Qaether Model based on v0.6

1. 공간 구조 및 상태 변수

1.1 격자 구조

• 기본 구조는 플랑크 길이 \(\ell_p\) 스케일의 이산 FCC 격자
• 허용 결합 방향:\(D_{\mathrm{FCC}} = \{ \vec{d}_1, \dots, \vec{d}_{12} \} \subset \mathbb{R}^3,\quad |\vec{d}_k| = 1\)

 

1.2 Qaether 상태 함수

각 Qaether ii의 상태:

$$\Xi_i = (S_i,\ \vec{Z}_i,\ \phi_i), \quad S_i \in \{0,1\},\ \vec{Z}_i \in \mathbb{S}^2,\ \phi_i \in [0, 2\pi)$$

• \(S_i\): 활성 여부
• \(\vec{Z}_i\): 내재 회전축
• \(\phi_i\): 위상 변수 (관측 불가, 위상차만 관측 가능)

 

1.3 결합 조건

두 Qaether \(i,j\)가 결합하려면:

• \(S_i = S_j = 1\)
• \(\vec{r}_{ij}/\ell_p \in D_{\mathrm{FCC}}\)
• \(\Delta \phi_{ij} \in \mathbb{Z}_6 \cdot \tfrac{\pi}{3}\)

 

2. 결합 구조 및 방향

• 결합 존재:$$A_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{결합 조건 만족 시} \\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$$
• 결합 방향 (쌍간 속성): $$\vec{d}_{ij} = \frac{\vec{r}_{ij}}{\ell_p},\quad \vec{d}_{ji} = -\vec{d}_{ij}$$

 

3. 해밀토니안 구조

$$\mathcal{H} = \mathcal{H}_{\text{align}} + \mathcal{H}_{\text{phase}} + \mathcal{H}_{\text{void}}$$

3.1 정렬 에너지

$$f_{ij} = |\vec{Z}_i \cdot \vec{d}_{ij}| \cdot |\vec{Z}_j \cdot \vec{d}_{ji}|$$ $$\mathcal{H}_{\text{align}} = \epsilon_z \sum_{(i,j)} A_{ij}(1 - f_{ij})$$

 

3.2 위상 퍼텐셜 에너지

$$\mathcal{H}_{\text{phase}} = \epsilon_\phi \sum_{(i,j)} A_{ij} \left[1 - \cos(6(\phi_i - \phi_j))\right]$$

 

3.3 Void 기반 결합 에너지

• 셀 내 결합 수: $$m_c = \sum_{(i,j) \in E(c)} A_{ij}$$
• Void 팽창량: $$\Delta V(m_c) = \alpha \ell_p^3 \left( 1 - \frac{m_c}{12} \right)^k$$
• Void 에너지: $$\mathcal{H}_{\text{void}} = \kappa_v \sum_c \left[\Delta V(m_c)\right]^2$$

 

4. 유효 시간 정의 (정규화 및 척도 불변성 확보)

$$\boxed{ \tau = \int \sqrt{ \frac{1}{N} \sum_{(i,j)} \left( \frac{\delta \phi_{ij}}{\phi_0} \right)^2 }\, d\delta\tau } \quad \text{with } \phi_0 = \tfrac{\pi}{3}$$

• \(\tau\): 정규화된 위상 변화의 누적량
• \(N = |E|\): 결합 수
• 척도 불변성 보장

 

5. 위상 엔트로피 및 동역학 연결

$$S(\tau) = -\sum_{\alpha \in \mathbb{Z}_6} p_\alpha(\tau) \ln p_\alpha(\tau)$$ $$\frac{dS}{d\tau} = \alpha \left(1 - \frac{S}{S_{\max}}\right), \quad S_{\max} = \ln 6$$

→ S자형 진화 곡선, 동기화 → 포화

 

6. 위상 진동자 동역학

위상 진동자 방정식:

$$\frac{d^2 \phi_i}{d\tau^2} = 6\epsilon_\phi \sum_j A_{ij} \sin(6(\phi_j - \phi_i))$$

정규 모드:

$$\lambda_n = n \ell_p,\quad \omega_n = \frac{2\pi c_\phi}{n \ell_p}$$

 

7. 복소 파동함수 \(\psi_i(\tau)\) 정의 및 진화

$$\psi_i(\tau) := A_i(\tau) \cdot e^{i\phi_i(\tau)}$$ $$\boxed{ \frac{d^2 \psi_i}{d\tau^2} \approx - \left( \frac{d\phi_i}{d\tau} \right)^2 \psi_i + i \cdot 6\epsilon_\phi \left( \sum_j A_{ij} \sin(6(\phi_j - \phi_i)) \right) \psi_i }$$

• \(A_i(\tau)\): 국소 결합 안정성 또는 정렬 함수로 선택 가능
• 위 식은 local wave-like 진화 방정식을 구성

 

8. 곡률 및 질량 대응

• Void 밀도장: $$\rho_v(\vec{x}) = \frac{1}{V_{\text{cell}}} \sum_{c \ni \vec{x}} \Delta V(m_c)$$
• 곡률 식 (비선형 확장 포함): $$R(\vec{x}) = R_0 + \alpha_1 \rho_v + \alpha_2 \rho_v^2$$

 

결론

구성 요소 해석

시간 \(\tau\)	위상 변화의 정규화 누적량 (관계적 시간)
파동함수 \(\psi_i\)	복소 위상 진폭으로 정의된 국소 상태
진화방정식	파동-진동 혼합 구조, 위상차로 유도
결합과 곡률	Void 팽창량이 공간 결핍과 곡률 생성으로 이어짐

 

 

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1. Spatial Structure and State Variables  

1.1 Lattice Structure  
* The basic structure is a **discrete FCC lattice** on the scale of **Planck length \(\ell_p\)**.  

