FCC 격자 구조의 수학적 정의

FCC 격자와 그 위에서의 결합을 좀더 수학적으로 잘 정의해야 게이지 대칭 계산이 명확해질 것 같아서 그 방법을 구상중에 다음과 같이 정의해보게 되었다.

 

FCC 격자의 기본 구조

면심입방격자(Face-Centered Cubic, FCC)는 각 격자점이 12개의 최근접 이웃을 가지는 조밀한 격자다.
중심을 \((0,0,0)\)으로 두면 최근접 이웃들은 다음 좌표로 표현된다.

\[
(\pm1,\pm1,0),\quad (0,\pm1,\pm1),\quad (\pm1,0,\pm1)
\]

모든 좌표는 FCC의 최근접 거리 \(1/\sqrt{2}\) 가 되도록 정규화하면 각 이웃까지의 거리는 \(1/\sqrt{2}\)이며, 이 벡터들은 ⟨110⟩ 방향을 따른다. 이 배치는 하나의 원자를 둘러싼 cuboctahedron(삼각면 여덟 개와 정사각면 여섯 개를 가진 다면체)으로 해석할 수 있다.

 

 

최소 루프의 정의

FCC의 링크를 따라 이동하며 닫힌 경로를 만들 때, 자기 자신으로 분리되지 않는 가장 작은 루프는 두 종류다.

1. 삼각 루프 (triangle loop)
   {111} 평면 안에서 세 개의 최근접 이웃이 만든 정삼각형.
   \[
   (0,0,0)\rightarrow(1,1,0)\rightarrow(0,1,1)\rightarrow(0,0,0)
   \]
   이는 조밀충진층의 기본 면을 이룬다.
2. 사각 루프 (square loop)
   서로 직교하는 ⟨100⟩ 또는 ⟨110⟩ 방향 내 마름모꼴 혹은 정사각형.
   예: \((1,1,0)\rightarrow(1,0,1)\rightarrow(1,-1,0)\rightarrow(1,0,-1)\rightarrow(1,1,0)\)

이 두 루프는 FCC 격자의 사이클 공간을 생성하며, 더 긴 경로들은 이들의 결합으로 분해된다.

 

쿼터니언 배치와 평탄 조건

각 격자점 \(i\)에 단위 쿼터니언 \(q_i \in SU(2)\)를 배치하고, 링크 변수 \(U_{ij} = q_i q_j^{-1}\)를 정의한다.

이때 모든 최소 루프에 대해

\[
\prod_{\text{loop}} U_{ij} = 1
\]

을 요구하면, 이 시스템은 순수 게이지(pure gauge) 상태가 된다.
모든 링크 위상차가 \(q_i\)의 차분형으로 주어져, 루프를 따라 이동해도 위상 변화가 누적되지 않는다. 이는 곡률이 0인, 즉 플럭스가 없는(flat) 상태를 의미한다.

 

정팔면체 결합과 루프 공유 구조

FCC는 공간을 정팔면체와 정사면체로 채우는 벌집 구조를 이룬다.
세 개의 서로 직교하는 사각 루프를 엮으면 정팔면체를 가르는 세 개의 서로 직교하는 {100} 사각 플라켓 을 형성하고, 그 표면에는 여덟 개의 삼각 루프가 존재한다.

정팔면체 기준으로 보면,

• 한 링크 \(U_{ij}\)는 사각 루프 1개와 삼각 루프 2개가 공유한다.
• 각 정팔면체 내부의 루프 제약들은 서로 종속적이다. 즉, 사각 3개의 루프 제약이 주어지면 나머지 삼각 8개는 자동으로 \(\prod U=1\)을 만족해야 한다.
  이는 연속장 이론에서의 Bianchi 항등식에 해당한다.

 

구조적 결과

1. 국소 평탄성의 과잉제약 해소
   모든 면에 대한 조건을 독립적으로 둘 필요가 없으며, 정팔면체당 사각 루프 3개만 확인하면 삼각면 조건은 자동 충족한다.
2. 무모노폴 조건
   각 링크를 공유하는 면들의 홀로노미 곱이 항상 1이므로, 자기 단극(monopole)이 존재하지 않는다.
   이는 \(\nabla \cdot B = 0\)에 해당하는 이산 조건이다.
3. 전역 홀로노미만 잔존
   주기적 경계 조건(토러스)을 갖는 격자에서는 세 방향의 비수축 루프에 대한 홀로노미만 남는다.
   이들은 서로 가환해야 하므로, SU(2)의 극대 토러스 내에 놓이는 평탄한 전역 상태들이 된다.

 

요약

• FCC 격자는 12개 최근접 이웃으로 이루어진 cuboctahedral 배치를 가진다.
• 최소 루프는 삼각형과 사각형이며, 이들이 FCC의 사이클 공간을 생성한다.
• 각 사이트에 SU(2) 쿼터니언을 배치하고 루프마다 홀로노미를 1로 두면 시스템은 곡률이 0인 순수 게이지 상태가 된다.
• 세 사각 루프를 직교하게 결합하면 정팔면체가 형성되고, 그 내부의 삼각 루프 제약은 자동 충족된다.
• 따라서 FCC는 이산 Bianchi 항등식, 무모노폴 조건, 전역 평탄 게이지 구조를 자연스럽게 내포하는 격자다.