이산 스핀 결합 진동 방정식 (version 0.1)

FCC 결합과 스핀에 관련해서 좀더 물리학적으로 정합한 고찰이 있었고 이를 바탕으로 가정을 다음과 같이 고치기로 한다.

"Qaether는 FCC 격자구조를 기반으로 결합하는데, Qaether의 스핀 대칭성을 갖는 스핀축과 수직인 방향에 있는 Qaether들만 결합이 가능하다."

이를 정리해보면:

결합 가능한 방향 조건: 스핀축 ⊥ 결합방향

FCC 격자에서 각 Qaether는 12개의 결합 방향을 가질 수 있다. 만약 Qaether의 스핀축을 하나의 방향으로 고정한다면, 그 축과 수직인 평면 위에 있는 결합 방향만 실제 결합에 참여할 수 있다는 것이다.

예를 들어, 스핀축이 \(\hat{z}\)방향이라면, 결합 가능한 FCC 방향은 \(\hat{x}, \hat{y}, \hat{x} \pm \hat{y}\)같은 \(xy\)-평면상의 FCC 벡터들만 가능해지는 거지. 대략 12개 중 4개 방향만 허용되는 셈이다.

따라서 결합 진동은 여전히 각 Qaether가 가진 스핀에 따른 모드(λₙ = nℓₚ)에서 발생하지만, 이 진동은 스핀축과 직각인 방향의 결합면에서 전파되어야 한다. 이렇다면 이제 가능한 위상차는 단순히 스핀 값의 반대뿐 아니라, 다음 두 조건을 모두 만족해야 한다:

• 스핀축 간 직각 조건: 두 Qaether 스핀축이 서로 직각일때 결합 가능.
• 진동 위상이 동일하거나 위상 반전: \(\Delta \phi = 0\) 또는 \(\pi\)일 때 결합 에너지 최소화. 위상차가 𝜋/6, 𝜋/3, 𝜋/2 등인 경우는, 결합 에너지적으로 불안정하여 결합 실패 혹은 결함 구조 유도로 이어짐 (와류, 패턴 등)

이를 물리적으로 해석해보면 다음과 같이 요약 가능하다.

• Δ 𝜙 = 0: 완전히 동기화된 결합 → 결정 유지.
• Δ 𝜙 = 𝜋: 반위상 결합 → 정상 결합 (에너지 최소).
• Δ 𝜙 ∉ { 0 , 𝜋 }: 간섭 및 불안정성 → 결함 발생, 동적 곡률, 중력의 근원.

위 조건과 더불어 Qaether의 기본 가정을 다시 한번 정리해보자.

• 각 Qaether는 스핀 \(𝑆_𝑖 ∈ { + 1 , 0 , − 1 } \)을 갖고, 해당 스핀은 축방향을 정의하기 때문에 사실 스핀은 0과 1 뿐이라고 보면 된다.
• 결합은 스핀축과 직각인 방향으로만 가능하며, 이 방향은 FCC 격자에서 정해진 12개 방향 중 제한된 일부에 해당한다.
• 결합 진동은 \(𝜆_𝑛 = 𝑛ℓ_𝑝\)이고, \(𝜔_𝑛 = 2𝜋𝑐_𝑣/𝑛ℓ_𝑝\)
• 결합 진동 에너지는 두 Qaether의 진동 위상차 Δ 𝜙에 따라 결정된다.
• 결합 조건은 \(𝑆_𝑖 = − 𝑆_𝑗\) 이고, 𝑆 = 0일 경우 결합 없음.

결합 진동항: 에너지 표현

결합 진동에 의한 에너지 항 \(𝐸_{𝑖𝑗}^{vib}\) 는 다음과 같은 형태로 정의할 수 있다:

$$𝐸_{𝑖𝑗}^{vib} = 𝛿_{𝑖𝑗}^{spin} ⋅ 𝛿_{𝑖𝑗}^{⊥} ⋅ [ 1 − cos ⁡ ( 𝜙_𝑖 − 𝜙_𝑗 ) ] ⋅ ℏ𝜔_𝑛$$

여기서,

• \(𝛿_{𝑖𝑗}^{spin} = 1\) if \(𝑆_𝑖 = − 𝑆_𝑗\) , else 0 (스핀 결합 조건)
• \(𝛿_{𝑖𝑗}^{⊥} = 1\) if 결합 방향이 두 스핀축 모두와 직각, else 0
• \(𝜙_𝑖\) , \(𝜙_𝑗\) : 각각의 진동 위상
• \([ 1 − cos ⁡ ( 𝜙_𝑖 − 𝜙_𝑗 ) ]\) : 위상차에 따른 에너지

