[v2.4] Curvature Part: Vertex-Induced T/O Reference-Residual Action

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0. 지위

Qaether v2.4-curvature은 공식 Qaether v2.4 정적 경계-그래프 파운데이션 위에 추가되는 곡률 유사 작용 및 하이브리드 동역학 레이어이다.

공식 v2.4의 존재론은 그대로 유지된다.
$$
\text{Qaether}=\text{vertex}, \qquad \text{primitive bond}=\text{edge}.
$$
채워진 면과 채워진 부피는 도입하지 않는다.
$$
C_\triangle,\ C_\square \neq \text{filled faces}, \qquad T,\ O \neq \text{filled 3-cells}.
$$
각 vertex는 사원수 상태를 가진다.
$$
q_v\in SU(2).
$$
edge-relative phase는 vertex 상태에서 유도된다.
$$
h_{vw}=q_v^{-1}q_w.
$$
따라서 모든 닫힌 그래프 루프 $C$에 대해
$$
h_C=1_{SU(2)}
$$
이다.

그러므로 v2.4-curvature은 continuum GR curvature도, Regge curvature도, $SU(2)$ loop-holonomy curvature도 아니다.

v2.4-curvature이 정의하는 것은 오직 다음이다.
$$
\boxed{
\text{vertex-induced boundary-motif reference-residual action}
}
$$
즉, 현재 구성
$$
\mathcal Q=(V,E,\rho,\ldots)
$$
에서 검출되는 (T/O) 경계-모티프 결합이 외부 (T/O) 기준기하의 이상적인 국소 결합과 얼마나 다른지를 측정하는 작용이다.

1. 핵심 명제

v2.4-curvature의 핵심 명제는 다음과 같다.

1. 곡률 유사 구조는 $(V,E,\rho)$에서 검출된 (T/O) boundary motif incidence로부터 계산된다.
2. 모티프는 독립된 실체가 아니다. 모티프는 현재 vertex-edge-realization에서 유도되거나 인식되는 경계 패턴이다.
3. 작용은 모든 vertex pair 위에서 계산되지 않는다. 작용은 선택된 활성 pair-slot 평가 도메인 위에서만 계산된다.
4. pair-slot은 평가 인덱스이다. pair-slot은 반드시 edge일 필요가 없으며, primitive bond도 아니다.
5. v2.4-curvature의 기본 관례에서 선택된 pair-slot은 잠재적 결합 평가 슬롯이다. 따라서 선택된 pair-slot이 실제 edge/motif incidence로 실현되지 않으면 $2\pi$-잔차 결함으로 penalize된다.
6. 하드 정수 섹터에서 zero residual은 정확히
   $$
   2T+2O
   $$
   결합을 의미한다.
7. 전역 hard action은 유한 도메인 또는 수렴하는 합에서만 total action으로 사용된다.
8. 무한 벌크에서는 local action 또는 action-density limit으로 해석한다.
9. hard dynamics는 불연속적 검출을 사용하므로 $\Delta S$-기반 전이로 정의된다.
10. soft dynamics는 mobility-form Onsager relaxation으로 정의된다.
11. soft monotonicity는 frozen-index epoch 안에서만 엄밀하다.
12. 이 curvature-like layer는 공식 v2.4의 flat induced $SU(2)$ holonomy를 깨지 않는다.

2. 공식 v2.4 core와 curvature layer의 관계

공식 Qaether v2.4 configuration은 다음이다.
$$
\mathcal Q_{2.4} = (V,E,\rho,\ell_Q,q,\mathcal C_\triangle,\mathcal C_\square, \operatorname{Or}(\mathcal C_\square),\pi_\square, \mathcal M_T,\mathcal M_O).
$$
여기서
$$
G_Q=(V,E)
$$
이고,
$$
E=\text{primitive bonds}
$$
이다.

v2.4-curvature은 공식 core motif family와 별도로 detected motif family를 사용한다.
$$
\mathcal M_T^{\mathrm{core}},\qquad \mathcal M_O^{\mathrm{core}}
$$
와
$$
\widehat{\mathcal M}_T[V,E,\rho], \qquad \widehat{\mathcal M}_O[V,E,\rho]
$$
를 구분한다.

선험적으로는
$$
\widehat{\mathcal M}_{T/O} \neq \mathcal M_{T/O}^{\mathrm{core}}
$$
이다.

특정 모델 선택으로
$$
\widehat{\mathcal M}_{T/O} = \mathcal M_{T/O}^{\mathrm{core}}
$$
를 부과할 수는 있다. 그러나 이것은 자동 정리가 아니라 model choice이다.

3. Detected motif 객체

Detected motif는 단순한 vertex subset이 아니다. 다음 두 데이터를 함께 가진다.
$$\text{1-skeleton boundary graph}$$ $$\text{distinguished boundary-cycle incidence}$$
즉,
$$\text{detected motif} = \text{boundary graph} + \text{distinguished boundary-cycle incidence}.$$
채워진 face나 volume은 포함하지 않는다.

4. Detected \(T\)-motif

검출된 \(T\)-motif는 다음 데이터이다.
$$
\widehat T = (A,G_Q[A],\widehat{\mathcal C}_\triangle(\widehat T)).
$$
여기서
$$
A=\{a_0,a_1,a_2,a_3\}\subset V.
$$

4.1 Graph condition
$$
G_Q[A]\cong K_4.
$$
즉, 모든 $i\neq j$에 대해
$$
\{a_i,a_j\}\in E.
$$

4.2 Geometric nondegeneracy
$$
\dim_{\mathrm{aff}} \{\rho(a_0),\rho(a_1),\rho(a_2),\rho(a_3)\} = 3.
$$

4.3 Contact-scale compatibility
Hard exact layer에서는
$$
\{a_i,a_j\}\in E \Rightarrow |\rho(a_i)-\rho(a_j)|=\ell_Q.
$$
시뮬레이션 허용오차 버전에서는
$$
\left| |\rho(a_i)-\rho(a_j)|-\ell_Q \right| \le \varepsilon_T.
$$

4.4 Triangular boundary-cycle incidence
검출된 (T)-motif는 4개의 distinguished triangular boundary cycles를 가진다.
$$
\widehat{\mathcal C}_\triangle(\widehat T) = \{ [a_j,a_k,a_l]_{D_3} : \{a_j,a_k,a_l\}=A\setminus\{a_i\},\ i=0,1,2,3 \}.
$$
따라서
$$
|\widehat{\mathcal C}_\triangle(\widehat T)|=4.
$$
기호적으로
$$
\widehat T\sim 4\widehat C_\triangle.
$$
여기서 $\sim$은 filled-face decomposition이 아니라 boundary-cycle incidence decomposition이다.

5. Detected \(O\)-motif

검출된 \(O\)-motif는 다음 데이터이다.
$$
\widehat O = (B,P_O(B),G_Q[B], \widehat{\mathcal C}_\triangle(\widehat O), \widehat{\mathcal C}_\square(\widehat O)).
$$
여기서
$$
B\subset V, \qquad |B|=6.
$$

5.1 Opposite-pair structures
$$
\mathsf P(B) = \{\text{perfect matchings of }B\}.
$$
각 $P\in\mathsf P(B)$는 세 개의 disjoint pairs를 가진다.
$$
P = \{ \{x_1^+,x_1^-\}, \{x_2^+,x_2^-\}, \{x_3^+,x_3^-\} \}.
$$

5.2 Graph-induced opposite pairing
엄밀한 hard graph sector에서
$$
G_Q[B]\cong K_{2,2,2}
$$
이면 complement graph는
$$
\overline{G_Q[B]}\cong 3K_2
$$
이다.

