Basic axioms (v0.6)

Axioms

Basic axioms (v0.6)

Qaether 2025. 5. 3. 21:39

1. 공간 구성 가정

A1. 이산적 격자 기반 공간

우주는 플랑크 길이 $\ell_p$ 스케일에서 Face-Centered Cubic (FCC) 격자로 구성된 이산적 공간 정보 구조이다.
지름 $\ell_p$의 공모양 cell (Qaether)
공간은 전제된 배경이 아닌, Qaether 간의 결합 관계망으로부터 유도되는 것이다.

A2. 격자 방향성과 상대성

결합 가능한 방향은 FCC의 12개 고정된 방향 $D_{\mathrm{FCC}} = \{ \vec{d}_1, ..., \vec{d}_{12} \}$에 제한된다.
이산 격자 구조에도 불구하고, 장파장 극한($\lambda \gg \ell_p$)에서는 로렌츠 대칭성이 평균적으로 회복될 수 있다.

2. Qaether 단위와 상태 변수 가정

A3. Qaether 기본 상태

각 Qaether는 다음과 같은 상태함수를 가진다:$$\Xi_i = (S_i,\ \vec{Z}_i,\ \phi_i)$$
- $S_i \in \{0, 1\}$: 활성 상태
- $\vec{Z}_i \in \mathbb{S}^2$: 내재 회전축
- $\phi_i \in [0, 2\pi)$: 위상

A4. 결합은 상대적 조건에 의해 형성됨

결합은 다음 조건을 모두 만족할 때만 발생:
1. $S_i = S_j = 1$
2. $\vec{r}_{ij}/\ell_p \in D_{\mathrm{FCC}}$
3. $\Delta \phi_{ij} \in \mathbb{Z}_6 \cdot \pi/3$ (Z₆ 위상 양자화)

3. 위상 정보 구조와 시간 철학

A5. 시간은 관계적이다

이 모델에서 시간은 존재론적으로 주어지지 않으며, 위상 구조의 누적적 변화량으로부터 유도되는 관계적 양이다.

A6. 유효 시간 정의 ($\tau$)

위상 양자화 단위 $\phi_0 = \pi/3$ 기준 정규화된 변화량:$$\tau := \int \sqrt{ \frac{1}{N} \sum_{(i,j)} \left( \frac{\delta \phi_{ij}}{\phi_0} \right)^2 }\, d\delta\tau$$
이 정의는 **척도 불변성(scale invariance)**을 만족하며, 위상 변화가 많이 발생할수록 시간이 흐른다.

4. 결합과 에너지 구조 가정

A7. 해밀토니안 구성

전체 에너지는 다음 세 가지 항의 합으로 구성된다:

$$\mathcal{H} = \mathcal{H}_{\text{align}} + \mathcal{H}_{\text{phase}} + \mathcal{H}_{\text{void}}$$

정렬 항 ($\mathcal{H}_{\text{align}}$): 회전축 $\vec{Z}_i$가 결합 방향과 정렬될수록 안정
위상 퍼텐셜 항 ($\mathcal{H}_{\text{phase}}$): 위상차가 Z₆ 조건을 만족할수록 안정
Void 에너지 항 ($\mathcal{H}_{\text{void}}$): 결합 수 $m_c$가 줄어들수록 에너지 증가

5. Void와 곡률 생성 가정

A8. Void는 결합 붕괴로부터 유도됨

각 FCC 셀 내 결합 수 $m_c$가 12보다 작을 경우, 공간 결핍량(Voids)이 발생함:$$\Delta V(m_c) = \alpha \ell_p^3 \left(1 - \frac{m_c}{12} \right)^k$$

A9. Void는 국소 곡률 및 질량의 원천이다

Void 밀도 $\rho_v$가 클수록 곡률 R은 다음과 같이 증가:$$R = R_0 + \alpha_1 \rho_v + \alpha_2 \rho_v^2$$

6. 위상 진동자 동역학 가정

A10. 위상은 국소 진동자로 진화한다

각 노드 i는 위상 진동 방정식을 따른다:$$\frac{d^2 \phi_i}{d\tau^2} = 6\epsilon_\phi \sum_j A_{ij} \sin(6(\phi_j - \phi_i))$$

