[v2.3] 전하, 색전하, 스핀의 정의

0. 기본 배경

Qaether configuration은 다음과 같이 둔다.
$$
\mathcal Q= \left( V,E,\rho,\ell_Q,q, \mathcal C_\triangle, \mathcal C_\square, \mathcal M_T, \mathcal M_O \right)
$$
여기서 $V$는 Qaether vertex, $E$는 primitive bond, $\rho:V\to\mathbb R^3$는 geometric realization, $q:V\to SU(2)$는 각 vertex의 quaternionic state다. 중요한 점은 primitive structure가 채워진 면이나 부피가 아니라 boundary graph와 boundary cycle incidence라는 점이다.

각 oriented edge $(v,w)$에 대해 상대 쿼터니안 위상은
$$
\boxed{ h_{vw}=q_v^{-1}q_w }
$$
로 정의한다. 따라서 edge phase는 독립 link variable이 아니라 vertex state에서 유도된다. 이 구조에서는 closed loop holonomy가 telescoping으로 trivial이므로, 전하/스핀/색전하는 loop flux가 아니라 O-motif 내부 square sector의 이산화된 ordering state로 정의해야 한다.

1. O-motif particle의 기하학적 기반

O-motif는 여섯 개의 vertex
$$
V_O= \{x_1^+,x_1^-,x_2^+,x_2^-,x_3^+,x_3^-\}
$$
와 세 개의 opposite pair
$$
\mathcal P_O= \{ {x_1^+,x_1^-}, {x_2^+,x_2^-}, {x_3^+,x_3^-} \}
$$
를 가진다.

O-motif의 boundary graph는
$$
\boxed{ G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2} }
$$
이다. 즉 opposite pair끼리는 edge가 없고, opposite이 아닌 vertex들은 모두 edge로 연결된다.

기하학적으로는 어떤 중심 $c\in\mathbb R^3$와 orthonormal frame $(u_1,u_2,u_3)$가 존재하여
$$
\boxed{ \rho(x_i^\pm) = c\pm\frac{\ell_Q}{\sqrt2}u_i }
$$
가 된다. 따라서 O-motif는 regular octahedral boundary graph로 realized된다.

2. O-motif의 세 square channel

O-motif 내부에는 세 개의 primitive square boundary cycle이 있다.
$$
\boxed{ C_{\square}^{(1)} = [x_2^+,x_3^+,x_2^-,x_3^-] }
$$
$$
\boxed{ C_{\square}^{(2)} = [x_1^+,x_3^+,x_1^-,x_3^-] }
$$
$$
\boxed{ C_{\square}^{(3)} = [x_1^+,x_2^+,x_1^-,x_2^-] }
$$
이 세 square cycle은 각각
$$
c+\operatorname{span}(u_2,u_3), \quad c+\operatorname{span}(u_1,u_3), \quad c+\operatorname{span}(u_1,u_2)
$$
에 놓이므로 서로 직교한다.

따라서
$$
\boxed{ O\sim3C_\square^\perp }
$$
가 된다. 여기서 핵심 해석은 다음이다.
$$
\boxed{ C_{\square}^{(1)},C_{\square}^{(2)},C_{\square}^{(3)} : \text{O-particle의 세 internal channels} }
$$
이 세 channel이 각각 색전하, 스핀 축, 전하 성분을 정의하는 기본 단위가 된다.

3. 삼각형 8개는 외부 interface다

O-motif에는 여덟 개의 triangular boundary cycle도 있다.
$$
\boxed{ C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3} = [x_1^{\epsilon_1},x_2^{\epsilon_2},x_3^{\epsilon_3}], \qquad (\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3 }
$$
따라서
$$
\boxed{ |\mathcal C_\triangle(O)|=8 }
$$
이다. 또한 O-motif의 세 square boundary cycle은 O의 12개 edge 전체를 정확히 한 번씩 덮고, 각 O-edge는 정확히 두 개의 triangular boundary cycle에 속한다.

