Basic axioms (v0.7)

Axioms

Basic axioms (v0.7)

Qaether 2025. 5. 17. 19:15

A1. 근원적 실재: Void와 Qaether, 유효 압력

Void: 비공간 경계조건
- 공간도, 시간도, 에너지도 없는 절대 무(無), 그러나 공간에게는 에너지의 팽창을 억제하는 비공간적 저항으로 작용.
- 정보 전달, 에너지 흐름, 공간 확장은 전혀 허용되지 않으며, 반사율 100%를 가정
- Void는 셀 내부 에너지에 대해 완전 반사조건을 부과하며, 그 결과 자기응력을 유도
Qaether: 공간의 최소단위
- 반지름 $r_q \approx l_p/2$ 를 갖는 구형 셀, FCC lattice의 lattice site에 배치됨
- 셀당 최대 12방향으로 결합 가능하며, 결합은 에너지 해소이자 공간의 발생 조건임

유효 외부 저항 압력: Qaether는 에너지를 가지고 있기 때문에 팽창하려는 경향이 있다. 그러나 Void는 비공간이기 때문에 격자 외부 경계 조건으로 작용. (비유: 박스안에서 풍선을 불면 커지다가 박스 크기로 인해 크게 제한)
- 가상 부피정의
  - $V_{FCC}$: 가상의 FCC격자 부피크기 추정
  - $V_Q$: 1개 Qaether 부피
  - $V_{void}$: $V_{FCC}$에서 결합된 갯수 만큼 $V_Q$ 제거해가는 방식
- 최대 Void 부피: $$V_{void}(0) = V_{FCC} - V_Q $$
- 최소 Void 부피: $$V_{void}(12) = V_{FCC} - 4V_Q $$
- $m_i$개의 결합을 가진 $V_{void}$ ($0 \leq m_i \leq 12$)
  $$V_{void}(m_i) = V_{void}(0) - (m_i / 4) * V_Q$$
위에 Void의 부피는 계산의 편의를 위하여 Qaether의 배치를 이용해 추측한 가상의 부피변수이다.

A2. 격자 구조 및 시계순환순서: FCC 격자, 결합 벡터 그리고 순환순서

공간은 플랑크 길이 $\ell_p$를 단위로 하는 FCC(face-centered cubic) 격자
FCC 격자 각 셀 부피: $$V_{FCC} \approx 2 \sqrt{2} l_p^3 $$
각 Qaether는 최대 12개의 최근접 이웃과 결합 가능
결합벡터 $\hat{b}_{ij}$ 는 FCC 12방향의 단위벡터 중 하나
국소 (111) 평면으로 결합벡터 투영 후 극각 $\theta_{ij}$ 계산, 오름차순(⟳ 시계방향) 정렬.
정렬 인덱스 $i=1,\dots,12$ 고정, 이를 통해 각 셀 내부의 순환순서 정의.

A3. Qaether 상태 함수 정의

각 Qaether i는 다음과 같은 상태벡터로 정의됨:

$$\boxed{\text{State}(Q_i) = \left(\phi_i,\; \Omega_i(n),\; \hat{z}_i,\; \{\hat{b}_{ij}\}\right) }$$

위상: $\phi_i$
각주파수: $\Omega_i(n)={2\pi c_\phi }/{ n l_p } $ $\to$ 최소 파장이 $l_p$이고 정수($n$)배로 증가한다는 조건에서 유도
스핀축: $$\hat{z}_i = \frac { D_i }{ ||D_i|| } \quad (단, D_i=0 이면 \frac { B_i }{ ||B_i|| })$$ $$ D_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \Delta \phi_{ij} \, \hat{b}_{ij} \quad (\Delta \phi_{ij} = \phi_{i} - \phi_{j}) $$ $$ B_i = \sum_{j\in\mathbb{N}(i)} \, \hat{b}_{ij} $$
결합벡터 집합: $\{\hat{b}_{ij}\}$