이때 graph-induced opposite matching을 다음으로 둔다.
$$
P_O^{\mathrm{graph}}(B) = \text{the perfect matching given by } \overline{G_Q[B]}.
$$

5.3 Geometry-induced opposite pairing
각 $P\in\mathsf P(B)$에 대해 octahedral geometry defect score를 둔다.
$$
\mathfrak d_O^{\mathrm{geom}}(B,P;\rho)\ge 0.
$$
Geometry-induced matching은 최소값이 유일할 때만 정의한다.
$$
P_O^{\mathrm{geom}}(B) = \operatorname*{argmin}_{P\in\mathsf P(B)} \mathfrak d_O^{\mathrm{geom}}(B,P;\rho).
$$
최소값이 유일하지 않으면 hard \(O\)-motif로 인정하지 않는다.

5.4 Combined hard \(O\)-condition
Hard detected \(O\)-motif는 다음이 모두 성립할 때만 인정한다.
$$ P_O^{\mathrm{graph}}(B) \text{ exists}, $$ $$ P_O^{\mathrm{geom}}(B) \text{ exists}, $$ $$P_O^{\mathrm{graph}}(B) = P_O^{\mathrm{geom}}(B). $$
이 공통 matching을 $P_O(B)$라고 쓴다.

5.5 Graph condition after pairing
매칭 $P_O(B)$와 양립하는 어떤 labeling
$$
B = \{x_1^+,x_1^-,x_2^+,x_2^-,x_3^+,x_3^-\}
$$
이 존재하여
$$
P_O(B) = \{ \{x_i^+,x_i^-\} : i=1,2,3 \}
$$
이고,
$$
\{x_i^\epsilon,x_j^\delta\}\in E \Longleftrightarrow i\neq j
$$
를 만족해야 한다.
즉, opposite pair는 edge가 아니고, non-opposite pair는 edge이다.

5.6 Octahedral realization
어떤 $c\in\mathbb R^3$와 orthonormal frame $(u_1,u_2,u_3)$가 존재하여
$$
\rho(x_i^\pm) = c \pm \frac{\ell_Q}{\sqrt2}u_i
$$
를 만족해야 한다.
허용오차 버전에서는
$$
\left| \rho(x_i^\pm) - \left(c\pm \frac{\ell_Q}{\sqrt2}u_i\right) \right| \le \varepsilon_O.
$$

5.7 Square and triangular boundary-cycle incidence
검출된 \(O\)-motif는 3개의 distinguished square cycles를 가진다.
$$ \widehat C_\square^{(1)} = [x_2^+,x_3^+,x_2^-,x_3^-]_{D_4}, $$ $$ \widehat C_\square^{(2)} = [x_1^+,x_3^+,x_1^-,x_3^-]_{D_4}, $$ $$\widehat C_\square^{(3)} = [x_1^+,x_2^+,x_1^-,x_2^-]_{D_4}. $$
또한 각 $(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3$에 대해
$$
\widehat C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3} = [x_1^{\epsilon_1},x_2^{\epsilon_2},x_3^{\epsilon_3}]_{D_3}
$$
를 정의한다.
따라서
$$
|\widehat{\mathcal C}_\square(\widehat O)|=3, \qquad |\widehat{\mathcal C}_\triangle(\widehat O)|=8.
$$
기호적으로
$$
\widehat O \sim 3\widehat C_\square^\perp \sim 8\widehat C_\triangle.
$$

6. 선택된 활성 pair-slot 평가 도메인

v2.4-curvature은 선택된 활성 pair-slot 평가 도메인 위에서 정의된다.
$$
\Lambda_2^{\mathrm{curv}} \subset \binom{V}{2}.
$$
여기서 $p=\{v,w\}\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}}$는 순서 없는 vertex-pair 평가 인덱스이다.

중요하게도,
$$
p\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}} \not\Rightarrow p\in E.
$$
즉,
$$
\text{pair-slot} \neq \text{primitive bond}.
$$
Primitive bond는 오직 edge이다.
$$
\text{primitive bond} = e\in E.
$$
v2.4-curvature의 기본 관례는 다음이다.
$$
p\notin E \Rightarrow \widehat t_p=\widehat o_p=0.
$$
따라서 선택된 pair-slot이 edge/motif incidence로 실현되지 않으면
$$
\widehat\Omega_p^{TO}=2\pi
$$
가 된다.

이것은 병리가 아니라 v2.4-curvature의 selected active slot penalty convention이다.
즉, 선택된 활성 pair-slot은 단순한 임의 index가 아니라, ideal (T/O) local incidence가 평가될 수 있는 잠재적 결합 슬롯이다. 선택했는데 실현되지 않으면 결함으로 본다.

선택되지 않은 pair는 작용에 들어가지 않는다.
$$
p\notin \Lambda_2^{\mathrm{curv}} \Rightarrow p\text{ is not evaluated}.
$$

7. Pair-local hard motif counts

각 $p=\{v,w\}\in \binom{V}{2}$에 대해 hard pair-local counts를 정의한다.
$$
\widehat t_p[V,E,\rho] = \# \{ \widehat T\in\widehat{\mathcal M}_T[V,E,\rho] : p\in E(\widehat T) \}.
$$
$$
\widehat o_p[V,E,\rho] = \# \{ \widehat O\in\widehat{\mathcal M}_O[V,E,\rho] : p\in E(\widehat O) \}.
$$
여기서
$$
E(\widehat T)=E(G_Q[A]),
$$
$$
E(\widehat O)=E(G_Q[B]).
$$
만약 $p\notin E$이면 hard edge-incidence convention에 의해
$$
\widehat t_p=\widehat o_p=0.
$$

8. T/O reference angles

정사면체 dihedral angle은
$$
\alpha_T=\arccos\left(\frac13\right).
$$
정팔면체 dihedral angle은
$$
\alpha_O=\arccos\left(-\frac13\right).
$$
따라서
$$
\alpha_O=\pi-\alpha_T.
$$
T-only closure는 obstruction을 갖는다.
$$
m\alpha_T\neq 2\pi \qquad (m\in\mathbb Z_{\ge1}).
$$
Mixed (T/O) reference closure는
$$
2\alpha_T+2\alpha_O=2\pi
$$
를 만족한다.
따라서 ideal mixed local reference state는
$$
2T+2O
$$
이다.

9. Irrationality lemma

$$
\alpha_T/\pi\notin\mathbb Q.
$$
Proof
$\alpha_T/\pi\in\mathbb Q$라고 가정하자. 그러면 $e^{i\alpha_T}$는 root of unity이다. 따라서 $2\cos\alpha_T$는 algebraic integer이다.
그런데 $\cos\alpha_T=\frac13$이므로 $2\cos\alpha_T=\frac23$이다.
유리수인 algebraic integer는 정수여야 한다. 그러나 $\frac23\notin\mathbb Z$이다.
모순이다. 따라서 $\alpha_T/\pi\notin\mathbb Q$이다.