따라서 O-motif의 incidence decomposition은
$$
\boxed{ O\sim3C_\square^\perp\sim8C_\triangle }
$$
이다. 이를 다음과 같이 해석하도록 한다.
$$
3C_\square^\perp : \text{internal charge/color/spin channels}
$$ $$
8C_\triangle : \text{external boundary/interface readout surfaces}
$$ 즉 전하의 기본 carrier는 삼각형 8개가 아니라 세 square channel이다. 삼각형 8개는 O-particle이 외부 T-sector 또는 background와 만나는 interface다.

4. Oriented square sector와 $C_4$ classification

이제 각 square cycle에 방향을 준다.
$$
C=[v_0,v_1,v_2,v_3]
$$
에 대해 oriented circulation을
$$
v_0\to v_1\to v_2\to v_3\to v_0
$$
로 잡는다.

그 square의 local normal axis는 오른손 법칙으로
$$
\boxed{ n_C = \frac{ (\rho(v_1)-\rho(v_0))\times(\rho(v_3)-\rho(v_0)) }{ \left| (\rho(v_1)-\rho(v_0))\times(\rho(v_3)-\rho(v_0)) \right| } }
$$
로 정의한다. 반대 방향 circulation을 택하면
$$
n_C\mapsto -n_C
$$
가 된다.

기존 $D_4$ 분석에서는 square의 회전과 반사를 모두 동일시하여 네 distinct phase label의 orbit 수가 3개가 된다. 하지만 spin-like orientation을 정의하려면 reflection을 동일시하면 안 된다. reflection은 orientation과 chirality를 뒤집기 때문이다.

따라서 version 2.3 Qaether spin/color/charge sector에서는
$$
\boxed{ D_4 \text{가 아니라 } C_4 \text{를 사용한다.} }
$$
여기서 $C_4=\{e,r_{90},r_{180},r_{270}\}$ 이다.

네 phase label이 모두 distinct라면,
$$
\boxed{ |X/C_4|=\frac{4!}{4}=6 }
$$
이다. 따라서 oriented square sector의 기본 class는
$$
\boxed{ [L_0,L_1,L_2,L_3]_{C_4} \in \{1,\dots,6\} }
$$
로 둘 수 있다. 이는 기존 $D_4$의 3개 class에 chirality sign이 붙은 것과 같다.
$$
\boxed{ C_4\text{-class} \cong D_4\text{-class} \times \{\chi=+1,-1\} }
$$
즉, $\boxed{ 6=3\times2 }$ 이다.

5. Edge phase label의 정의

각 oriented edge에 대해
$$
h_{v_iv_{i+1}}=q_{v_i}^{-1}q_{v_{i+1}}\in SU(2)
$$
를 계산한다.

square $C$의 local normal $n_C$에 대해 $h$의 logarithm을 local axis 방향으로 투영한다.
$$
\theta_i^{(C)} = \operatorname{Proj}_{n_C} \left( \log h_{v_i v_{i+1}} \right)
$$
이를 finite phase set으로 양자화한다.
$$
\boxed{ L_i^{(C)} = Q_M(\theta_i^{(C)}) \in A_M }
$$
여기서 $A_M$은 $M$개의 phase label을 갖는 finite set이다.

그러면 square $C$의 oriented phase state는
$$
\boxed{ \Lambda(C) = [L_0^{(C)},L_1^{(C)},L_2^{(C)},L_3^{(C)}]_{C_4} }
$$
이다.

이 정의는 Qaether 모델의 중요한 요구를 모두 만족한다.
$$
\text{edge phase는 vertex quaternion에서 유도된다.}
$$ $$
\text{loop holonomy curvature를 만들지 않는다.}
$$ $$
\text{local plaquette axis와 chirality를 보존한다.}
$$

6. Spin-like orientation의 정의

각 oriented square cycle $C$에 대해 chirality sign을 정의한다.
$$
\chi_C\in\{+1,-1\}
$$
여기서 $\chi_C=+1$은 chosen phase circulation이 local normal $n_C$와 오른손 법칙으로 일치하는 경우, $\chi_C=-1$은 반대 방향인 경우로 둔다.

그러면 plaquette spin-like vector를
$$
\boxed{ S_C = s_0\chi_C n_C }
$$
로 정의한다. spin-$\frac12$ toy normalization을 쓰고 싶다면
$$
\boxed{ s_0=\frac12 }
$$
로 둘 수 있다. 따라서
$$
\boxed{ S_C=\frac12\chi_C n_C }
$$
이다.

