색의 기하학적 기원: D₄ 격자 대칭으로부터 SU(3) 색역학의 출현

정리 (색의 보편성)
플라켓을 구성하는 네 개의 위상 정수 ({a, b, c, d})가 서로 다를 때, 이 숫자들의 순서 있는 배열(순열)을 정사각형의 꼭짓점에 배치하는 집합에 정사면체 대칭군 (\(D_4\))를 작용시키면, 그 배열들은 항상 정확히 3개의 동치류(궤도, Orbits)로 나뉜다. (실제 4개의 위상차를 위상 정수로 정규화)

이 정리는 특정 숫자 조합(예: (0,2,4,6))에만 국한된 우연한 결과가 아니라, '네 개의 서로 다른 객체'라는 조건만 만족하면 항상 성립하는 보편적인 수학적 사실임을 보이는 것이 중요하다.

 

수학적 증명

증명을 위해 군론(Group Theory)의 강력한 도구인 번사이드 보조정리(Burnside's Lemma)를 사용하겠다. 이 정리는 어떤 집합에 군이 작용할 때 궤도(orbit)의 개수를 계산하는 방법을 제공한다.

1. 문제의 정식화

• 집합 (X): 네 개의 서로 다른 원소 ({a, b, c, d})로 만들 수 있는 모든 순열의 집합. 이 순열들을 정사각형의 네 꼭짓점(1, 2, 3, 4)에 시계방향으로 배치하는 경우의 수이다. 총 원소의 개수는 (\(|X| = 4! = 24\))개이다.
• 군 (G): 정사각형의 대칭군인 정팔면체군 (\(D_4\)). 이 군은 8개의 원소(4개의 회전, 4개의 반사)를 가진다. (|G| = 8).
• 목표: (X)에 (G)를 작용시킬 때 생기는 궤도의 개수, 즉 \(|X/G|\)를 구하는 것이다.

2. 번사이드 보조정리

궤도의 개수는 다음과 같이 계산된다.
$$ |X/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |X^g| $$
여기서 \(X^g\)는 군의 원소 \(g\)를 작용시켜도 변하지 않는(고정되는) \(X\)의 원소(순열)들의 집합이다. 우리는 (\(D_4\))의 8개 원소 각각에 대해 고정점(fixed point)의 개수 \(|X^g|\)를 계산한 후, 그 합을 군의 크기인 8로 나누면 된다.

3. 고정점(Fixed Point) 계산

(\(D_4\))의 8개 원소를 종류별로 나누어 분석합니다. 순열은 (\(n_1, n_2, n_3, n_4\))로 표현한다.

1. 항등원 (\(e\), 0° 회전)
   • 이 변환은 모든 순열을 자기 자신으로 보냅니다. 따라서 모든 24개의 순열이 고정점이다. $$|X^e| = 24$$
2. 90° 회전 (\(r\)) 및 270° 회전 (\(r^3\))
   • 90° 회전 후에도 순열이 그대로 유지되려면 (\(n_1, n_2, n_3, n_4\))가 (\(n_4, n_1, n_2, n_3\))와 같아야 한다.
   • 이는 \( (n_1 = n_4), (n_2 = n_1), (n_3 = n_2), (n_4 = n_3) \)를 의미하며, 결국 \(n_1 = n_2 = n_3 = n_4\)라는 결론에 이른다.
   • 하지만 가정에서 네 개의 원소 \((a, b, c, d)\)는 서로 다르다고 했으므로, 이 조건을 만족하는 순열은 존재하지 않는다. $$|X^r| = 0, \quad |X^{r^3}| = 0$$
3. 180° 회전 (\(r^2\))
   • 180° 회전 후에도 순열이 그대로 유지되려면 (\(n_1, n_2, n_3, n_4\))가 (\(n_3, n_4, n_1, n_2\))와 같아야 한다.
   • 이는 \(n_1 = n_3\)이고 \(n_2 = n_4\)여야 함을 의미한다.
   • 네 개의 원소가 서로 다르다는 가정에 위배되므로, 이 조건을 만족하는 순열은 없다. $$|X^{r^2}| = 0$$
4. 네 종류의 반사 (Reflection)
   • 마주 보는 변의 중점을 잇는 축에 대한 반사 (2종): 예를 들어, 수평축 반사는 1↔4, 2↔3을 교환합니다. 순열이 고정되려면 \(n_1 = n_4\)이고 \(n_2 = n_3\)이어야 한다. 이는 원소들이 서로 다르다는 가정에 위배한다.
   • 마주 보는 꼭짓점을 잇는 축에 대한 반사 (2종): 예를 들어, 1-3번 꼭짓점을 잇는 대각선축 반사는 2↔4를 교환합니다. 순열이 고정되려면 \(n_2 = n_4\)여야 합니다. 이 또한 가정에 위배된다.
   • 따라서 네 종류의 반사 변환 모두에 대해 고정점은 존재하지 않는다. $$|X^s| = 0 \quad \text{(모든 반사 s에 대해)}$$