10. Hard zero-residual lemma

하드 정수 카운트 $t,o\in\mathbb Z_{\ge0}$에 대해
$$
\Omega^{TO} = 2\pi-(t\alpha_T+o\alpha_O)
$$
라고 하자. 그러면
$$
\boxed{
\Omega^{TO}=0 \Longleftrightarrow (t,o)=(2,2).
}
$$
Proof
$\Omega^{TO}=0$이면 $t\alpha_T+o\alpha_O=2\pi$이다.
$\alpha_O=\pi-\alpha_T$이므로 $t\alpha_T+o(\pi-\alpha_T)=2\pi$이다.
정리하면 $(t-o)\alpha_T=(2-o)\pi$이다.
따라서 $(t-o)\frac{\alpha_T}{\pi}=2-o$이다.
$\alpha_T/\pi\notin\mathbb Q$이고 $t-o,\ 2-o\in\mathbb Z$이므로, 이 등식은 $t-o=0$, $2-o=0$일 때만 가능하다. 따라서 $o=2$, $t=2$이다.
반대로 $(t,o)=(2,2)$이면 $\Omega^{TO} = 2\pi-(2\alpha_T+2\alpha_O)=0$이다.
따라서 $\Omega^{TO}=0 \iff (t,o)=(2,2)$이다.

이 보조정리는 hard integer counts에만 적용된다. soft real-valued counts에는 적용되지 않는다.

11. Hard reference residuals

각 $p\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}}$에 대해 T-only residual을 정의한다.
$$
\widehat\Omega_p^T = 2\pi-\widehat t_p\alpha_T.
$$
그 크기는
$$
\widehat D_p^T = |\widehat\Omega_p^T|.
$$
Mixed (T/O) residual은
$$
\widehat\Omega_p^{TO} = 2\pi-(\widehat t_p\alpha_T+\widehat o_p\alpha_O).
$$
그 크기는
$$
\widehat D_p^{TO} = |\widehat\Omega_p^{TO}|.
$$
(O)-sector baseline relief observable은
$$
\widehat B_p^O = \widehat D_p^T-\widehat D_p^{TO}.
$$
만약 $\widehat B_p^O>0$이면 (O)-motif incidence가 T-only 기준잔차를 줄인 것이다.
만약 $\widehat B_p^O<0$이면 (O)-motif incidence가 T-only 기준잔차를 증가시킨 것이다.
이것은 물리적 인력 자체가 아니다. 기준잔차 완화 관측량이다.

12. Coverage indicator and penalty

Coverage indicator를 다음과 같이 둔다.
$$
\chi_{TO}(p) = \begin{cases}
1, & \widehat t_p+\widehat o_p>0, \\
0, & \widehat t_p+\widehat o_p=0.
\end{cases}
$$
전역 coverage penalty는
$$
S_{\mathrm{cov}} = \lambda_{\mathrm{cov}} \sum_{p\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}}} (1-\chi_{TO}(p)).
$$
여기서 $\lambda_{\mathrm{cov}}\ge0$이다.
Coverage penalty는 선택 항이다. $\lambda_{\mathrm{cov}}=0$이면 제거된다.
전역 $S_{\mathrm{cov}}$ 역시 $|\Lambda_2^{\mathrm{curv}}|<\infty$이거나 해당 합이 수렴할 때만 total penalty로 사용된다.

13. Global hard geometric action

전역 hard geometric action은
$$
S_{\mathrm{geo}}^{\mathrm{hard}}[V,E,\rho] = \lambda_{TO} \sum_{p\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}}} (\widehat\Omega_p^{TO})^2 + S_{\mathrm{cov}}.
$$
여기서 $\lambda_{TO}>0$이다.
이 표현은 다음 경우에만 total action으로 사용된다.
$$
|\Lambda_2^{\mathrm{curv}}|<\infty
$$
또는
$$
\sum_{p\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}}} (\widehat\Omega_p^{TO})^2 \quad \text{와} \quad S_{\mathrm{cov}}
$$
가 모두 수렴할 때.
무한 벌크에서는 전역 hard total action이 아니라 local hard action 또는 action-density limit을 사용한다.

14. Finite computational domain

유한 계산에서는 유한 vertex domain을 명시한다.
$$
V_{\mathrm{comp}}\subset V, \qquad |V_{\mathrm{comp}}|<\infty.
$$
만약 $V$ 자체가 유한하면 $V_{\mathrm{comp}}=V$로 둘 수 있다.
계산적 pair-slot domain은 반드시 $V_{\mathrm{comp}}$ 위로 제한한다.
$$
\Lambda_{2,\mathrm{comp}}^{\mathrm{curv}} = \Lambda_2^{\mathrm{curv}} \cap \binom{V_{\mathrm{comp}}}{2}.
$$
유한 계산적 hard/soft action과 soft counts는 $\Lambda_{2,\mathrm{comp}}^{\mathrm{curv}}$ 위에서만 정의한다.
이 제한을 두지 않으면 $p\not\subset V_{\mathrm{comp}}$인 pair-slot이 작용에 들어가면서 의도하지 않은 zero-count ($2\pi$)-residual penalty가 발생할 수 있다.

15. Local realized region and buffer rule

컴팩트한 realized region $\Lambda\subset\mathbb R^3$에 대해 local analysis를 정의한다.
버퍼 반경 $r_{\mathrm{buf}}>0$에 대해
$$
\Lambda^+ = \mathsf{Buf}_{r_{\mathrm{buf}}}(\Lambda) = \{ x\in\mathbb R^3 : \operatorname{dist}(x,\Lambda)\le r_{\mathrm{buf}} \}.
$$
$\Lambda$가 compact이면 $\Lambda^+$도 compact이다.
정적 평가에서는
$$
V^\Lambda = {v\in V:\rho(v)\in\Lambda^+}.
$$
시간 또는 step $n$에서는
$$
V_n^\Lambda = {v\in V:\rho_n(v)\in\Lambda^+}.
$$
기하학적 local finiteness에 의해
$$
|V^\Lambda|<\infty, \qquad |V_n^\Lambda|<\infty.
$$
Buffer closure condition
국소 hard/soft 검출이 buffer 안에서 닫히려면 $r_{\mathrm{buf}}$가 검출 반경보다 작아서는 안 된다.
기본 관례로 $r_{\mathrm{buf}} \ge R_{\mathrm{det}}$를 요구한다.
soft candidate radii ($R_T, R_O$)를 사용할 때는 $R_{\mathrm{det}}\ge \max{R_T,R_O}$로 둘 수 있다. 따라서 간단한 기본 조건은
$$
\boxed{
r_{\mathrm{buf}}\ge \max{R_T,R_O}.
}
$$

16. Local hard pair-slot domain

국소 hard pair-slot domain은 다음이다.
$$
\Lambda_{2,+}^{\mathrm{curv}}(\Lambda) = \{ p={v,w}\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}} : v,w\in V^\Lambda, \ \rho(v)\in\Lambda \text{ or } \rho(w)\in\Lambda \}.
$$
이 domain은 유한하다.
$$
|\Lambda_{2,+}^{\mathrm{curv}}(\Lambda)|<\infty.
$$

17. Local hard detected motif families

국소 hard action이 진짜로 local이 되려면, count도 buffer-local detected motif family에서 계산해야 한다.
따라서 다음을 정의한다.
$$
\widehat{\mathcal M}_T^{\Lambda,+} = \{ \widehat T\in\widehat{\mathcal M}_T[V,E,\rho] : V(\widehat T)\subset V^\Lambda, \ \rho(V(\widehat T))\cap\Lambda\neq\varnothing \}.
$$
$$
\widehat{\mathcal M}_O^{\Lambda,+} = \{ \widehat O\in\widehat{\mathcal M}_O[V,E,\rho] : V(\widehat O)\subset V^\Lambda, \ \rho(V(\widehat O))\cap\Lambda\neq\varnothing \}.
$$
여기서 $V(\widehat T)$, $V(\widehat O)$는 각 detected motif의 vertex set이다.

