_j]-2\Big)\\ &\quad-\;E\,\frac{1}{2g_2^{\,2}}\sum_{\square} \bigl\|V_\square-\mathbb I_2\bigr\|_F^2\\ &\quad-\;E\,\Lambda_\ell\sum_{\square}\bigl(1-\cos\Phi_\square\bigr)\\ &\quad-\;E\,\frac{1}{2g_s^{\,2}}\sum_{\square}\bigl\|G_\square-\mathbb I_3\bigr\|_F^2\\ &\quad-\;E\,\sum_i P_i(m_i) \end{aligned}}$$

여기서 $q_i'\equiv dq_i/d\phi$, $\|q_i^{-1}q_i'\|\in\mathfrak{su}(2)$의 노름입니다. $E(\phi)$는 전역 라프스로 재매개 불변성을 보장하며, 어떤 함수로도 고정하지 않습니다. 루프-잠금 $\Lambda_\ell$은 삼각·사각 등 짧은 루프에 주로 적용합니다.

정규화 선택의 이유

게이지 플라켓 항을 $\|U-\mathbb I\|_F^2$로 표기하면 양의 정부호가 보장되고, Wilson형과 상수차/스케일 차이만 납니다.
정렬항, U(1), 루프-잠금의 상수를 적절히 이동하여 모든 퍼텐셜 항의 최소를 0으로 맞춤 → §3의 해밀토니안 제약에서 $V_{\rm tot}\ge 0$을 보장합니다.

3. 대칭과 변분

3.1 대칭 (모두 자율형 유지)

재매개(위상) 대칭: $\phi\to f(\phi),\; E\to E\,\tfrac{d\phi}{df}$ 하에서 작용은 불변입니다.

국소 SU(2) 게이지: $q_i\to g_i q_i,\; V_{ij}\to g_i V_{ij} g_j^{-1}$ → (1)(2)(3)항 불변. 이는 과거의 비(非)게이지 정렬항을 국소 게이지 불변의 공변 강성 항으로 일반화한 것입니다.

U(1), SU(3): 플라켓 불변량만 등장하므로 표준 대칭이 유지됩니다.

3.2 오일러–라그랑주 방정식

(a) 회전자 방정식 — $q_i$ 변분

$$ \frac{d}{d\phi}\!\left(\frac{I_i}{E}\,\mathrm{Ad}_{q_i^{-1}}(q_i')\right) +E\,\kappa\sum_{j\in\mathcal N(i)}\,\Pi_{\mathfrak{su}(2)}\!\Big(q_i^{-1}V_{ij}q_j\Big) +E\,\frac{\partial}{\partial q_i}\Big(P_i+V_{\rm loop}\Big)=0, $$

여기서 $\Pi_{\mathfrak{su}(2)}(X)=\tfrac{X-X^\dagger}{2}-\tfrac{\mathbb I_2}{2}\,\mathrm{Tr}\big(\tfrac{X-X^\dagger}{2}\big)$는 $\mathfrak{su}(2)$로의 사영입니다.

(b) 링크 방정식 — $V_{ij}$ 변분 (YM + 물질 전류)

$$ \frac{\partial}{\partial V_{ij}} \Bigg[\frac{1}{2g_2^{2}}\!\sum_{\square\ni\langle i,j\rangle}\!\|V_\square-\mathbb I_2\|_F^2 +\kappa\!\sum_{\langle a,b\rangle}\!\big(2-\mathrm{ReTr}[q_a^{-1}V_{ab}q_b]\big)\Bigg]=0, $$

연속극한에서 $D_\mu F^{\mu\nu}=J^\nu_{(q)}$로 환원됩니다.

(c) 해밀토니안 제약 — $E$ 변분

$$ \frac{1}{2E^{2}}\sum_i I_i\,\|q_i^{-1}q_i'\|^2\;=\;V_{\rm tot}\;\ge 0, $$

$$ \begin{aligned} V_{\rm tot}=&\;\kappa\!\sum_{\langle i,j\rangle}\!\big(2-\mathrm{ReTr}[q_i^{-1}V_{ij}q_j]\big) +\frac{1}{2g_2^{2}}\!\sum_\square \|V_\square-\mathbb I_2\|_F^2 +\Lambda_\ell\!\sum_\square(1-\cos\Phi_\square)\\ &+\frac{1}{2g_s^{2}}\!\sum_\square \|G_\square-\mathbb I_3\|_F^2 +\sum_i P_i \end{aligned} $$

모든 항의 최소가 0이 되도록 정규화했으므로 좌변의 양수성과 일관됩니다.

4. “시간”이 필요한 해석: 유효시간 $\tau$ 환산

작용은 $\phi$-재매개 불변을 유지합니다. 관측량(예: 각속도, 전파속도, 스펙트럼)을 읽을 때에만

$$\frac{d}{d\tau}=\mathcal N(\text{fields})\,\frac{d}{d\phi}$$

를 적용해 단위를 고정합니다. 예를 들어

$$\Omega_i^{(\tau)}\equiv\Big\|q_i^{-1}\frac{dq_i}{d\tau}\Big\|=\mathcal N\,\|q_i^{-1}q_i'\|$$

여기서 $\mathcal N$은 유효시간 정의로부터 결정됩니다. 이는 게이지 고정이 아니며 결과 해석 단계의 환산일 뿐입니다.