해석

Δ 𝜙 = 0 이면 에너지 0 → 안정된 결합

Δ 𝜙 = 𝜋 이면 최대 에너지 → 강한 결합 상태 (위상 반전 공명)

\(𝛿_{𝑖𝑗}^{spin} = 0 \) 또는 \( 𝛿_{𝑖𝑗}^{⊥} = 0 \)이면 결합 진동항 자체가 0 → 결합 불가

간단한 이산 표현 예시

위의 연속적인 위상 대신, 이산 위상차만 허용하는 경우 (예: 0, 𝜋 ):

$$E_{ij}^{vib} = \begin{cases} 0 & \text{if } \Delta \phi = 0 \\ 2 \hbar \omega_n & \text{if } \Delta \phi = \pi \\ \infty & \text{else} \text{(결합 불허)} \end{cases}$$

자, 이제부터 이산적 위상 변화를 시간 개념 대신 사용하는 이산 스핀 진동 방정식을 구성해보자. 이 작업은 사실상 시간 대신 위상(phase shift)을 독립 변수로 사용하는 이산 라그랑지 역학 또는 격자형 위상역학이라고 볼 수 있다.

들어가기에 앞서 이전에 정의되었던 가정들을 제외하고 추가로 몇가지 정의하도록 하자.

• 𝜙 ∈ { 0 , 𝜋 6 , 𝜋 3 , ⋯   , 2 𝜋 }: 이산 위상 상태 집합 (12방향 기준)
• 𝑛: 이산 위상 단계 (시간 대신 사용하는 변수)
• \(𝑆_𝑖(𝑛) \): 𝑖 번째 Qaether의 위상 𝑛 에서의 스핀
• \(Δ 𝜙_{𝑖𝑗} = 𝜙_𝑖 (𝑛) − 𝜙_𝑗 (𝑛)\): 두 Qaether 간 위상차

이산 결합 진동 방정식: 기본 형태

각 Qaether의 스핀 변화는 인접 Qaether와의 위상차와 결합 여부에 따라 결정된다고 가정하면 다음과 같은 이산 방정식을 만들 수 있다:

$$S_i(n+1) = S_i(n) + \sum_{j \in N_i} \delta_{ij}^{bond} \cdot \sin(\Delta \phi_{ij}(n))$$

여기서,

• \(𝑁_𝑖\) ​ : Qaether \(𝑖\)와 인접한 결합 가능한 이웃들
• \(𝛿_{𝑖𝑗}^{bond} = 𝛿_{𝑖𝑗}^{spin} ⋅ 𝛿_{𝑖𝑗}^{ ⊥} ⋅ 𝛿_{𝑖𝑗}^{ 𝜙 }; \)
• \(𝛿_{𝑖𝑗}^{spin} = 1\) if \(𝑆_𝑖 = − 𝑆_𝑗\), else 0
• \(𝛿_{𝑖𝑗}^{ ⊥} = 1\) if 결합 방향이 스핀축과 직각
• \(𝛿_{𝑖𝑗}^{ 𝜙 } = 1\) if \(Δ 𝜙_{𝑖𝑗} ∈ { 0 , 𝜋 }\), else 0

이 식은 인접한 Qaether와의 위상 차가 𝜋 일 때 스핀 반전을 유도하고, Δ 𝜙 = 0 일 땐 안정적 유지됨을 의미한다.

해석적 정리

이 방정식은 다음과 같은 의미를 갖는다:

• 결합된 이웃과의 위상 간섭에 따라 스핀이 업데이트됨
• 스핀 반전 또는 유지가 결합 상태와 위상차에 따라 결정됨
• 시간 개념이 없이, 위상 단계(n)에 따른 상태 변화를 따름
• 위 함수는 결합이 있을때를 가정한 것이고 없을때는 0 값을 갖는다.

여기까지 정리한 다음 ChatGPT o3를 이용하여 수정했다.

 

1. 변수 \(𝑆_𝑖\)  는 “스핀-위상”으로 보는 편이 자연스럽다

• 보통 위상결합 진동자(쿠라모토·XY 모형 등)에서는 위상 \(𝜙_𝑖\) ​ 를 업데이트하고, 스핀 벡터는 \(𝑆_𝑖 = ( cos ⁡ 𝜙_𝑖 , sin ⁡ 𝜙_𝑖 )\) 같이 정의한다.
• 그래서 식 좌변을 \(𝑆_𝑖 → 𝜙_𝑖\)로 바꾸거나, “ \(𝑆_𝑖\)는 이미 \(𝜙_𝑖\)를 뜻한다”고 명시하는 편이 일관성이 있다. sin 항을 쓰는 이유도 “두 위상의 기울기\(( ∂ 𝐸 / ∂ 𝜙 ) = sin ⁡ Δ 𝜙 \)이기 때문이다. 