A11. 정규 모드 존재

위상장은 격자 기반 정규 모드로 분해 가능하며,$$\lambda_n = n \ell_p,\quad \omega_n = \frac{2\pi c_\phi}{n \ell_p}$$

7. 복소 파동함수 가정

A12. 각 Qaether에 국소 파동함수 $\psi_i$ 존재

$$\psi_i(\tau) = A_i(\tau) \cdot e^{i\phi_i(\tau)}$$

A13. 국소 진화 방정식 존재

$$\frac{d^2 \psi_i}{d\tau^2} \approx - \left( \frac{d\phi_i}{d\tau} \right)^2 \psi_i + i \cdot 6\epsilon_\phi \left( \sum_j A_{ij} \sin(6(\phi_j - \phi_i)) \right) \psi_i$$

국소 진동 정보 $\phi_i$, 결합 정보 $A_{ij}$, 위상차 $\Delta\phi$를 모두 반영한 동역학적 진화 방정식이다.

총결론

"Qaether 이론은 플랑크 스케일에서의 위상 정보망 기반의 이산 격자 우주 모델이며, 시간은 위상 변화량의 누적, 질량은 공간 결핍, 파동은 위상 진동, 파동함수는 복소 위상 진폭으로부터 유도된다."

이론의 철학적 구조는 다음과 같습니다:

철학적 요소 수학적 대응

존재는 관계다	결합 행렬 $A_{ij}$
시간은 변화량이다	위상 변화 기반 유효 시간 $\tau$
파동은 위상이다	복소 진폭 $\psi_i = A_i e^{i\phi_i}$
질량/곡률은 결핍이다	Void 기반 곡률 $R(\vec{x})$

1. Space Configuration Assumptions

A1. Discrete Lattice–Based Space
- The universe is a discrete spatial data structure built on a Face-Centered Cubic (FCC) lattice at the scale of the Planck length $\ell_p$.

- The cell of diameter $\ell_p$ (Qaether).
- Space is not presupposed as a background but emerges from the network of bonds among Qaethers.

A2. Lattice Directionality and Relativity
- Bond directions are restricted to the 12 fixed FCC vectors $D_{\mathrm{FCC}} = \{ \vec{d}_1, \dots, \vec{d}_{12}\}$.
- Despite the underlying lattice, Lorentz symmetry can be restored on average in the long-wavelength limit ($\lambda \gg \ell_p$).

2. Qaether Units and State Variables

A3. Qaether Basic State
- Each Qaether carries the state function
$$\displaystyle \Xi_i = (S_i,\ \vec{Z}_i,\ \phi_i)$$
  • $S_i \in \{0,1\}$: active/inactive flag
  • $\vec{Z}_i \in \mathbb{S}^2$: intrinsic rotation axis
  • $\phi_i \in [0,2\pi)$: local phase

A4. Bond Formation by Relative Conditions
- A bond between $i$ and $j$ forms only if all are satisfied:
  1. $S_i = S_j = 1$
  2. $\vec{r}_{ij}/\ell_p \in D_{\mathrm{FCC}}$
  3. $\Delta\phi_{ij} \in \mathbb{Z}_6 \cdot \pi/3$ (Z₆ phase quantization)

3. Phase Information Structure and Time Philosophy

A5. Time Is Relational

- Time is not an ontological given but a relational quantity derived from cumulative changes in the phase structure.

A6. Definition of Effective Time $\tau$
- Normalized against the phase quantum $\phi_0 = \pi/3$:
$$\displaystyle \tau := \int \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{(i,j)}\bigl(\frac{\delta\phi_{ij}}{\phi_0}\bigr)^2}\,d\delta\tau$$
- This definition is scale-invariant: more phase change means faster flow of time.

