A7. Electric Charge — Geometric Spin Arithmetic

0. 설정·기호

격자: FCC 1-스켈레톤 $E$와 최소 루프(삼각·사각) 2-셀 집합 $F$로 이루어진 2-복합체.
내부 자유도: 각 정점 $i$에 SU(2) 스핀
\[
\mathbf q_i=\exp \Big[i\frac{\phi_i}{2}\big(\mathbf n_i \cdot \boldsymbol\sigma\big)\Big],\quad
\mathbf n_i\in S^2,\ \quad \phi_i\in(-\pi,\pi] .
\]
링크 변수: $$U_{ij}=\mathbf q_j\mathbf q_i^{-1}\in SU(2)$$
위상 양자화(섹터 고정): (색전하에서와 동일한 $\mathbb Z_{12}$ 잔여 구조)
\[
\Delta\phi_{ij}\in \tfrac{\pi}{6}\mathbb Z\ (\mathrm{mod}\ 2\pi)\quad\Longleftrightarrow\quad
\phi_i=m_i\tfrac{\pi}{6}\ (\mathrm{mod}\ 2\pi),\ m_i\in\mathbb Z
\]

1. 게이지 작용과 공변 U(1) 축

정의 1(공변 축). 기준 정점 $v_0$와 단위 축 $\hat{\mathbf u}_{v_0}\in S^2\subset \mathfrak{su}(2)$를 고르고, 스패닝 트리 $T\subset E$를 따라 평행수송
\[
\hat{\mathbf u}_i:=\mathcal P_{i\leftarrow v_0}(\hat{\mathbf u}_{v_0})
\]
로 각 정점의 참조축을 정한다. (트리를 쓰면 경로가 유일하여 경로의존성이 제거된다. 트리를 쓰지 않는 경우에도, 본문 전반은 중심 홀로노미 섹터($\pm I$)에서 동일하게 성립한다.)

게이지 공변성. 지역 변환 $g:\{g_i\in SU(2)\}$에 대해
\[
\mathbf q_i\mapsto g_i\mathbf q_i,\qquad
\hat{\mathbf u}_i\mapsto g_i\hat{\mathbf u}_i g_i^{-1}
\]
즉 $(\mathbf n_i,\hat{\mathbf u}_i)$는 함께 회전한다.

2. 정점(쿼터니안) 부분 전하와 입자 전하

정의 2(정점 전하기여).
\[
\boxed{c_i:=k_0 \frac{\phi_i}{2} (\mathbf n_i \cdot \hat{\mathbf u}_i)}\qquad(k_0:\ \text{정규화 상수})
\]

정의 3(입자 전하). 위상 객체 $P$의 전하는
\[
\boxed{Q_P:=\sum_{i\in \mathrm{Vertices}(P)} c_i}
\]

$P=\square$ (사각 플라켓) ⇒ 유효 쿼크의 전하.
$P=\mathcal O$ (서로 직교하는 3장의 플라켓으로 닫힌 정팔면체) ⇒ 바리온의 전하.

정리 1(게이지 불변성). $Q_P$는 지역 SU(2) 게이지변환에 불변이다.

스케치. $\phi_i$는 회전 각의 크기라 불변이고, $(\mathbf n_i,\hat{\mathbf u}_i)$는 둘 다 $g_i$에 의해 공액회전하므로 내적 $(\mathbf n_i \cdot \hat{\mathbf u}_i)$가 불변. 합도 불변.

비고(경로 의존성). 트리 $T$에서 정의하면 경로는 유일. 트리 밖 경로 차이는 루프 홀로노미 $H$로 주어지며, 중심 섹터 $(H=\pm I)$에서는 $\mathrm{Ad}_H$가 항등이라 $\hat{\mathbf u}_i$가 변하지 않는다. 따라서 $Q_P$는 잘-정의

3. 양자화: $\pi/6 \to π/12$ 격자

\[
\phi_i=m_i\tfrac{\pi}{6}\ \Rightarrow\
c_i=k_0 \tfrac{\pi}{12} m_i (\mathbf n_i \cdot \hat{\mathbf u}_i)
\]
평형(정렬)에서 $(\mathbf n_i \cdot \hat{\mathbf u}_i)\in{0,\pm1}$이므로
\[
c_i\in k_0 \tfrac{\pi}{12} \mathbb Z, \qquad
Q_P\in k_0 \tfrac{\pi}{12} \mathbb Z
\]
즉 전하는 자연스럽게 이산 격자에 놓인다.