O-motif에는 세 square cycle이 있으므로,
$$
S_i = \frac12\chi_i n_i, \qquad i=1,2,3
$$
가 된다. O-motif 전체의 spin-like internal vector는
$$
\boxed{ S_O = S_1+S_2+S_3 = \frac12 \sum_{i=1}^3 \chi_i n_i }
$$
로 둘 수 있다.

더 보수적으로는 $S_O$를 실제 spin vector라고 부르기보다,
$$
\boxed{ (\chi_1,\chi_2,\chi_3) }
$$
를 O-motif의 spin-like chirality state로 두는 것이 좋다.

7. Color-like charge의 정의

O-motif의 세 square cycle은 서로 직교하는 세 channel이다.
$$
C_\square^{(1)},C_\square^{(2)},C_\square^{(3)}
$$
따라서 color-like index를
$$
\boxed{ \mathfrak c\in\{1,2,3\} }
$$
로 정의한다. 해석은 다음이다.
$$
\boxed{ \mathfrak c=1,2,3 : \text{three square-channel colors} }
$$
즉 color-like charge는 어떤 square channel이 활성화되었는지를 나타내는 내부 channel index다.

이를 basis vector로 쓰면 $e_1,e_2,e_3$를 color basis로 둘 수 있고, O-motif의 color occupation vector를
$$
\boxed{ \mathbf C_O = (c_1,c_2,c_3) }
$$
로 둔다. 여기서 $c_i\in\{0,1\}$ 또는 더 일반적으로 $c_i\in\mathbb Z$로 둘 수 있다.

단, 이 단계에서 이것을 곧바로 QCD의 $SU(3)$ 색전하와 동일시하면 안 된다. 현재 정의는
$$
\boxed{ \text{Qaether internal three-channel color-like label} }
$$
이다. 하지만 세 square channel이 서로 직교하고 permutation될 수 있으므로, 나중에 $S_3$, $SU(3)$-like effective symmetry로 확장할 가능성은 있다.

8. Electric-like charge의 정의

전하는 방향 벡터가 아니라 additive scalar여야 한다. 따라서 세 square channel에 signed occupation number를 둔다.
$$
\boxed{ \eta_i\in\{-1,0,+1\}, \qquad i=1,2,3 }
$$
여기서 $\eta_i$는 $i$-번째 square channel의 electric-like occupation 또는 orientation charge다.

O-motif 전체 electric-like charge는
$$
\boxed{ Q(O) = \frac{e_0}{3} \left( \eta_1+\eta_2+\eta_3 \right) }
$$
로 정의한다. 그러면 가능한 전하는
$$
\boxed{ Q(O)\in \{ -e_0, -\frac{2e_0}{3}, -\frac{e_0}{3}, 0, \frac{e_0}{3}, \frac{2e_0}{3}, e_0 \} }
$$
가 된다.

이 정의는 매우 자연스럽다. 왜냐하면 세 square channel만으로 $0,\ \pm\frac13,\ \pm\frac23,\ \pm1$ 단위가 생기기 때문이다.

입자-반입자 변환은
$$
\boxed{ \eta_i\mapsto-\eta_i }
$$
로 정의할 수 있다. 그러면 $Q(O)\mapsto -Q(O)$ 가 된다.

9. O-particle state의 최종 정의

이제 O-motif particle state를 다음처럼 정의한다.
$$
\boxed{ \Psi_O = \left( O_{\mathrm{geom}}, \Lambda_1,\Lambda_2,\Lambda_3, \chi_1,\chi_2,\chi_3, \eta_1,\eta_2,\eta_3 \right) }
$$
여기서
$$
O_{\mathrm{geom}} = (V_O,\mathcal P_O,G_Q[V_O], \mathcal C_\triangle(O), \mathcal C_\square(O))
$$
이고,
$$
\Lambda_i = [L_0^{(i)},L_1^{(i)},L_2^{(i)},L_3^{(i)}]_{C_4}
$$
는 $i$-번째 square channel의 oriented phase-ordering class다.