국소 pair-local counts는
$$
\widehat t_p^\Lambda = \# \{ \widehat T\in\widehat{\mathcal M}_T^{\Lambda,+} : p\in E(\widehat T) \}.
$$
$$
\widehat o_p^\Lambda = \# \{ \widehat O\in\widehat{\mathcal M}_O^{\Lambda,+} : p\in E(\widehat O) \}.
$$
만약 $p\notin E$이면 $\widehat t_p^\Lambda=\widehat o_p^\Lambda=0$이다.

국소 mixed residual은
$$
\widehat\Omega_p^{\Lambda,TO} = 2\pi- (\widehat t_p^\Lambda\alpha_T+\widehat o_p^\Lambda\alpha_O).
$$
국소 coverage indicator는
$$
\chi_{TO}^\Lambda(p) = \begin{cases}
1, & \widehat t_p^\Lambda+\widehat o_p^\Lambda>0, \\
0, & \widehat t_p^\Lambda+\widehat o_p^\Lambda=0.
\end{cases}
$$

18. Local hard geometric action

국소 hard action은
$$
S_{\mathrm{geo}}^{\Lambda,\mathrm{hard}} = \lambda_{TO} \sum_{p\in\Lambda_{2,+}^{\mathrm{curv}}(\Lambda)} (\widehat\Omega_p^{\Lambda,TO})^2 + S_{\mathrm{cov}}^\Lambda.
$$
여기서
$$
S_{\mathrm{cov}}^\Lambda = \lambda_{\mathrm{cov}} \sum_{p\in\Lambda_{2,+}^{\mathrm{curv}}(\Lambda)} (1-\chi_{TO}^\Lambda(p)).
$$
국소 hard zero residual은
$$
\widehat\Omega_p^{\Lambda,TO}=0 \iff (\widehat t_p^\Lambda,\widehat o_p^\Lambda)=(2,2)
$$
이다.

19. Action-density limit

무한 벌크에서 hard sector는 action-density limit으로 해석한다.
소진열 $\Lambda_R\nearrow\mathbb R^3$를 택한다.
경계 효과를 제어하기 위해 van Hove/Følner-type condition을 요구한다.
$$
\frac{|\partial_{r_{\mathrm{buf}}}\Lambda_R|} {|\Lambda_R|} \to 0.
$$
분모가 0이 아니고 극한이 존재할 때,
$$
s_{\mathrm{geo}} = \lim_{R\to\infty} \frac{ S_{\mathrm{geo}}^{\Lambda_R,\mathrm{hard}} }{ |\Lambda_{2,+}^{\mathrm{curv}}(\Lambda_R)| }.
$$
이 값은 total action이 아니라 action density이다.

20. Optional ordering defect

각도 residual은 TOTO와 TTOO를 구분하지 않는다.
만약 $\widehat t_p=2, \quad \widehat o_p=2$이면 TOTO와 TTOO 모두
$$
\widehat\Omega_p^{TO}=0
$$
이다.
따라서 cyclic order data가 있을 때만 ordering defect를 추가한다.
$$
D_p^{\mathrm{ord}} \text{ is defined only when } \operatorname{cyc}_p \text{ is available}.
$$
여기서 $\operatorname{cyc}_p$는 $p$ 주변의 incident detected T/O motifs의 cyclic order이다.
정의역은
$$
\operatorname{Dom}(D^{\mathrm{ord}}) = \{ p\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}} : \operatorname{cyc}_p \text{ is available}\}.
$$
Ordering defect는 다음과 같이 둔다.
$$
D_p^{\mathrm{ord}} = \begin{cases}
0, & \widehat t_p=2,\ \widehat o_p=2,\ \operatorname{cyc}_p=\mathrm{TOTO}, \\
\mu_{\mathrm{TTOO}}, & \widehat t_p=2,\ \widehat o_p=2,\ \operatorname{cyc}_p=\mathrm{TTOO}, \\
\mu_{\mathrm{bad}}, & \text{otherwise}.
\end{cases}
$$
여기서 $0<\mu_{\mathrm{TTOO}}<\mu_{\mathrm{bad}}$이다.
Ordering-refined hard action은
$$
S_{\mathrm{geo,ord}}^{\mathrm{hard}} = \lambda_{TO} \sum_{p\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}}} (\widehat\Omega_p^{TO})^2 + \lambda_{\mathrm{ord}} \sum_{p\in\operatorname{Dom}(D^{\mathrm{ord}})} D_p^{\mathrm{ord}} + S_{\mathrm{cov}}.
$$
국소 버전에서는 첫 번째 합과 coverage term을 local domain으로 바꾸고, $D_p^{\mathrm{ord}}$ 역시 local cyclic order가 제공되는 pair-slot 위에서만 평가한다.

21. Contact-scale and exclusion-preserving admissible moves

공식 v2.4는 다음을 만족한다.
$$
v\neq w \Rightarrow |\rho(v)-\rho(w)|\ge\ell_Q.
$$
$$
\{v,w\}\in E \Rightarrow |\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q.
$$
역은 가정하지 않는다.
$$
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q \not\Rightarrow \{v,w\}\in E.
$$

21.1 Rule A: constrained motion
$E$를 고정하고 $(V,E,\rho)\mapsto (V,E,\rho')$를 허용한다.
요구 조건은
$$
|\rho'(v)-\rho'(w)|=\ell_Q \qquad \forall \{v,w\}\in E
$$
및
$$
v\neq w \Rightarrow |\rho'(v)-\rho'(w)|\ge\ell_Q.
$$

21.2 Rule B: move plus rebonding
$(V,E,\rho)\mapsto(V,E',\rho')$를 허용한다.
먼저
$$
v\neq w \Rightarrow |\rho'(v)-\rho'(w)|\ge\ell_Q
$$
를 요구한다.
그 다음 rebonding rule $\mathcal R$에 의해
$$
E' = \mathcal R[V,\rho'] \subset \{ \{v,w\} : |\rho'(v)-\rho'(w)|=\ell_Q \}
$$
를 선택한다.
허용오차 버전에서는
$$
E' = \mathcal R_{\varepsilon_E}[V,\rho'] \subset \{ \{v,w\} : \left| |\rho'(v)-\rho'(w)|-\ell_Q \right| \le\varepsilon_E \}.
$$
재결합 후 detected motif는 다시 계산한다.
$$
\widehat{\mathcal M}_T' = \operatorname{Det}_T[V,E',\rho'],
$$
$$
\widehat{\mathcal M}_O' = \operatorname{Det}_O[V,E',\rho'].
$$
선택된 pair-slot domain은 rebonding에 의해 바뀌지 않는다.
$$
\Lambda_2^{\mathrm{curv}} \text{ is fixed across rebonding}.
$$

