[v0.2] 기본 가정 및 공리

- 우리가 살고 있는 우주는 플랑크 길이 스케일의 이산적인 공 모양의 최소 공간 단위인 Qaether들의 결합망으로 구성된다. Qaether의 지름은 플랑크 길이 \(\ell_p\)와 같다.

 

- Qaether는 결합텐서, 스핀 텐서를 자체적으로 가지며, 이 텐서들은 플랑크 스케일에서 작동하므로 모두 이산 수학적으로 계산이 가능하다. 

 

- 결합텐서는 Qaether가 실제로 결합한 방향 벡터들 \(\vec{d}_{ij}\)  과 그에 대응하는 스핀 상태 \(S_j\) 의 쌍들에 대해, 방향과 스핀 간의 이산적 결합함수를 통해 계산된 결합 스핀 상태 기반 방향 함수의 이산 평균 결합 방향 텐서이다.

 

- FCC 격자 상에서의 결합은 각 Qaether의 스핀 위상이 다음과 같은 이산 회전 각도 차이를 갖는 방향에서 허용된다:
θ∈{π3,π2,2π3,π,4π3}
이는 FCC의 회전 대칭성과 스핀의 이산적 변화 조건에 따라 유도된다.

 

$$S \in \{+1, 0, -1\}$$

 

- 결합 진동은 \( \Delta S = S_i - S_j \)  또는 결합 방향 간 위상차 \(\Delta \phi_{ij}\)에 따라 유도되며, 진동 모드는 \(\omega_n\)​의 형태로 이산화된다.

 

- 결합 텐서와 관련하여, Qaether는 가장 안정적인 구조인 FCC (face-centered cubic) 격자 구조를 기반으로 결합하며, 결합 가능한 방향은 FCC 격자의 최근접 12개 방향으로 이산 양자화된다

 

- 따라서 결합 방향 벡터들의 평균을 구할 수 있으며, 이는 연속적이 아니라 이산적으로 계산된다. 다음은 가능한 결합 방향 벡터 값들이다:

(예제)

$$\left\{\frac{1}{2}(\pm1, \pm1, 0),\ \frac{1}{2}(\pm1, 0, \pm1),\ \frac{1}{2}(0, \pm1, \pm1)\right\}$$

 

- 이 스핀 조건에 따라 Qaether는 결합을 시도하며, 결합 안정 조건은 $$S_i = -S_j$$ 일 때 성립하고, 이 경우에만 $$\delta^{\text{spin}}_{ij} = 1$$ 이 된다.

 

- Qaether의 스핀에 따른 결합 진동 모드는 파장 \(\lambda_n = n \ell_p\) 를 따르며, 이에 따른 진동수는 다음과 같이 정의된다:

$$\omega_n = \frac{2\pi c_v}{n\ell_p} \quad (\text{여기서 } c_v \text{는 위상 전달 속도이며, 빛의 속도 } c \text{와 일치한다고 가정된다})$$

 

- 이 진동은 결합 거리 및 방향 \(\vec{x}_{ij}\) 에 따라 이산적으로 위상을 가지며, 진동 모드 수 \(n \in \mathbb{N}\) 는 진동 에너지에 대응된다.

 

- 진동 위상은 다음과 같이 정의되며, 시간은 이 위상 변화의 누적을 진동수로 정규화한 내재적 양(emergent quantity)이다:

$$t_{\text{eff}} = \frac{\Delta \phi}{\omega_n}$$

 

- 따라서 실제 결합 구조는 이상적 FCC 격자를 기반으로 하되, 스핀 조건을 만족하는 방향만 포함하는 유도된 부분 격자(subgraph of FCC)로 구성되며, 그 위에서 결합이 발생한다.

 

- Qaether는 완전한 구형이므로 다른 Cell과 모든 방향에 대해 완전 결합은 불가능하고 이로인해 국소적 공간 결핍이 발생하는데 이는 유한한 수의 패턴으로 정의될 수 있다.

 

- 또한 결합망에서 스핀 조건을 만족하지 못해 결합되지 않은 방향들로 인한 다른 형태의 공간결핍이 추가적으로 발생하며 이러한 국소적 공간 결핍은 중력 텐서로 계산될 수 있는데 이 또한 유한한 수의 패턴을 갖는다. (Qaether의 상태 텐서가 아니라 결핍 부분에 대한 텐서값)

 

- 결핍 텐서 \(D_{i}^{abc}\)​는 Qaether \(i\) 에서 결합되지 않은 방향 벡터들의 텐서곱 평균으로 정의되며, 국소적인 공간곡률의 지표로 작용한다.

 

- 위의 내용을 통합하여 Qaether의 상태를 다음과 같은 이산 텐서로 표현할 수 있으며 결합 및 결핍 텐서, 결합방향 Qaether의 스핀, 결합 진동의 값으로 만들어진다 :

$$Q^{sn}_{\mu\nu f}$$

여기서 \(\mu, \nu, f\): 결합 방향 평균 벡터 인덱스, \(s\): 스핀 상태, \(n\): 진동 모드 인덱스를 나타낸다. 이 텐서 \( Q^{\mu\nu}_{fsn} \)은 결합 방향 평균 (\(\mu, \nu, f\)), 해당 방향의 스핀 상태 \( s \), 그리고 진동 모드 \( n \)을 포함하여 각 Qaether의 결합 상태를 전적으로 나타내는 이산 상태 텐서입니다. 이는 결핍 텐서와 별도로 정의되며, 후자는 결합되지 않은 방향들로부터 도출됩니다.

 

- 이러한 방식으로 Qaether 간 결합망의 위상 구조가 곧 ‘공간’ 그 자체를 이룬다.

 

- 이 모델에서 시간은 외재적 연속 변수가 아니라, 결합 위상 변화의 누적 \(\Delta \phi\) 를 통해 발현되는 내재적 emergent quantity이다.