$\chi_i\in\{+1,-1\}$ 는 $i$-번째 square channel의 spin-like chirality이고,
$\eta_i\in\{-1,0,+1\}$ 는 $i$-번째 square channel의 electric-like charge occupation이다.

그러면 세 물리량은 다음처럼 나온다.

Spin-like state
$$
\boxed{ S_O = \frac12 \sum_{i=1}^3 \chi_i n_i }
$$

Color-like state
$$
\boxed{ \mathfrak c = i \quad \text{or} \quad \mathbf C_O=(c_1,c_2,c_3) }
$$

Electric-like charge
$$
\boxed{ Q(O) = \frac{e_0}{3} \sum_{i=1}^3\eta_i }
$$

10. 세 구조의 역할 분리

이제 Qaether O-motif particle model에서 세 개념은 정확히 분리된다.
$$
\boxed{ \text{spin} : \text{oriented square plaquette의 chirality-normal state} }
$$
$$
\boxed{ \text{color} : \text{세 직교 square channel 중 어느 channel인가} }
$$
$$
\boxed{ \text{electric charge} : \text{세 square channel의 signed scalar sum} }
$$

이를 표로 쓰면 다음과 같다.

물리량	Qaether 정의	수학적 표현
Spin-like orientation	oriented square normal + chirality	$S_C=\frac12\chi_C n_C$
Color-like label	three square-channel index	$\mathfrak c\in\{1,2,3\}$
Electric-like charge	signed sum over square channels	$Q(O)=\frac{e_0}{3}\sum_i\eta_i$
External coupling surface	eight triangular cycles	$8C_\triangle$

11. 왜 이 정의가 그럴 듯 할까?

첫째, T-motif에는 primitive square cycle이 없다. 따라서 square sector는 O-motif 고유 자유도다.

둘째, O-motif에는 정확히 세 개의 서로 직교하는 square cycle이 있다. 따라서 세 internal channel이 자연스럽게 생긴다.

셋째, O-motif에는 여덟 triangular boundary cycle이 있지만, 이들은 외부 interface로 보는 편이 낫다. O-motif의 전체 incidence decomposition도 $3C_\square^\perp$와 $8C_\triangle$의 이중 구조로 정리된다.

넷째, vertex quaternion에서 유도되는 edge phase $h_{vw}=q_v^{-1}q_w$를 사용하므로, 독립 plaquette flux를 도입하지 않는다. 따라서 기존 v2.3의 trivial loop holonomy 구조를 보존한다.

다섯째, oriented plaquette를 쓰면 $D_4$의 reflection quotient를 제거하고 $C_4$ 기준의 6개 class를 얻는다. 이는 spin-like chirality를 보존하기 위해 필요하다. 기존 $D_4$ 계산은 reflection까지 동일시하여 3개 class를 주지만, Qaether spin-like sector에서는 reflection이 orientation을 뒤집으므로 제외해야 한다.

최종 정리

Qaether 모델에서 전하, 색전하, 스핀은 다음 하나의 구조에서 통일적으로 나온다.
$$
\boxed{ O\sim3C_\square^\perp\sim8C_\triangle }
$$
여기서
$$
\boxed{ 3C_\square^\perp : \text{internal spin/color/charge sector} }
$$
이고,
$$
\boxed{ 8C_\triangle : \text{external interface sector} }
$$
이다.

최종적으로 O-motif particle의 내부 물리량은
$$
\boxed{ \Psi_O = \left( \Lambda_1,\Lambda_2,\Lambda_3, \chi_1,\chi_2,\chi_3, \eta_1,\eta_2,\eta_3 \right) }
$$
로 요약된다. 그리고,
$$
\boxed{ \Lambda_i\in X/C_4 } \quad \boxed{ \chi_i\in\{\pm1\} } \quad \boxed{ \eta_i\in\{-1,0,+1\} }
$$
이다.

따라서 다음과 같이 귀결된다.
$$
\boxed{ \text{spin-like: } S_O=\frac12\sum_i\chi_i n_i }
$$
$$
\boxed{ \text{color-like: } i=1,2,3 }
$$
$$
\boxed{ \text{electric-like: } Q(O)=\frac{e_0}{3}\sum_i\eta_i }
$$