5. FCC 위상 양자화

짧은 삼각/사각 루프에 대해

$$\sum_{\triangle}\!\Delta\phi=2\pi n_{\triangle},\qquad \sum_{\square}\!\Delta\phi=2\pi n_{\square} \;\Rightarrow\; 3\Delta\phi\in 2\pi\mathbb Z,\;4\Delta\phi\in 2\pi\mathbb Z, $$

따라서

$$\Delta\phi\in \mathrm{gcd}\!\left(\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{\pi}{2}\right)\mathbb Z=\tfrac{\pi}{6}\,\mathbb Z.$$

루프‑잠금 $\Lambda_\ell$ 항은 이를 동역학적으로 안정화하며, $\Phi_\ell=2\pi n_\ell$의 잠금이 짧은 루프에서 우세합니다.

6. 연속극한(IR)·정규화 메모

$$V_{ij}=\exp(i a A_\mu^a \sigma^a/2),\qquad V_\square=\exp(i a^2 F_{\mu\nu}^a\sigma^a/2+\cdots).$$

$$E\,\frac{1}{2g_2^2}\sum_\square\|V_\square-\mathbb I_2\|_F^2\;\to\;E\!\int d^4x\,\frac{Z_2}{4}\,F_{\mu\nu}^aF^{a\,\mu\nu}.$$

$$E\,\kappa\sum_{\langle i,j\rangle}\!\big(2-\mathrm{ReTr}[q_i^{-1}V_{ij}q_j]\big)\;\to\;E\!\int d^4x\,\rho_s\,\mathrm{Tr}\big[(D_\mu q)^\dagger(D^\mu q)\big],\quad D_\mu q=\partial_\mu q- iA_\mu q.$$

U(1), SU(3)도 표준적으로 $E\int d^4x\,\tfrac{Z_{U(1)}}{4}F^2$, $E\int d^4x\,\tfrac{Z_s}{4}G^2$로 수렴합니다. 정규화 상수 $Z_*$는 $(a,\beta,g_2,g_s)$의 조합으로, 논문에서 규약을 선택하여 고정합니다.

세 게이지 섹터 SU(2), U(1), SU(3)는 모두 동일한 전역 라프스 $E(\phi)$로 스케일되며, 연속극한에서 Wilson형 게이지 작용에 일관되게 수렴합니다.

7. 파라미터·부호·운용 체크

$I_0>0,\;p_0>0,\;0<\alpha\ll1$: 결합수 $m_i$ 증가 시 관성·압력 감소(일관).
$\kappa>0$: 근접 정렬 선호. $\Lambda_\ell>0$: 짧은 루프일수록 큼(예: $\propto 1/L_\ell$).
재매개 대칭 보존: $E(\phi)$ 외생 고정 금지(위상시계 게이지 미사용).
선택 옵션: U(1), SU(3), SU(2) 각 $\theta$-항($F\tilde F$, $G\tilde G$)을 부록에 옵션으로 표기(위상 섹터 분류용).
수치해석 편의: 루프‑잠금은 Villain 형식으로 치환 가능.

(옵션) 페르미온 라그랑지안이 필요한가?

현재 라그랑지안은 보손적 자유도로만 구성되어 있습니다. 기본 페르미온(예: 전자, 쿼크 유사)을 기술하려면 별도의 격자 페르미온을 도입해야 합니다. 반대로, 보손 솔리톤의 유효 페르미온화를 노린다면 스핀-통계 변환 메커니즘(예: 결맞음 위상, Chern–Simons류, 바운드상태)과 이상(anomaly) 일치성 점검이 필요합니다.

F.1 재매개 불변 격자 Dirac(권장, Wilson 옵션 포함)

페르미온 $\psi_i$가 $U(1)$ 전하 $q$, $SU(2)$ 기본표현, $SU(3)$ 기본표현을 갖는다고 할 때 링크 병렬이동자는

$$\mathcal U_{ij}\equiv U^{(1)}_{ij}{}^{\,q}\; V_{ij}\; S_{ij}\in U(1)\times SU(2)\times SU(3).$$

자율형($\phi$-재매개 불변) Dirac형 라그랑지안은

$$\boxed{\begin{aligned} \widetilde{\mathcal L}_{\rm f} &=\frac{i}{E}\sum_i \bar\psi_i\,\partial_\phi\psi_i - E\,m_f\sum_i \bar\psi_i\psi_i\\ &\quad - E\sum_{\mu}\sum_{\langle i,j\rangle\parallel \mu}\Big[\bar\psi_i\,\gamma_\mu\,\mathcal U_{ij}\,\psi_j - r\,\bar\psi_i\big(\psi_j-\mathcal U_{ij}\psi_i\big)\Big]. \end{aligned}}$$

마지막 $r$-항은 Wilson term으로 lattice doubling 억제에 사용됩니다(대안으로 staggered/Kogut–Susskind 가능). 재매개 변환 $\phi\to f(\phi),\; E\to E\,\tfrac{d\phi}{df}$ 하에서 첫 번째 항 $\int d\phi\,\tfrac{i}{E}\bar\psi\partial_\phi\psi$는 불변입니다.

F.2 물질–회전자 유카와 결합(선택)

$q_i$가 효과적 힉스 역할을 하도록 다음을 추가할 수 있습니다.

$$\widetilde{\mathcal L}_{\rm Yuk}= -E\,y\sum_i \bar\psi_i\,q_i\,\psi_i,$$

여기서 $\psi_i$는 SU(2) 이중항이고, $q_i\in SU(2)$ 군원입니다. 국소 변환 $g_i$ 하에서 불변입니다.

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