 

2. 결합 지표 \(𝛿_{𝑖𝑗}^{bond}\) 는 “4개 이웃”만 1

• 스핀축과 직각이고 FCC 내에서 실제로 닿는 4개 방향에 대해서만 \(𝛿_{𝑖𝑗}^{bond} = 1\), 나머지는 0이면 된다.
• 이렇게 하면 \(𝑗 ∈ 𝑁_i\) 는 항상 최대 4개.

 

3. 시간 스케일/결합강도 계수를 넣어 주면 안정적

연산이 이산 시간이므로 보통은

$$\phi_i(n+1) = \phi_i(n) + \varepsilon \sum_{j \in N_i} K_{ij} \sin(\phi_j(n) - \phi_i(n))$$

처럼 작은 계수 \(𝜀\) (또는 \(𝐾_{ij} = 𝐾_ 𝜀 \) ) 을 곱해 줍니다.

• 𝜀 ≪ 1 이면 연속-시간 \(\dot{\phi}_i = \sum_j 𝐾_{𝑖𝑗} sin ⁡ ( Δ 𝜙_{𝑖𝑗} )\) 의 오일러 근사와 동치가 된다.
• \(𝐾_{𝑖𝑗}\) 는 모든 결합에서 같아도 되고, 결합 방향별로 달리 줄 수도 있다..

 

4. 위상차가 0 또는 𝜋 일 때 고정점

스핀축 ⟂ 결합방향 조건 때문에 실제 결합이 일어날 때는 \(Δ 𝜙_{𝑖𝑗} ∈ { 0 , 𝜋 } \)이 에너지 최소이다.

• 이때 \(sin ⁡ Δ 𝜙 = 0\) 이므로 식 우변이 0 → 변화가 멈추는 고정점이 정확히 표현된다.
• 초기 위상들이 다른 경우엔 sin 항이 ± 로 작용하면서 위상을 밀어 주어 결국 0 또는 𝜋 로 수렴하게 된다.

 

5. 요약

$$φ_i(n+1) = φ_i(n) + \varepsilon \sum_{j \in N_i} 𝐾_{ij} sin( φ_j(n) − φ_i(n) )$$

• \(𝜑_𝑖\) ≡ Qaether i의 스핀 위상
• \(𝑁_𝑖\) = 축 ⟂ 방향의 4개 FCC 이웃
• \(𝐾_{𝑖𝑗} = 𝐾   𝛿_{𝑖𝑗}^{bond}\) (결합강도)
• ε = 시간 격자 크기 (0 < ε ≲ 1)

이렇게 정의하면 스핀축 직각 4-결합 + 위상차 sin 커플링이라는 물리적 조건을 정확히 담으면서, 수치적으로도 안정적인 이산 진동 방정식이 된다.

 

전제조건

 

1. 위치 고정	각각의 Qaether 셀 위치가 FCC 격자점에서 변하지 않음	병진 운동, 격자 결함 이동
2. 스핀축 고정	스핀축 방향이 시간에 따라 변하지 않음	스핀 프리세션, 축 재정렬
3. 진동 위상만 동역학	위상(=내부 진동 상태)만 시간이 변함	진동 진폭 변화, 에너지 감쇠·펌핑
4. 외력·열잡음 없음	열 및 외부 필드가 0	위상 난수화, 비평형 구동

그러나 실제로 고려할 부분은 더 많아지기 때문에 아래와 같은 항목을 모델에 넣고 싶어지면 식  오른쪽에 추가 항(잡음 ηᵢ, 감쇠 −γφᵢ 등)을 얹거나, 독립적인 위치·스핀축 동역학 방정식을 따로 써야 한다.

• 격자 결함이 이동한다거나
• 스핀축이 느리게 기울어진다거나
• 결합 강도가 시간에 따라 숨 쉬는(=진폭 변조) 현상
• 외력에 의한 위상 확산

 

결론

• 내부 위상 자유도만 고려할 땐 → 지금 식이 곧 “Qaether 하나의 운동방정식”.
• 공간·스핀축·진폭·외력 효과까지 묘사하려면 → 추가 방정식을 병치한 “확장된 다중 자유도 모델”이 필요