A4. 유효 시간 정의

최소 파장: $λ_0 = l_p$
위상 속도: $c_\phi$
최소 주기: $\tau_0 = l_p / c_\phi$
위상속도제한: $\dot \phi_i \leq {2\pi}/{\tau_0} = \frac{2 \pi c_\phi}{l_p} $
유효시간의 정의:
- 각 Qaether i 에 대해 $$ d\tau_i(\phi_i) = \frac{\tau_0}{2\pi} d\phi_i \to \tau_i(\phi_i) = \frac{\tau_0}{2\pi} \phi_i $$
  1. 여기서 $d\phi_i$는 셀 i 위상 변화량, $\tau_0 = l_p/c_\phi$는 최소위상주기
  2. $\tau_i$는 오직 i번째 셀의 위상 누적에 의해서만 증가하므로, 셀 수에 무관합니다.
- 전체시간으로의 집계: N개의 셀을 가진 시스템 전체의 “공통적 시간 지표”를 국소 시간들의 평균으로 정의 $$\tau_{global} = \frac{1}{ N } \sum_{i=1}^N \tau_i = \frac{\tau_0}{2\pi N} \sum_{i=1}^N \phi_{i}$$
  1. 모든 셀의 위상 누적을 동등하게 반영하므로, 특정 셀 수·결합수에 비례하지 않습니다.
  2. 물리적으로는 격자 전체의 평균 위상 흐름이 시간이 됩니다.

A5. 결합 위상 조건

결합 위상차: $$Δ\phi_{ij} = (\phi _i - \phi _j) \ mod \ 2\pi, \quad \Delta \phi_{ij} \in (-\pi, \pi]$$
위상 양자화$$\Delta \phi_{ij} \in \mathbb{Z}_6 \cdot \pi/3 \quad (Z₆ 허용 위상차 )$$
국소 위상 불일치 (토폴로지 전하의 근원): 셀 i와 그 최근접 이웃 $ (j \in \mathcal{N}(i)) $간의 위상차들의 총합으로 국소적인 위상불일치 (\Theta\)를 정의한다. 이는 셀 i가 지니는 토폴로지적 전하의 근원이 된다.

$$\Theta_i \;=\;\sum_{j\in\mathcal N^(i)}\Delta\phi_{ij}, \quad \Theta_i=2\pi\,n_i,\;n_i\in\mathbb Z$$

여기서 $\mathcal{N}(i)$ 는 셀i의 최근접 이웃 Qaether들의 집합이다.

$n_i=0$ 일 때 국소 위상 불일치 없음 (무전하)
$n_i\neq0$ 일 때 국소 위상 불일치 발생 (전하·토폴로지 결함 발생)

A6. 로렌츠 대칭성 회복조건

FCC 격자는 미시적 수준에서는 이산적이지만, 장파장/장시간 스케일에서는 등방적 유효 연속체 동역학이 복원됨

$$\lim_{\lambda \gg l_p} \to Lorentz \quad 유효 대칭$$

A7. 전하·색전하 연산자 정의

국소 전하 연산자$$Q_i = \frac{e}{2\pi}\,\Theta_i = e\,n_i, \quad n_i = \frac{\Theta_i}{2\pi} \in \mathbb Z,\Theta_i = \sum_{j\in\mathcal N(i)}\Delta\phi_{ij}, \quad \Delta\phi_{ij} = (\phi_i - \phi_j) \bmod 2\pi$$
국소 색전하 연산자 (Cartan 성분)$$C_i^a = \omega^a\,n_i, \quad a\in\{3,8\},\omega^3\in\{\tfrac12,-\tfrac12,0\},\quad \omega^8\in\{\tfrac1{2\sqrt3},\tfrac1{2\sqrt3},-\tfrac1{\sqrt3}\}$$
양자화 단위 정의$$\varepsilon^a \equiv \frac{\omega^a}{6}$$
링크 색전기장
- 위상 양자화 조건 $\Delta\phi_{ij}\in \mathbb Z_6\cdot\tfrac\pi3$에 따라$$m_{ij} = \frac{\Delta\phi_{ij}}{\pi/3} \;\in\;\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$$
- 정의$$E_{ij}^a = m_{ij}\,\varepsilon^a. $$
- 반대 방향일 때: $$E_{ji}^a = -E_{ij}^a$$
국소 가우스 법칙 $$\sum_{j\in\mathcal N(i)} E_{ij}^a = \varepsilon^a \sum_j m_{ij} = \varepsilon^a \,\Bigl(\tfrac{3}{\pi}\sum_j\Delta\phi_{ij}\Bigr) = \varepsilon^a\,(6n_i) = \omega^a\,n_i = C_i^a,$$ $$\Longrightarrow\quad G_i^a = \sum_j E_{ij}^a - C_i^a \;=\;0$$
색전하 생성·소멸 연산자
- 생성 $\mathcal C^\dagger_\alpha(i): n_i\to n_i+1$
  ⇒ $\Delta C_i^a=+\omega^a$
  ⇒ $\sum_j\Delta m_{ij}=+6$
  ⇒ $\sum_j\Delta E_{ij}^a=+6\,\varepsilon^a=+\omega^a$
- 소멸 $\mathcal C_\alpha(i): n_i\to n_i-1$
  ⇒ $\Delta C_i^a=-\omega^a$
  ⇒ $\sum_j\Delta m_{ij}=-6$
  ⇒ $\sum_j\Delta E_{ij}^a=-6\,\varepsilon^a=-\omega^a$
각 링크별 $\Delta m_{ij}\in\mathbb Z$를 “총합 ±6”이 되도록 분배하면, Gauss 법칙이 동적으로도 보존됩니다.

