[v0.6] 1차 검증 내용

아래는 현재까지 진행한 정의, 구축, 수식화, 검증한 Qaether 이론의 전체적 검증 체계를 분야별로 정리한 것입니다.
이론적 정합성, 수학적 성립성, 물리적 구현 가능성의 세 축에서 주요 검증 결과를 포괄적으로 재정리합니다.

Qaether 이론: 지금까지의 검증된 이론 정리

1. 공간 격자 구조와 방향성

* FCC 격자 기반 모델 유도

• 12개 고정 방향 \(D_{\mathrm{FCC}}\)을 통한 결합 방향 이산화
• \(\vec{r}_{ij} / \ell_p \in D_{\mathrm{FCC}}\) 조건으로 거리 개념이 관계적으로 정의됨
• FCC 결합 기준으로 정렬 함수 \(f_{ij} = |\vec{Z}_i \cdot \vec{d}_{ij}| \cdot |\vec{Z}_j \cdot \vec{d}_{ji}|\) 도입

* 로렌츠 대칭 평균 회복

• FCC 격자 위의 위상 진동자 모델로부터 군속도 \(\nabla_{\vec{q}} \omega(\vec{q})\)의 방향 독립성 검증
• ➜ 장파장 극한 \(\lambda \gg \ell_p\)에서 로렌츠 대칭 회복 가능성 확인

 

2. 위상 양자화와 이산 결합 조건

* 위상차 양자화 조건

• 결합 허용 조건: \(\Delta \phi_{ij} \in \mathbb{Z}_6 \cdot \pi/3\)
• FCC의 C₆ 회전대칭성 기반으로 물리적으로 타당

* Z₆ 위상 조건의 물리적 해석

• Clock model, Zₙ gauge theory, Berry phase와의 수학적 연결 고리 탐구
• ➜ 위상차 양자화 조건이 양자역학적 불연속 구조와 정합됨

 

3. 시간 정의와 척도 불변성

* 유효 시간 \(\tau\) 정의

• 정규화 정의:$$\tau := \int \sqrt{ \frac{1}{N} \sum_{(i,j)} \left( \frac{\delta \phi_{ij}}{\phi_0} \right)^2 }\, d\delta\tau \quad \text{with } \phi_0 = \pi/3$$
• 척도 불변성(scale invariance) 만족 → \(\phi_i \to \lambda \phi_i\) 시 \(\tau\) 불변

* 위상 엔트로피와의 상보 관계

• 엔트로피 정의:$$S(\tau) = - \sum_{\alpha \in \mathbb{Z}_6} p_\alpha \ln p_\alpha$$
• 진화 방정식:$$\frac{dS}{d\tau} = \alpha \left(1 - \frac{S}{\ln 6} \right)$$
• ➜ \(\tau\): 누적 변화량, \(S(\tau)\): 순간적 무질서
• 상보적 관계 확인

 

4. 위상 진동자 동역학

* 동역학 well-posedness 분석

• 위상 진동자 방정식:$$\frac{d^2 \phi_i}{d\tau^2} = 6\epsilon_\phi \sum_j A_{ij} \sin(6(\phi_j - \phi_i))$$
• 해 존재성, 유일성, 안정성 확인 → well-posed ODE system

* 초기 조건 민감도 분석

• 작은 오차 \(\delta \phi(0)\)에 대한 시간적 감쇠/발산 구조 검증
• ➜ 약한 민감도 (soft sensitive): 불안정하거나 혼돈적이지 않음

 

5. 국소 복소 파동함수 동역학

* 파동함수 \(\psi_i = A_i e^{i\phi_i}\) 정의

• 파동함수 동역학 유도:$$\frac{d^2 \psi_i}{d\tau^2} \approx - \left( \frac{d\phi_i}{d\tau} \right)^2 \psi_i + i \cdot 6\epsilon_\phi \sum_j A_{ij} \sin(6(\phi_j - \phi_i)) \cdot \psi_i$$
• 국소 동역학과 연결되는 진화 식 확보 → 개별 Qaether 단위의 파동동역학 가능

 

6. 결합 해밀토니안과 Void 기반 질량/곡률 생성

* Void 팽창 함수 정식화

• 팽창량:$$\Delta V(m) = \alpha \ell_p^3 \left( 1 - \frac{m}{12} \right)^k$$

* 결합 결핍 ↔ 곡률 대응 수식

• 곡률-void 대응:$$R(x) = R_0 + \alpha_1 \rho_v + \alpha_2 \rho_v^2$$
• 공간결핍량(결합 수 부족)이 곡률 및 질량 생성으로 이어짐
  → 중력 기원 모델 가능성 확보

 

7. 양자 요동 및 고전 전이 구조

* 양자적 위상 요동 해석

• \(\phi_i \sim\) 확률변수, \(\mathbb{P}(\Delta\phi_{ij}) \sim \exp(-E_{ij}/\hbar_{\text{eff}})\)

* 양자-고전 전이 조건 정식화

• 확률적 고전 전이 조건:$$\mathbb{P}(\Delta \phi_{ij} = \alpha) > 1 - \epsilon \quad \Rightarrow \quad \text{고전적 결합 형성}$$
• 이산 진동자의 stochastic → deterministic 전이 모델 구조 확보

 

8. 에너지 보존 vs 위상 재배열 속도 보존

* 일반적 에너지 보존 어려움 인정

• 공간 결합 구조가 시간에 따라 바뀌기 때문에 일반적 에너지 보존 불가능

* 대체 보존 개념 도입: 위상 재배열 속도 보존

• 위상 변화율의 정보 흐름을 보존 법칙으로 재정의
• 작용 원리 기반의 엔트로피 보존/재배열 보존 해석 가능성 확보

 

총결론: 이론적 정합성

항목 검증 결과

공간 격자 기반	FCC 방향성, 거리 내재화
결합 규칙	위상차, 회전축 정렬, 이산 방향
시간 정의	척도 불변성 + 정보 누적성
위상 진동자	해 존재/유일성/안정성
파동함수	복소 진폭 정의 + 진화식 확보
곡률 생성	Void 기반 곡률 모델 수립
양자-고전 전이	\(\mathbb{P}(\Delta\phi)\) 기반 전이 조건
보존 법칙	에너지 대신 위상 정보 흐름 보존 고려 가능