[v0.9] 동역학방정식 --> 위상경로적분

동역학 방정식을 위상-경로 적분으로 다시 쓸 수 있는가?

Qaether 이론에서 셀 i에서 시작하여 셀 j에서 끝나는 모든 위상 궤적에 에너지를 가중치를 부여하면, 일반적인 격자 경로 적분 커널

$$K\bigl[\phi_i\!\to\!\phi_j;\,T\bigr] \;=\; \!\! \int_{\phi(t_0)=\phi_i}^{\;\;\phi(t_0+T)=\phi_j}\! \mathcal D\phi\;\exp\!\Bigl\{\,i\,S_{\text{eff}}[\phi]\Bigr\}$$

가 회복됩니다. 도출 과정은 세 단계로 진행됩니다:

 

1. 단일 시간 슬라이스의 에너지(라그랑지안) 식별하기

• 작은 시간 단계 \(\Delta t\)에 대해 유한 차분 속도를 $$\dot\phi_i \;\longrightarrow\; \frac{\phi_i^{n+1}-\phi_i^{n}}{\Delta t}$$로 씁니다.
• 그 슬라이스에 저장된 에너지는 $$E^{(n)} \;=\;\sum_i \frac{I_i(m_i)}{2}\Bigl(\dot\phi_i^{(n)}\Bigr)^2 \;+\; \sum_{\langle ij\rangle} \Bigl[ -K_{ij}\,\Im\chi_{ij} +U_0\,\Im(\chi_{ij}^6) +q_e\,A_{ij}\,\Im\chi_{ij} +g\,\vec C_i\!\cdot\!\vec A_{ij}\,\Im\chi_{ij} \Bigr] \;$$ $$+\; \sum_i P_i(m_i)\,V_s\,\ell_p\bigl(1-\cos\phi_i^{(n)}\bigr)$$ (무관계 상수를 제외하고, 포텐셜은 괄호 안의 힘 항의 음수입니다.)
• 이산 라그랑지안 $$L^{(n)} \;=\; -E^{(n)}$$ 정의하기

 

2. 이산 시간 작용 구축하기

$$S_{\text{lat}} \;=\; \sum_{n}\! \mathcal L^{(n)}\,\Delta t \;\;=\; \sum_{n}\!\Bigl[ \sum_i \tfrac12 I_i(m_i) \bigl(\dot\phi_i^{(n)}\bigr)^2 - \sum_{\langle ij\rangle}V_{\langle ij\rangle}^{(n)} - \sum_i V_{{\rm Void},i}^{(n)} \Bigr]\Delta t$$

• \(V_{\langle ij\rangle}^{(n)}\)는 네 개의 상호작용 항을 모으고
  $$V_{{\rm Void},i}^{(n)} = P_iV_s\ell_p(1-\cos\phi_i)$$

 