A8. 입자 정의

Qaether 이론에서는 입자를 결합패턴으로 분류한다. 아래는 입자 패턴 분류 기준이다.

전하 (Q) $$Q = \frac{e}{ 2\pi } \sum_i \Theta_i$$
색전하 (Color)
- 완전 대칭: white (색중성)
- 비대칭: R/G/B (개별 패턴은 색중성 보존 조건 $R+G+B$ 만족)
스핀 (S): $n_i$의 짝수·홀수 여부로 구분. 닫혀있지 않은 입자는 결합을 통해 닫혀야만 스핀을 갖게된다.

$$S = 1 - \frac{n_i \bmod 2}{2} = \begin{cases} 1, \quad n_i\equiv0\pmod2 \\ \tfrac12, \quad n\equiv1\pmod2 \end{cases}$$

기호 설명 값/차원

기호	설명	값/차원
$\ell_p$	플랑크 길이	약 1.616$\times10^{-35}\, m$
$r_q$	Qaether 반지름	$\tfrac12\,\ell_p$
$V_Q$	단일 Qaether 부피	$\tfrac43\pi\,r_q^3\approx0.524\,\ell_p^3$
$V_{FCC}$	FCC 기저 부피	$2\sqrt2\,\ell_p^3\approx2.828\,\ell_p^3$
$c_\phi$	위상 속도	모델별 정의 필요 (일반적으로 빛의 속도 c로 예상)
$\lambda_0$	최소 파장	$\ell_p$
$\tau_0$	최소 위상주기	$\tfrac{\,\ell_p}{c_\phi}$
$\pi$	원주율	무차원
$e$	기본 전하량	약 1.602 $\times10^{-19} C $
$\omega^3,\omega^8$	SU(3) 무게 벡터 성분	무차원 집합: $\{\tfrac12,-\tfrac12,0\}$, $\{\tfrac1{2\sqrt3},\tfrac1{2\sqrt3},-\tfrac1{\sqrt3}\}$

기호	설명	값/차원
\(\ell_p\)	플랑크 길이	약 1.616\(\times10^{-35}\, m\)
\(r_q\)	Qaether 반지름	\(\tfrac12\,\ell_p\)
\(V_Q\)	단일 Qaether 부피	\(\tfrac43\pi\,r_q^3\approx0.524\,\ell_p^3\)
\(V_{FCC}\)	FCC 기저 부피	\(2\sqrt2\,\ell_p^3\approx2.828\,\ell_p^3\)
\(c_\phi\)	위상 속도	모델별 정의 필요 (일반적으로 빛의 속도 c로 예상)
\(\lambda_0\)	최소 파장	\(\ell_p\)
\(\tau_0\)	최소 위상주기	\(\tfrac{\,\ell_p}{c_\phi}\)
\(\pi\)	원주율	무차원
\(e\)	기본 전하량	약 1.602 \(\times10^{-19} C \)
\(\omega^3,\omega^8\)	SU(3) 무게 벡터 성분	무차원 집합: \(\{\tfrac12,-\tfrac12,0\}\), \(\{\tfrac1{2\sqrt3},\tfrac1{2\sqrt3},-\tfrac1{\sqrt3}\}\)