22. Hard dynamics

Hard detection은 불연속적이다. 따라서 hard sector는 smooth gradient flow를 사용하지 않는다.
허용된 hard proposal을
$$
m^{\mathrm{prop}}:\mathcal Q\mapsto\widetilde{\mathcal Q}
$$
라고 하자.
Proposal 후 motif를 재검출한다.
$$
\widehat{\mathcal M}_T(\widetilde{\mathcal Q}) = \operatorname{Det}_T[\widetilde V,\widetilde E,\widetilde\rho],
$$
$$
\widehat{\mathcal M}_O(\widetilde{\mathcal Q}) = \operatorname{Det}_O[\widetilde V,\widetilde E,\widetilde\rho].
$$
Action difference는 같은 평가 domain에서 계산한다.
$$
\Delta S_{\mathrm{geo}} = S_{\mathrm{geo}}[\widetilde{\mathcal Q}] - S_{\mathrm{geo}}[\mathcal Q].
$$

23. Deterministic hard relaxation

결정론적 hard relaxation은 strict residual-lowering rule을 사용한다.
$$
\Delta S_{\mathrm{geo}}<0 \Rightarrow \text{accepted}.
$$
$$
\Delta S_{\mathrm{geo}}\ge0 \Rightarrow \text{rejected}.
$$
따라서 accepted deterministic hard move는 hard action을 엄격하게 감소시킨다.

24. Stochastic hard relaxation

확률적 hard dynamics는 proposal kernel을 사용한다.
$$
q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q,d\mathcal Q').
$$
기본 관례는
$$
q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q\to\mathcal Q)=0.
$$
비자명한 proposal이 존재하면 proposal kernel은 비자명한 proposal 위에서 정규화된다.
비자명한 proposal이 없으면
$$
P(\mathcal Q\to\mathcal Q)=1.
$$

24.1 General Metropolis-Hastings form
일반 proposal에 대해서는 Metropolis-Hastings acceptance를 사용한다.
$$
P_{\mathrm{acc}}(\mathcal Q\to\mathcal Q') = \min \{ 1, \exp[-\beta(S(\mathcal Q')-S(\mathcal Q))] \frac{ q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q'\to\mathcal Q) }{ q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q\to\mathcal Q') } \}.
$$
여기서 $\beta>0$이다.
비대각 전이 확률은
$$
P(\mathcal Q\to\mathcal Q') = q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q\to\mathcal Q') P_{\mathrm{acc}}(\mathcal Q\to\mathcal Q') \qquad (\mathcal Q'\neq\mathcal Q).
$$
자기 전이는
$$
P(\mathcal Q\to\mathcal Q) = 1- \sum_{\mathcal Q'\neq\mathcal Q} q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q\to\mathcal Q') P_{\mathrm{acc}}(\mathcal Q\to\mathcal Q')
$$
이다.

24.2 Symmetric-proposal Metropolis special case
만약
$$
q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q\to\mathcal Q') = q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q'\to\mathcal Q)
$$
이면 위 식은 표준 Metropolis form으로 환원된다.
$$
P_{\mathrm{acc}} = \min\{1,e^{-\beta\Delta S}\}.
$$
유한 온도 stochastic hard dynamics는 residual-biased이지만 strict monotone은 아니다.
$\beta\to\infty$ 극한에서는 $\Delta S>0$ move는 배제된다. 그러나 표준 Metropolis convention에서는 $\Delta S=0$ move는 수용될 수 있다.
Strict residual lowering을 원하면 deterministic rule $\Delta S<0$만 사용한다.

25. Soft candidate families

Soft sector는 hard detected motif 대신 soft candidate family를 사용한다.

25.1 Finite computational candidates
$$
\mathfrak A_T^{\mathrm{comp}} = \{ A\subset V_{\mathrm{comp}} : |A|=4,\ \operatorname{diam}_\rho(A)\le R_T \}.
$$
Soft (O)-candidate는 pairing-resolved object이다.
$$
\widetilde{\mathfrak A}_O^{\mathrm{comp}} = \{ (B,P) : B\subset V_{\mathrm{comp}}, \ |B|=6, \ P\in\mathsf P(B), \ \operatorname{diam}_\rho(B)\le R_O \}.
$$

25.2 Local frozen-index candidates
Soft epoch $n$의 시작 시점 $\tau_n$에서 다음 finite index sets를 고정한다.
$$
V_n^\Lambda = \{ v\in V:\rho_n(v)\in\Lambda^+ \}.
$$
$$
I_{2,n}^{\Lambda} = \{ {v,w}\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}} : v,w\in V_n^\Lambda, \ \rho_n(v)\in\Lambda \text{ or } \rho_n(w)\in\Lambda \}.
$$
$$
\mathfrak A_{T,n}^{\Lambda} = \{ A\subset V_n^\Lambda : |A|=4,\ \operatorname{diam}_{\rho_n}(A)\le R_T, \ \rho_n(A)\cap\Lambda\neq\varnothing \}.
$$
$$
\widetilde{\mathfrak A}_{O,n}^{\Lambda} = \{ (B,P) : B\subset V_n^\Lambda, \ |B|=6, \ P\in\mathsf P(B), \ \operatorname{diam}_{\rho_n}(B)\le R_O, \ \rho_n(B)\cap\Lambda\neq\varnothing \}.
$$
Soft epoch 동안
$$
I_{2,n}^{\Lambda}, \qquad \mathfrak A_{T,n}^{\Lambda}, \qquad \widetilde{\mathfrak A}_{O,n}^{\Lambda}
$$
는 index set으로 고정된다.
Soft relaxation 후에는 reindexing을 수행한다.
$$
\text{soft relaxation} \rightarrow \text{reindexing} \rightarrow \text{next soft epoch}.
$$

26. Soft defect scores and hard-limit compatibility

Soft (T)-defect score를 둔다.
$$
\mathfrak d_T(A;V,E,\rho)\ge0.
$$
Pairing-resolved soft (O)-defect score를 둔다.
$$
\mathfrak d_O(B,P;V,E,\rho)\ge0.
$$
Hard-limit compatibility를 위해 다음을 요구한다.
$$
\mathfrak d_T(A;V,E,\rho)=0 \iff A \text{ satisfies hard }T\text{-motif detection conditions}.
$$
(O)-motif에 대해서는 matching uniqueness까지 포함한다.
$$
\mathfrak d_O(B,P;V,E,\rho)=0 \iff B \text{ is a hard detected }O\text{-motif and } P=P_O(B).
$$
만약 같은 $B$에 대해 hard matching이 유일하지 않으면
$$
\mathfrak d_O(B,P)>0 \qquad \forall P\in\mathsf P(B).
$$
이 조건은 hard limit에서 하나의 6-vertex set이 여러 matching으로 중복 계산되는 것을 막는다.

Soft weights는
$$
w_T(A) = \exp[-\kappa_T\mathfrak d_T(A)]
$$
및
$$
w_O(B,P) = \exp[-\kappa_O\mathfrak d_O(B,P)]
$$
로 둔다.
$$
\kappa_T,\kappa_O>0.
$$
형식적으로 $\kappa_T,\kappa_O\to\infty$ 극한은 hard detection에 접근한다.