3. 연속 한계로 가기 → 경로 적분

• \(\Delta t\to0\) 및 \(a=\ell_p\to0\)으로 놓고 \(T=N\Delta t\)는 유한하게 유지합니다. 그러면 연속 작용을 얻습니다 $$S_{\text{eff}}[\phi] \;=\;\int_{t_0}^{t_0+T}\!dt \biggl\{ \sum_i \frac{I_i(m_i)}{2}\,\dot\phi_i^2 \;-\; \sum_{\langle ij\rangle} \Bigl[ -K_{ij}\,\Im\chi_{ij} +U_0\,\Im(\chi_{ij}^6) +q_e\,A_{ij}\,\Im\chi_{ij} +g\,\vec C_i\!\cdot\!\vec A_{ij}\,\Im\chi_{ij} \Bigr] \;$$ $$-\; \sum_i P_i(m_i)V_s\ell_p \bigl(1-\cos\phi_i\bigr) \biggr\}$$
• 모든 궤적의 가중치는 $$\exp\!\bigl\{iS_{\text{eff}}[\phi]\bigr\}$$입니다.
• 고정된 경계점 간의 모든 궤적에 대해 합산(적분)하면 원하는 경로 적분 커널 $$K(i\!\to\!j;T)\;=\; \int_{\phi(t_0)=\phi_i}^{\;\;\phi(t_0+T)=\phi_j} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \mathcal D\phi\; e^{\,iS_{\text{eff}}[\phi]}$$가 생성됩니다.
• Qaether의 동역학 방정식은 정적 위상(변분) 조건 \(\delta S_{\text{eff}}/\delta\phi_i = 0\)을 통해 회복됩니다.
• 따라서 Qaether 동역학은 셀 i에서 셀 j까지의 모든 이산 위상 경로를 통합하면 표준 위상-경로-적분 공식화를 허용합니다.
• Qaether 이론은 단순히 이산적인 셀 단위의 동역학 규칙 집합이 아니라, 사실상 연속 양자 장 이론의 기초가 되는 동일한 종류의 경로 적분 양자화를 허용합니다:
  1. 역사에 대한 전역 합
     • 시간 t₀에서 셀 j의 시간 t₀+T까지 위상 필드를 “스텝”하는 모든 방법은 가중치에 의해 기여합니다.
       $$\exp\bigl(i\,S_{\rm eff}[\phi]\bigr)$$
     • 신비한 것은 필요하지 않습니다—표준 QFT에서 모든 필드 구성에 대해 합산하는 것처럼, Qaether에서는 모든 이산 위상 궤적에 대해 합산합니다.
  2. 정적 위상 → 고전적인 EOM
     • \(\delta S_{\rm eff}=0\)을 취하면 격자 운동 방정식이 정확히 재현됩니다.
     • 이는 경로 적분의 고전적 한계가 귀하가 적은 바로 그 위상 동역학임을 보장합니다.
  3. 양자화된 게이지 및 "중력" 섹터
     • 모든 상호작용 항—위상 결합 \(K_{ij}\), 양자화 잠재력 \(U_0\), \(U(1)\) 및 \(SU(3)\) 게이지 결합, Void 압력—은 작용에서 동등한 비율로 들어갑니다.
     • 따라서 페인먼 규칙을 도출하고, 루프 보정을 계산하며, 게이지 장과 떠오르는 중력(Void/Regge) 섹터의 양자 동요를 하나의 통합된 형식으로 분석할 수 있습니다.
  4. 일관성 검사 및 재규명
     • 연속 한계가 잘 정의되어 있다면, 높은 차원 또는 비선형 부분이 단위성과 인과관계를 해치는지, 또는 안전한 적외선 고정점으로 흐르는지 연구할 수 있습니다.
     • 원칙적으로, Qaether가 재규명 가능한 이론으로 양자화되는지, 또는 UV 완성이 필요한지(예: 문자열, 비대칭 안전 시나리오)를 물을 수 있습니다.
  5. 표준 QFT 및 중력과의 연결
     • Qaether를 경로 적분으로 변환하면, 이를 격자 게이지 이론, 레게 해석, CDT, 그리고 중력 + YM의 연속 EFT와 직접 비교할 수 있습니다.
     • 결합을 일치시키고, 유령 모드를 식별하며, 저에너지에서 떠오르는 로렌츠 불변성을 검증하고, 이산 Void-위상 그림이 알려진 양자-중력 접근법과 어떻게 맞물리는지를 확인할 수 있습니다.

 

결과:

Qaether는 완전히 양자화 가능합니다. 그 이산 위상 동역학은 작용 \(S_{\rm eff}[\phi]\)의 전통적인 경로 적분으로 재구성될 수 있으며, 다음을 보장합니다:

• 고전적 격자 EOM이 정적 위상 한계에서 나타납니다.
• 게이지 및 중력 자유도의 양자 동요가 체계적으로 계산 가능합니다.
• 표준 도구(페인먼 다이어그램, 재규명 그룹, 단위성 검사)가 가용하게 되어 일관성을 테스트하고 실험 예측을 할 수 있습니다.