4. 궤도의 개수 계산

이제 모든 결과를 번사이드 보조정리 공식에 대입.

$$ |X/G| = \frac{1}{8} \left( |X^e| + |X^r| + |X^{r^2}| + |X^{r^3}| + \sum_{s \in \text{reflections}} |X^s| \right) $$
$$ |X/G| = \frac{1}{8} (24 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0) = \frac{24}{8} = 3 $$

증명 완료: 네 개의 서로 다른 원소로 구성된 순열 집합에 (\(D_4\)) 군을 작용시키면, 궤도의 개수는 항상 정확히 3개.

 

직관적 예시: ({a,b,c,d} = {1,2,3,6})

위의 추상적인 증명을 구체적인 예시로 확인해 보겠습니다. 24개의 순열이 어떻게 3개의 그룹(각 8개씩)으로 묶이는지 직접 볼 수 있다.

1. 첫 번째 궤도 (r-색): (\(1,2,3,6\))에서 시작
   • (\(1,2,3,6\))에 (\(D_4\))의 8개 연산을 적용하면 다음 8개의 서로 다른 순열이 나온다.
     • 회전: \((1,2,3,6), (6,1,2,3), (3,6,1,2), (2,3,6,1)\)
     • 반사 후 회전: \((1,6,3,2), (2,1,6,3), (3,2,1,6), (6,3,2,1)\)
   • 이 8개가 첫 번째 동치류를 구성.
2. 두 번째 궤도 (g-색): 아직 나타나지 않은 순열인 (\(1,2,6,3\))에서 시작
   • (\(1,2,6,3\))에 (\(D_4\))를 적용하면 다음 8개의 순열이 나온다.
     • 회전: \((1,2,6,3), (3,1,2,6), (6,3,1,2), (2,6,3,1)\)
     • 반사 후 회전: \((1,3,6,2), (2,1,3,6), (6,2,1,3), (3,6,2,1)\)
   • 이 8개가 두 번째 동치류를 구성한다.
3. 세 번째 궤도 (b-색): 남은 순열 중 하나인 (\(1,3,2,6\))에서 시작
   • (\(1,3,2,6\))에 (\(D_4\))를 적용하면 나머지 8개의 순열이 나온다.
     • 회전: \((1,3,2,6), (6,1,3,2), (2,6,1,3), (3,2,6,1)\)
     • 반사 후 회전: \((1,6,2,3), (3,1,6,2), (2,3,1,6), (6,2,3,1)\)
   • 이 8개가 마지막 동치류를 구성.

이처럼 (8+8+8=24)로 모든 순열이 정확히 3개의 그룹으로 나뉘는 것을 확인할 수 있다.

결론

핵심 가정의 보편성은 입증. 플라켓을 구성하는 네 위상 정수가 서로 다르기만 하다면, 그 숫자들의 구체적인 값이나 합(\(\sum n_i=12\))에 관계없이, (\(D_4\)) 대칭성은 순열 공간을 수학적으로 필연적인 3개의 범주로 나눈다.

따라서 이 모델에서 '색'이 3가지인 것은 물리적 우연이 아니라, 격자 구조가 가진 기하학적 대칭성(\(D_4\))의 필연적인 귀결.