A significant shift in ideas

In the original Qaether theory, each cell was assigned a single U(1) scalar phase \(\phi_i\in[0,2\pi)\) on a three-dimensional ball of radius lpl_p, and this phase was connected via link holonomies to implement charge and phase quantization.

While defining a ground-state energy for each cell and relating it to the Einstein equations proved remarkably successful, explaining the gauge structure remained challenging. In particular, describing spin-½ required an extrapolative half-angle assumption like the “spinnerit,” which exposed limitations in the theory’s unity and naturalness.

It was in order to resolve the definition of spin that I came to study the SU(2) symmetry, and I realized that the three-sphere \(S^3\) formed by SU(2) unit quaternions strikingly matches the geometry of a Qaether cell. In other words, by viewing the space describing a single cell as \(S^3\), I gained the insight that the internal degree of freedom could be taken as a quaternion \(q_i\in S^3\cong SU(2)\) instead of the scalar phase \(\phi_i\).

Accordingly, I defined the link variable (link holonomy) between cells as
\(h_{ij} = q_j\,q_i^{-1}\in SU(2)\),
and by multiplying this with the existing U(1) electromagnetic holonomy \(U_{ij}=e^{-i q_e A_{ij}}\) and the SU(3) color holonomy \(V_{ij}=e^{-i g\,T^a A^a_{ij}}\), I generalized it into a single unified group element
\(H_{ij}^{\rm tot} = U_{ij}\,\times\,V_{ij}\,\times\,h_{ij}\;\in\;U(1)\times SU(3)\times SU(2)\).

This transition alone remarkably and naturally resolves the following core issues:

• Spin-½ property: the \(2\pi\) rotation property \(q\to -q\) of SU(2) quaternions automatically implements spin-½.
• Charge and color-charge quantization: integer charges arise from the group exponentiation of U(1) and SU(3) holonomies.
• Elimination of auxiliary assumptions: spin and phase phenomena are explained solely by the internal geometry, without invoking constructs like the “spinnelet.”

Moreover, this framework opens the possibility of directly connecting to the electroweak SU(2)\(_L\) of the Standard Model to explore a broader unified theory, and it allows predictions of new high-energy phenomena at the Planck scale—such as non-Abelian instanton modes and spin-waves. It also provides a robust theoretical foundation for extending research into quantum gravity via lattice path-integral techniques.

For these reasons, I have decided to adopt this transition and boldly revise the entire framework.

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기존 Qaether 이론에서는 각 셀마다 반지름 \(l_p\)의 3차원 구(3-ball) 위에 단 하나의 U(1) 스칼라 위상 \(\phi_i\in[0,2\pi)\)만을 할당했고, 이 위상을 링크 홀로노미로 연결해 전하와 위상 양자화를 구현했다.

셀 자체에 기저 에너지를 정의하고 이를 아인슈타인 방정식과 연결하는 작업은 생각보다 잘 되었지만 게이지를 설명하기에는 어려움을 느끼고 있었다. 특히 스핀½을 설명하기 위해서는 “스피너릿”과 같은 외삽적 half-angle 가정이 반드시 필요했기 때문에, 이론의 통일성과 자연성에 한계를 느끼고 있었다.

 

그런 이유로 스핀의 정의 부분을 마무리하기 위해 SU(2) 대칭에 대한  공부하던 과정에서, SU(2)의 단위원 사원수(quaternion)가 이루는 3-구(\(S^3\)) 위상 공간이 바로 Qaether 셀의 기하와 놀랍도록 비슷하다는 사실을 깨달았다. 즉, 셀 하나를 표현하는 공간 자체를 \(S^3\)로 본다면, 스칼라 위상 \(\phi_i\) 대신 quaternion \(q_i\in S^3\cong SU(2)\)를 내부 자유도로 채택할 수 있겠다는 인사이트를 얻었다.

이에 따라 셀 간 링크 변수(link holonomy)를 \[ h_{ij} \;=\; q_j\,q_i^{-1} \;\in\; SU(2) \] 로 정의하고, 기존의 U(1) 전자기 홀로노미 \(U_{ij}=e^{-i q_e A_{ij}}\)와 SU(3) 색 홀로노미 \(V_{ij}=e^{-i g\,T^a A^a_{ij}}\)를 곱해 \[ H_{ij}^{\rm tot} = U_{ij}\,\times\,V_{ij}\,\times\,h_{ij} \;\in\; U(1)\,\times\,SU(3)\,\times\,SU(2) \] 라는 하나의 통합된 그룹 요소로 일반화하였다.

 

이 전환만으로도 다음과 같은 핵심 문제들이 놀랍도록 자연스럽게 해결된다:

• 스핀½ 특성: SU(2) 쿼터니언의 \(2\pi\) 회전 시 \(q\to -q\) 변화가 자동으로 스핀½을 구현
• 전하·색전하 양자화: U(1)·SU(3) 홀로노미의 군 지수 사상을 통해 정수 전하 정의
• 추가 가정 제거: ‘스피너릿’ 등의 별도 보조 개념 없이 내부 기하만으로 스핀과 위상 현상을 설명

뿐만 아니라 이 구조를 바탕으로 표준모형의 electroweak SU(2)\(_L\)과 직접 연결하여 더 넓은 통합 이론을 모색할 수 있고, Planck 스케일에서 나타나는 비가환 인스탄톤(instanton) 모드나 스핀 웨이브(spin-wave) 같은 새로운 고에너지 현상을 예측할 수 있다. 또한 격자 경로적분(path integral) 기법을 통해 양자중력 영역으로의 확장 연구도 활발히 진행할 수 있는 탄탄한 이론적 토대를 확보하게 되었다. 

 

그런 이유로 전환을 결정하고 과감하게 전체 내용을 수정하려고 한다.