27. Soft adjacency option

Soft adjacency amplitude를 사용할 수 있다.
$$
a_{vw}(\rho) = \exp \left[ -\kappa_E \left(|\rho(v)-\rho(w)|-\ell_Q\right)^2 \right].
$$
$$
a_p(\rho) := a_{vw}(\rho) \qquad p={v,w}.
$$
Soft (T)-incidence factor는
$$
\eta_T(A,p) = \mathbf 1_{{p\subset A}} a_p(\rho).
$$
Soft (O)-incidence factor는
$$
\eta_O(B,P,p) = \mathbf 1_{{p\in E_P(B)}} a_p(\rho).
$$
여기서
$$
E_P(B) = \{ \{x,y\}\subset B : {x,y}\notin P \}.
$$
Soft adjacency를 사용하지 않으면 $a_p(\rho)=1$로 둔다. 그러면
$$
\eta_T(A,p) = \mathbf 1_{{p\subset A}},
$$
$$
\eta_O(B,P,p) = \mathbf 1_{{p\in E_P(B)}}.
$$

28. Finite computational soft counts

각 $p\in\Lambda_{2,\mathrm{comp}}^{\mathrm{curv}}$에 대해
$$
t_p^{\mathrm{soft,comp}} = \sum_{A\in\mathfrak A_T^{\mathrm{comp}}} \eta_T(A,p)w_T(A).
$$
$$
o_p^{\mathrm{soft,comp}} = \sum_{(B,P)\in\widetilde{\mathfrak A}_O^{\mathrm{comp}}} \eta_O(B,P,p)w_O(B,P).
$$
Finite computational soft residual은
$$
\Omega_p^{TO,\mathrm{soft,comp}} = 2\pi- (t_p^{\mathrm{soft,comp}}\alpha_T+ o_p^{\mathrm{soft,comp}}\alpha_O).
$$
Soft counts는 real-valued이다.
$$
t_p^{\mathrm{soft,comp}}, \ o_p^{\mathrm{soft,comp}} \in\mathbb R_{\ge0}.
$$
따라서 hard zero-residual lemma는 soft counts에는 적용되지 않는다.

29. Local frozen-epoch soft counts

각 $p\in I_{2,n}^{\Lambda}$에 대해
$$
t_{p,n}^{\Lambda,\mathrm{soft}} = \sum_{A\in\mathfrak A_{T,n}^{\Lambda}} \eta_T(A,p)w_T(A).
$$
$$
o_{p,n}^{\Lambda,\mathrm{soft}} = \sum_{(B,P)\in\widetilde{\mathfrak A}_{O,n}^{\Lambda}} \eta_O(B,P,p)w_O(B,P).
$$
Local frozen-epoch soft residual은
$$
\Omega_{p,n}^{\Lambda,TO,\mathrm{soft}} = 2\pi- (t_{p,n}^{\Lambda,\mathrm{soft}}\alpha_T+ o_{p,n}^{\Lambda,\mathrm{soft}}\alpha_O).
$$

30. Soft geometric action

Finite computational soft geometric action은
$$
S_{\mathrm{geo}}^{\mathrm{soft,comp}} = \lambda_{TO} \sum_{p\in\Lambda_{2,\mathrm{comp}}^{\mathrm{curv}}} (\Omega_p^{TO,\mathrm{soft,comp}})^2.
$$
Local frozen-epoch soft geometric action은
$$
S_{\mathrm{geo},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}} = \lambda_{TO} \sum_{p\in I_{2,n}^{\Lambda}} (\Omega_{p,n}^{\Lambda,TO,\mathrm{soft}})^2.
$$

31. Soft admissibility penalties

Finite computational contact penalty는
$$
S_{\mathrm{contact}}^{\mathrm{comp}} = \lambda_{\mathrm{contact}} \sum_{\substack{{v,w}\in E \ v,w\in V_{\mathrm{comp}}}} \left( |\rho(v)-\rho(w)|-\ell_Q \right)^2.
$$
Finite computational exclusion penalty는
$$
S_{\mathrm{excl}}^{\mathrm{comp}} = \lambda_{\mathrm{excl}} \sum_{\substack{v<w \ v,w\in V_{\mathrm{comp}}}} \left[ \max(0,\ell_Q-|\rho(v)-\rho(w)|) \right]^2.
$$
Shape regularization은 $S_{\mathrm{shape}}^{\mathrm{comp}}$로 둔다. 사용하지 않으면 $S_{\mathrm{shape}}^{\mathrm{comp}}=0$이다.
따라서
$$
S_{\mathrm{total}}^{\mathrm{soft,comp}} = S_{\mathrm{geo}}^{\mathrm{soft,comp}} + S_{\mathrm{contact}}^{\mathrm{comp}} + S_{\mathrm{excl}}^{\mathrm{comp}} + S_{\mathrm{shape}}^{\mathrm{comp}}.
$$
국소 frozen epoch에서는
$$
S_{\mathrm{contact},n}^{\Lambda} = \lambda_{\mathrm{contact}} \sum_{\substack{{v,w}\in E \ v,w\in V_n^\Lambda}} \left( |\rho(v)-\rho(w)|-\ell_Q \right)^2.
$$
$$
S_{\mathrm{excl},n}^{\Lambda} = \lambda_{\mathrm{excl}} \sum_{\substack{v<w \ v,w\in V_n^\Lambda}} \left[ \max(0,\ell_Q-|\rho(v)-\rho(w)|) \right]^2.
$$
$S_{\mathrm{shape},n}^{\Lambda}$는 local shape regularization이다. 사용하지 않으면 0이다.
$$
S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}} = S_{\mathrm{geo},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}} + S_{\mathrm{contact},n}^{\Lambda} + S_{\mathrm{excl},n}^{\Lambda} + S_{\mathrm{shape},n}^{\Lambda}.
$$

32. Mobility-form soft Onsager dynamics

연속 변수들을 $\Xi$라고 하자. 예를 들어 $\Xi=(\rho,\phi_T,\phi_O,\ldots)$일 수 있다.
선택된 inner product에 대해 symmetric positive semidefinite mobility operator를 둔다.
$$
M_\Xi\succeq0.
$$
Finite computational soft flow는
$$
\dot\Xi = M_\Xi \nabla_\Xi S_{\mathrm{total}}^{\mathrm{soft,comp}}.
$$
Local frozen-epoch soft flow는
$$
\dot\Xi = M_\Xi \nabla_\Xi S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}}.
$$
이 방정식은 hard sector에서는 사용하지 않는다.

33. Soft monotonicity

Frozen-index epoch 동안 $S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}}$가 differentiable이고 $M_\Xi\succeq0$라고 하자.
그러면
$$
\frac{d}{d\tau} S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}} = \left\langle \nabla_\Xi S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}}, \dot\Xi \right\rangle.
$$
$\dot\Xi = M_\Xi \nabla_\Xi S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}}$를 대입하면
$$
\frac{d}{d\tau} S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}} = \left\langle \nabla_\Xi S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}}, M_\Xi \nabla_\Xi S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}} \right\rangle \le0.
$$
따라서 soft relaxation은 frozen-index epoch 안에서만 monotone이다.
Reindexing 후에는 index set이 바뀔 수 있으므로 action은 jump할 수 있다.

34. Hybrid dynamics and scheduler

v2.4-curvature의 hybrid dynamics는 hard proposal/acceptance와 soft frozen-index epoch를 결합한다.