4. Bonding and Energy Structure Assumptions

A7. Hamiltonian Composition
- The total energy splits into three contributions:
$$\displaystyle \mathcal{H} = \mathcal{H}_{\text{align}} + \mathcal{H}_{\text{phase}} + \mathcal{H}_{\text{void}}$$
  1. Alignment term ($\mathcal{H}_{\text{align}}$): stability increases when $\vec{Z}_i$ aligns with bond directions
  2. Phase potential term ($\mathcal{H}_{\text{phase}}$): stability increases when phase differences satisfy the Z₆ condition
  3. Void energy term ($\mathcal{H}_{\text{void}}$): energy rises as the bond count $m_c$ decreases

5. Void and Curvature Generation Assumptions

A8. Void from Bond Collapse
- If an FCC cell has fewer than 12 bonds, a spatial deficit (void) appears:
$$\displaystyle \Delta V(m_c) = \alpha\,\ell_p^3\Bigl(1 - \frac{m_c}{12}\Bigr)^k$$

A9. Void as Source of Local Curvature and Mass
- A higher void density $\rho_v$ increases curvature $R$ via
$$\displaystyle R = R_0 + \alpha_1\,\rho_v + \alpha_2\,\rho_v^2$$

6. Phase Oscillator Dynamics Assumptions

A10. Phases Evolve as Local Oscillators
- Each node $i$ obeys the phase-oscillator equation:
$$\displaystyle \frac{d^2\phi_i}{d\tau^2} = 6\epsilon_\phi \sum_j A_{ij}\,\sin\bigl(6(\phi_j - \phi_i)\bigr)$$

A11. Existence of Normal Modes
- The phase field admits a decomposition into lattice normal modes,
$$\displaystyle \lambda_n = n\,\ell_p,\quad \omega_n = \frac{2\pi\,c_\phi}{n\,\ell_p}$$

7. Complex Wavefunction Assumptions

A12. Local Wavefunction $\psi_i$ on Each Qaether
$$\displaystyle \psi_i(\tau) = A_i(\tau)\,e^{i\phi_i(\tau)}$$

A13. Local Evolution Equation
- The dynamics follow
$$\displaystyle \frac{d^2\psi_i}{d\tau^2}\approx -\Bigl(\frac{d\phi_i}{d\tau}\Bigr)^2\psi_i \;+\; i\,6\epsilon_\phi\!\Bigl(\sum_j A_{ij}\sin(6(\phi_j-\phi_i))\Bigr)\psi_i$$
- This encodes local phase $\phi_i$, bond matrix $A_{ij}$, and phase differences $\Delta\phi$.

Conclusion

The Qaether theory is a Planck-scale discrete lattice universe model based on a network of phase information. Time emerges from accumulated phase changes, mass from spatial deficits, waves from phase oscillations, and the wavefunction from complex phase amplitudes.

Philosophical Structure → Mathematical Correspondence
- “Existence is relational” → Bond matrix $A_{ij}$
- “Time is change” → Effective time $\tau$ from phase change
- “Waves are phase” → Complex amplitude $\psi_i = A_i e^{i\phi_i}$
- “Mass/curvature is deficit” → Void-based curvature $R(\vec{x})$

Basic axioms (v0.6)

1. 공간 구성 가정

A1. 이산적 격자 기반 공간

A2. 격자 방향성과 상대성

2. Qaether 단위와 상태 변수 가정

A3. Qaether 기본 상태

A4. 결합은 상대적 조건에 의해 형성됨

3. 위상 정보 구조와 시간 철학

A5. 시간은 관계적이다

A6. 유효 시간 정의 (\(\tau\))

4. 결합과 에너지 구조 가정

A7. 해밀토니안 구성

5. Void와 곡률 생성 가정

A8. Void는 결합 붕괴로부터 유도됨

A9. Void는 국소 곡률 및 질량의 원천이다

6. 위상 진동자 동역학 가정

A10. 위상은 국소 진동자로 진화한다

A11. 정규 모드 존재

7. 복소 파동함수 가정

A12. 각 Qaether에 국소 파동함수 \(\psi_i\) 존재

A13. 국소 진화 방정식 존재

총결론

1. Space Configuration Assumptions

2. Qaether Units and State Variables

3. Phase Information Structure and Time Philosophy

4. Bonding and Energy Structure Assumptions

5. Void and Curvature Generation Assumptions

6. Phase Oscillator Dynamics Assumptions

7. Complex Wavefunction Assumptions

Conclusion

존재는 관계다	결합 행렬 \(A_{ij}\)
시간은 변화량이다	위상 변화 기반 유효 시간 \(\tau\)
파동은 위상이다	복소 진폭 \(\psi_i = A_i e^{i\phi_i}\)
질량/곡률은 결핍이다	Void 기반 곡률 \(R(\vec{x})\)