정의 4(정규화—전자 캘리브레이션). 참조 입자(전자) $P_{\rm ref}$에 대해
\[
Q_{P_{\rm ref}}=\sum_{i\in V(P_{\rm ref})} c_i=-e
\]
가 되도록 $k_0$를 고정한다. 이 한 번의 캘리브레이션으로 플라켓의 분수전하 값이 함께 고정된다.

반입자 대칭. $\phi_i\to-\phi_i$ 또는 $\mathbf n_i\to-\mathbf n_i$ ⇒ $c_i\to -c_i, \quad Q_P\to -Q_P$

4. 플라켓(유효 쿼크)의 분수 전하

플라켓 법선 $\hat{\mathbf e}$에 공변축을 정렬$(\hat{\mathbf u}_i\parallel\hat{\mathbf e})$. 마주보는 꼭짓점의 기여 절댓값이 같고 부호만 바뀌는 대칭으로부터
\[
Q_{\square} = q_0[m_{+e}-m_{-e}],\qquad q_0:=k_0\frac{\pi}{12}
\]
전자 캘리브레이션으로 일반적으로 $q_0=\tfrac{e}{3}$이 되어
\[
\boxed{Q_{\square}\in{0,\ \pm\tfrac{e}{3},\ \pm\tfrac{2e}{3},\ldots}}
\]
맛 라벨과의 매칭(한 예):
\[
u:\ \Delta m=+2\Rightarrow Q=+\tfrac{2e}{3},\qquad
d:\ \Delta m=-1\Rightarrow Q=-\tfrac{e}{3}
\]

5. 합성 규칙: 메손·바리온

메손(플라켓–반플라켓). 반지향(orientation reversal)으로 $m\to -m$, 따라서
\[
Q_{\square}+Q_{\overline{\square}}=0
\]

바리온(정팔면체). 서로 직교하는 세 플라켓 $XY,YZ,ZX$로 정팔면체를 형성할 때(12 모서리 정합성 충족):
\[
Q_{\mathcal O}=Q_{XY}+Q_{YZ}+Q_{ZX}
\]
색중성(세 플라켓의 $D_4$ 궤도가 서로 다름), ($r,g,b$)과 함께 쓰면
\[
p(uud):\ +\tfrac{2e}{3}+\tfrac{2e}{3}-\tfrac{e}{3}=+e,\qquad
n(udd):\ -\tfrac{e}{3}-\tfrac{e}{3}+\tfrac{2e}{3}=0
\]
즉 바리온 전하는 정수화된다.

6. 보존·불변·경계 사례

국소 보존: 결절점에서의 재배열은 $\sum_i \phi_i(\mathbf n_i \cdot \hat{\mathbf u}_i)$의 경계항 상쇄로 $Q$를 보존한다(같은 섹터에서의 미소 변형에 대해 불변).
좌표 불변: 전역 SO(3) 회전에 대해 $(\mathbf n_i,\hat{\mathbf u}_i)$가 함께 회전하므로 $Q_P$ 불변.
열·결함: 정렬이 약해져 $(\mathbf n_i \cdot \hat{\mathbf u}_i)\notin{0,\pm1}$가 되더라도 $\phi_i$는 여전히 $\pi/6$ 격자에 묶인다. 가라앉은(저에너지) 배치에서는 정렬이 회복되어 $Q_P$가 다시 격자 $q_0\mathbb Z$에 핀닝된다(플래토).

7. 색전하와의 정합

기원 층위 분리:
전기 전하는 SU(2) 스핀의 U(1) 투영 합, 색전하는 플라켓 정수 원순열의 (D_4) 궤도(3종)로부터 오는 라벨.
공생:
같은 위상·격자 구조(π/6)와 같은 위상 객체(플라켓/정팔면체)를 쓰므로, 메손·바리온 규칙이 전하와 색 양쪽에서 동시에 정합한다.

8. 한 줄 정의(요약)

전하 $Q_P$는, FCC 격자 위상 섹터에서 $\phi_i\in\tfrac{\pi}{6}\mathbb Z$로 양자화된 각 정점의 SU(2) 스핀을 게이지-공변 축에 투영한 스칼라

$$c_i=k_0\frac{\phi_i}{2}(\mathbf n_i \cdot \hat{\mathbf u}_i)$$
의 산술 합
$$Q_P=\sum_{i\in V(P)}c_i$$
로 정의된다. 전자 캘리브레이션으로 $k_0$를 고정하면, 플라켓은 $\{0,\pm e/3,\pm2e/3,\ldots\}$의 분수 전하를, 정팔면체는 정수 전하를 갖는다. 정의는 게이지·좌표 불변이고, 섹터 고정 하에 보존된다.

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[v1.6] 전하의 정의 — 기하학적 스핀 산술