먼저 hard proposal을 만든다.
$$
\widetilde{\mathcal Q}_n = m_n^{\mathrm{prop}}(\mathcal Q_n).
$$
그 다음 acceptance variable을 둔다. $A_n\in{0,1}$.
수용되면 $\mathcal Q_n^+ = \widetilde{\mathcal Q}_n$, 거절되면 $\mathcal Q_n^+ = \mathcal Q_n$. 즉,
$$
\mathcal Q_n^+ = \begin{cases}
\widetilde{\mathcal Q}_n, & A_n=1, \\
\mathcal Q_n, & A_n=0.
\end{cases}
$$
그 다음 reindexing을 수행한다.
$$
\mathcal I_n = \mathsf{Reindex}(\mathcal Q_n^+).
$$
여기서
$$
\mathcal I_n = (V_n^\Lambda, I_{2,n}^{\Lambda}, \mathfrak A_{T,n}^{\Lambda}, \widetilde{\mathfrak A}_{O,n}^{\Lambda}).
$$
이후 frozen-index soft epoch를 실행한다.
$$
\mathcal Q_n^{++} = \Phi_{\Delta\tau}^{\mathrm{soft}}(\mathcal Q_n^+;\mathcal I_n).
$$
마지막으로 다시 reindexing한다.
$$
\mathcal Q_{n+1} = \mathsf{Reindex}(\mathcal Q_n^{++}).
$$
실행 순서는 다음이다.
$$
\boxed{
\text{hard proposal} \rightarrow \Delta S\text{-based accept/reject} \rightarrow \text{hard redetection} \rightarrow \text{soft index freezing} \rightarrow \text{soft relaxation} \rightarrow \text{reindexing}.
}
$$
Hard-only와 soft-only는 특수한 환원이다.

35. Relation to flat SU(2) holonomy

공식 v2.4는
$$
q_v\in SU(2), \qquad h_{vw}=q_v^{-1}q_w
$$
를 가진다.
닫힌 graph loop $C=(v_0,v_1,\ldots,v_n=v_0)$에 대해
$$
h_C = h_{v_0v_1}h_{v_1v_2}\cdots h_{v_{n-1}v_0}
$$
이다.
그런데 $h_{v_iv_{i+1}} = q_{v_i}^{-1}q_{v_{i+1}}$이므로 곱은 telescoping되어
$$
h_C=1_{SU(2)}.
$$
따라서
$$
S_{\mathrm{geo}} \neq \sum_C \operatorname{tr}(1-h_C).
$$
v2.4-curvature은 independent $SU(2)$ connection variable을 도입하지 않는다.
따라서 flat induced holonomy를 깨지 않는다.

36. Gravity-like interpretation

v2.4-curvature은 구조적 toy-model 수준의 gravity-like interpretation을 제공한다.

기본 obstruction은 T-only reference closure obstruction이다.
$$
m\alpha_T\neq 2\pi.
$$
(O)-sector는 호환되는 맥락에서 mixed (T/O) reference residual을 줄일 수 있다.
$$
\widehat B_p^O = \widehat D_p^T-\widehat D_p^{TO}.
$$
그러나 이것은 force law가 아니다.
즉, $\text{gravity-like attraction}$이라는 말은 다음을 뜻한다.
$$
\boxed{
\text{vertex-edge configuration reorganizes toward lower }T/O\text{ reference residual}.
}
$$
이것은 두 부호를 가진 인력/척력이 아니라, 더 낮은 boundary-motif reference-residual action을 향한 구조적 이완이다.

엄격한 단조성은 다음 두 경우에만 성립한다.

1. deterministic hard relaxation에서 $\Delta S<0$ move만 수용할 때,
2. differentiable frozen-index soft epoch 안에서 Onsager flow를 따를 때.

Finite-temperature stochastic hard dynamics는 residual-biased일 뿐 strict monotone은 아니다.

37. Parameter bundle

v2.4-curvature의 parameter bundle을 $\Theta_{\mathrm{curv}}$라고 쓴다.
$$
\begin{aligned}
\Theta_{\mathrm{curv}} = (
&\lambda_{TO}, \lambda_{\mathrm{cov}}, \lambda_{\mathrm{ord}}, \mu_{\mathrm{TTOO}}, \mu_{\mathrm{bad}}, \\
&\lambda_{\mathrm{contact}}, \lambda_{\mathrm{excl}}, \lambda_{\mathrm{shape}}, R_T, R_O, R_{\mathrm{det}}, \\
&\kappa_T, \kappa_O, \kappa_E, \beta, \Delta\tau, \\
&\varepsilon_T, \varepsilon_O, \varepsilon_E, r_{\mathrm{buf}}
).
\end{aligned}
$$
기본 제약은 다음이다.
$$
\lambda_{TO}>0, \qquad \lambda_{\mathrm{cov}}\ge0.
$$
$$
\lambda_{\mathrm{ord}}\ge0.
$$
$$
0<\mu_{\mathrm{TTOO}}<\mu_{\mathrm{bad}}.
$$
$$
R_T,R_O,R_{\mathrm{det}}>0.
$$
$$
r_{\mathrm{buf}}\ge R_{\mathrm{det}}\ge\max{R_T,R_O}.
$$
$$
\kappa_T,\kappa_O>0.
$$
$$
\kappa_E>0 \quad \text{when soft adjacency is used.}
$$
$$
\beta>0, \qquad \Delta\tau>0.
$$
$$
\varepsilon_T,\varepsilon_O,\varepsilon_E\ge0.
$$
선택적 항의 parameter는 해당 항이 포함될 때만 활성화된다.

38. Formal data of v2.4-curvature

v2.4-curvature의 형식적 데이터는 다음과 같이 쓴다.
$$
\begin{aligned}
\mathcal Q_{2.4\text{-curv-1}} = (
& \mathcal Q_{2.4}, \Theta_{\mathrm{curv}}, \operatorname{Det}_T, \operatorname{Det}_O, \\
& \widehat{\mathcal M}_T, \widehat{\mathcal M}_O, \widehat{\mathcal M}_T^{\Lambda,+}, \widehat{\mathcal M}_O^{\Lambda,+}, \\
& \widehat{\mathcal C}_\triangle(\widehat T), \widehat{\mathcal C}_\triangle(\widehat O), \widehat{\mathcal C}_\square(\widehat O), \\
& \Lambda_2^{\mathrm{curv}}, \Lambda_{2,\mathrm{comp}}^{\mathrm{curv}}, \Lambda_{2,+}^{\mathrm{curv}}(\Lambda), \\
& \widehat t, \widehat o, \widehat t^\Lambda, \widehat o^\Lambda, \widehat\Omega^T, \widehat\Omega^{TO}, \widehat\Omega^{\Lambda,TO}, \\
& \widehat D^T, \widehat D^{TO}, \widehat B^O, \chi_{TO}, \chi_{TO}^\Lambda, S_{\mathrm{cov}}, S_{\mathrm{cov}}^\Lambda, \\
& D^{\mathrm{ord}}, S_{\mathrm{geo}}^{\mathrm{hard}}, S_{\mathrm{geo}}^{\Lambda,\mathrm{hard}}, s_{\mathrm{geo}}, \\
& \mathcal R, q_{\mathrm{prop}}, P_{\mathrm{acc}}, P, \Delta S, m^{\mathrm{prop}}, \\
& V_{\mathrm{comp}}, \Lambda, \Lambda^+, \mathsf{Buf}_{r_{\mathrm{buf}}}, V^\Lambda, V_n^\Lambda, \\
& \mathfrak A_T^{\mathrm{comp}}, \widetilde{\mathfrak A}_O^{\mathrm{comp}}, I_{2,n}^{\Lambda}, \mathfrak A_{T,n}^{\Lambda}, \widetilde{\mathfrak A}_{O,n}^{\Lambda}, \\
& \mathfrak d_T, \mathfrak d_O, w_T, w_O, a_p, \eta_T, \eta_O, E_P, \\
& S_{\mathrm{geo}}^{\mathrm{soft,comp}}, S_{\mathrm{geo},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}}, S_{\mathrm{total}}^{\mathrm{soft,comp}}, S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}}, \\
& S_{\mathrm{contact}}^{\mathrm{comp}}, S_{\mathrm{excl}}^{\mathrm{comp}}, S_{\mathrm{shape}}^{\mathrm{comp}}, S_{\mathrm{contact},n}^{\Lambda}, S_{\mathrm{excl},n}^{\Lambda}, S_{\mathrm{shape},n}^{\Lambda}, \\
& M_\Xi, \Phi_{\Delta\tau}^{\mathrm{soft}}, \mathsf{Sched}_{\mathrm{hybrid}}, \mathsf{Reindex}
).
\end{aligned}
$$