* Allowed bonding directions: \(D_{\mathrm{FCC}} = \{ \vec{d}_1, \dots, \vec{d}_{12} \} \subset \mathbb{R}^3,\quad |\vec{d}_k| = 1\)  

1.2 Qaether State Function  
The state of each Qaether \(i\):  
$$\Xi_i = (S_i,\ \vec{Z}_i,\ \phi_i), \quad S_i \in \{0,1\},\ \vec{Z}_i \in \mathbb{S}^2,\ \phi_i \in [0, 2\pi)$$  
* \(S_i\): Activation status  

* \(\vec{Z}_i\): Intrinsic axis of rotation  

* \(\phi_i\): Phase variable (not observable; only phase differences can be observed)  

1.3 Bonding Conditions  
For two Qaether \(i,j\) to bond:  
* \(S_i = S_j = 1\)  

* \(\vec{r}_{ij}/\ell_p \in D_{\mathrm{FCC}}\)  

* \(\Delta \phi_{ij} \in \mathbb{Z}_6 \cdot \tfrac{\pi}{3}\)  

 

2. Bonding Structure and Direction  

* Existence of Bond:  
$$A_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if bonding conditions are satisfied} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$  

* Bonding direction (pairwise property):  
$$\vec{d}_{ij} = \frac{\vec{r}_{ij}}{\ell_p},\quad \vec{d}_{ji} = -\vec{d}_{ij}$$  

 

3. Hamiltonian Structure  

$$\mathcal{H} = \mathcal{H}_{\text{align}} + \mathcal{H}_{\text{phase}} + \mathcal{H}_{\text{void}}$$  
3.1 Alignment Energy  
$$f_{ij} = |\vec{Z}_i \cdot \vec{d}_{ij}| \cdot |\vec{Z}_j \cdot \vec{d}_{ji}|$$  
$$\mathcal{H}_{\text{align}} = \epsilon_z \sum_{(i,j)} A_{ij}(1 - f_{ij})$$  
3.2 Phase Potential Energy  
$$\mathcal{H}_{\text{phase}} = \epsilon_\phi \sum_{(i,j)} A_{ij} \left[1 - \cos(6(\phi_i - \phi_j))\right]$$  
3.3 Void-Based Bonding Energy  
* Number of bonds within a cell:  
$$m_c = \sum_{(i,j) \in E(c)} A_{ij}$$  

* Void expansion amount:  
$$\Delta V(m_c) = \alpha \ell_p^3 \left( 1 - \frac{m_c}{12} \right)^k$$  

* Void energy:  
$$\mathcal{H}_{\text{void}} = \kappa_v \sum_c \left[\Delta V(m_c)\right]^2$$  

 

4. Definition of Effective Time (Ensuring Normalization and Scale Invariance)  

$$\boxed{ \tau = \int \sqrt{ \frac{1}{N} \sum_{(i,j)} \left( \frac{\delta \phi_{ij}}{\phi_0} \right)^2 }\, d\delta\tau } \quad \text{with } \phi_0 = \tfrac{\pi}{3}$$  
* \(\tau\): Cumulative amount of normalized phase change  

* \(N = |E|\): Number of bonds  

* **Ensuring Scale Invariance**  

 

5. Phase Entropy and Dynamics Connection  

$$S(\tau) = -\sum_{\alpha \in \mathbb{Z}_6} p_\alpha(\tau) \ln p_\alpha(\tau)$$  
$$\frac{dS}{d\tau} = \alpha \left(1 - \frac{S}{S_{\max}}\right), \quad S_{\max} = \ln 6$$  
→ **S-shaped evolution curve**, synchronization → saturation  

 

6. Dynamics of Phase Oscillators  

Phase oscillator equation:  
$$\frac{d^2 \phi_i}{d\tau^2} = 6\epsilon_\phi \sum_j A_{ij} \sin(6(\phi_j - \phi_i))$$  
Normal modes:  
$$\lambda_n = n \ell_p,\quad \omega_n = \frac{2\pi c_\phi}{n \ell_p}$$  

 

7. Definition and Evolution of Complex Wave Function \(\psi_i(\tau)\)  

$$\psi_i(\tau) := A_i(\tau) \cdot e^{i\phi_i(\tau)}$$  
$$\boxed{ \frac{d^2 \psi_i}{d\tau^2} \approx - \left( \frac{d\phi_i}{d\tau} \right)^2 \psi_i + i \cdot 6\epsilon_\phi \left( \sum_j A_{ij} \sin(6(\phi_j - \phi_i)) \right) \psi_i }$$  
* \(A_i(\tau)\): Can be chosen as a local bonding stability or alignment function  

* The equation above constitutes a **local wave-like evolution equation**  

 

8. Curvature and Mass Correspondence  

* Void density field:  
$$\rho_v(\vec{x}) = \frac{1}{V_{\text{cell}}} \sum_{c \ni \vec{x}} \Delta V(m_c)$$  

* Curvature equation (including nonlinear expansion):  
$$R(\vec{x}) = R_0 + \alpha_1 \rho_v + \alpha_2 \rho_v^2$$  

 

Conclusion  

Interpretation of components  
Time \(\tau\) represents the cumulative amount of normalized phase change (relational time). The wave function \(\psi_i\) is defined as a local state characterized by complex phase amplitudes, governed by the evolution equation linking wave and oscillation structures, induced by phase differences, bonding, and curvature. The void expansion amounts lead to spatial deficiencies and curvature generation.