39. Core formulas

Hard detection:
$$
\widehat{\mathcal M}_T[V,E,\rho] = \operatorname{Det}_T[V,E,\rho].
$$
$$
\widehat{\mathcal M}_O[V,E,\rho] = \operatorname{Det}_O[V,E,\rho].
$$
Hard pair-local counts:
$$
\widehat t_p = \# \{ \widehat T\in\widehat{\mathcal M}_T : p\in E(\widehat T) \}.
$$
$$
\widehat o_p = \# \{ \widehat O\in\widehat{\mathcal M}_O : p\in E(\widehat O) \}.
$$
Hard residual:
$$
\widehat\Omega_p^{TO} = 2\pi- (\widehat t_p\alpha_T+\widehat o_p\alpha_O).
$$
Global hard action:
$$
S_{\mathrm{geo}}^{\mathrm{hard}} = \lambda_{TO} \sum_{p\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}}} (\widehat\Omega_p^{TO})^2 + S_{\mathrm{cov}}.
$$
Local hard residual:
$$
\widehat\Omega_p^{\Lambda,TO} = 2\pi- (\widehat t_p^\Lambda\alpha_T+\widehat o_p^\Lambda\alpha_O).
$$
Local hard action:
$$
S_{\mathrm{geo}}^{\Lambda,\mathrm{hard}} = \lambda_{TO} \sum_{p\in\Lambda_{2,+}^{\mathrm{curv}}(\Lambda)} (\widehat\Omega_p^{\Lambda,TO})^2 + S_{\mathrm{cov}}^\Lambda.
$$
Hard zero residual:
$$
\widehat\Omega_p^{TO}=0 \iff (\widehat t_p,\widehat o_p)=(2,2).
$$
Metropolis-Hastings acceptance:
$$
P_{\mathrm{acc}}(\mathcal Q\to\mathcal Q') = \min \{ 1, e^{-\beta(S(\mathcal Q')-S(\mathcal Q))} \frac{ q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q'\to\mathcal Q) }{ q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q\to\mathcal Q') } \}.
$$
Soft counts:
$$
t_p^{\mathrm{soft,comp}} = \sum_{A\in\mathfrak A_T^{\mathrm{comp}}} \eta_T(A,p)w_T(A).
$$
$$
o_p^{\mathrm{soft,comp}} = \sum_{(B,P)\in\widetilde{\mathfrak A}_O^{\mathrm{comp}}} \eta_O(B,P,p)w_O(B,P).
$$
Soft flow:
$$
\dot\Xi = M_\Xi \nabla_\Xi S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}}, \qquad M_\Xi\succeq0.
$$
Soft monotonicity:
$$
\frac{d}{d\tau} S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}} = \left\langle \nabla S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}}, M_\Xi \nabla S_{\mathrm{total},n}^{\Lambda,\mathrm{soft}} \right\rangle \le0.
$$
Hybrid scheduler:
$$
\widetilde{\mathcal Q}_n = m_n^{\mathrm{prop}}(\mathcal Q_n).
$$
$$
\mathcal Q_n^+ = \begin{cases}
\widetilde{\mathcal Q}_n, & A_n=1, \\
\mathcal Q_n, & A_n=0.
\end{cases}
$$
$$
\mathcal I_n = \mathsf{Reindex}(\mathcal Q_n^+).
$$
$$
\mathcal Q_n^{++} = \Phi_{\Delta\tau}^{\mathrm{soft}}(\mathcal Q_n^+;\mathcal I_n).
$$
$$
\mathcal Q_{n+1} = \mathsf{Reindex}(\mathcal Q_n^{++}).
$$

40. 최종 해석

Qaether v2.4-curvature의 최종 해석은 다음과 같다.
$$
\boxed{
\text{v2.4-curvature} = \text{boundary-motif reference-residual action layer}.
}
$$
(T/O) 모티프는 독립 입자나 filled cell이 아니다.
$$
T,O = \text{vertex-induced boundary motifs}.
$$
곡률 유사 잔차는 검출된 (T/O) incidence count에서 계산된다.
$$
(\widehat t_p,\widehat o_p) \mapsto \widehat\Omega_p^{TO}.
$$
작용은 선택된 활성 pair-slot 위에서 평가된다.
$$
p\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}}.
$$
Pair-slot은 primitive bond가 아니다.
$$
p\in\Lambda_2^{\mathrm{curv}} \not\Rightarrow p\in E.
$$
하지만 v2.4-curvature의 기본 관례에서 선택된 pair-slot은 potential incidence slot이므로, 선택되었으나 edge/motif incidence로 실현되지 않으면 $2\pi$-residual defect를 받는다.

Hard integer zero residual은 정확히
$$
2T+2O
$$
에서 발생한다.

전역 hard action은 유한하거나 수렴하는 domain에서만 total action으로 의미가 있다.
무한 벌크에서는 local action과 action-density limit을 사용한다.

Soft sector는 pairing-resolved (O)-candidate $(B,P)$를 사용한다.
Soft dynamics는 frozen-index epoch 안에서만 Onsager monotonicity를 가진다.
Hybrid dynamics는 hard proposal/acceptance, reindexing, soft relaxation, reindexing으로 닫힌다.

이 전체 구조는 공식 v2.4의 flat $SU(2)$ holonomy를 깨지 않는다.
$$
h_C=1_{SU(2)}
$$
는 계속 유지된다.

따라서 v2.4-curvature은 다음으로 선언된다.
$$
\boxed{
\text{Qaether v2.4-curvature is a rigor-guarded curvature-like action layer}
}
$$
$$
\boxed{
\text{defined by vertex-induced }T/O\text{ boundary-motif reference residuals}
}
$$
$$
\boxed{
\text{on selected active pair-slots, preserving the official v2.4 ontology and flat }SU(2)\text{ holonomy}.
}
$$