Tiara(정사면체) 결합 구조의 전하

1. Tiara 구조 개요

• 정사면체 구성
  • 4개의 정삼각형 면(trianglet)으로 이루어진 정사면체.
  • 세 면의 면심(face center)과 하나의 꼭지점(vertex)이 중심으로 연결된 형태.

2. 단위전하 정의

• 링크(link) 전하
  • 위상차 \(\Delta\phi(ij)\)가 존재할 때: 한 링크당 전하 \(q\)
  • 위상차 = 0일 때: 전하 0
• 전하 흐름 방향
  • 위상(phase)이 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 한다.

3. 전체 전하 계산 절차

Tiara의 전체 전하를 구하려면 각 정삼각형 면전하 Qₗ 을 파악한 뒤 합산한다.
면전하 Qₗ 은 그 면을 둘러싼 세개의 링크 전하(각각 \(q\) 또는 0)의 합이다.

3.1. 루프 위상차 조건과 링크전하 조건

$$\Theta_\ell = \sum_{(ij)\in \ell}\Delta\phi_{ij},\quad \Theta_\ell = 2\pi\,n_\ell,\quad n_\ell\in\{-1,0,1\}$$

$$Q_\ell = \sum_{(ij)\in \ell}q\,\operatorname{sgn}(\Delta\phi_{ij})$$

• \(Q_\ell\neq0\)면 유전하
• \(Q_\ell=0\)면 무전하

3.2. 경우 구분 및 면전하 분포

1. 기준 면전하가 \(3q\) (루프 합 = \(±2π\))
   • 기준 면 링크 한 개에만 \(q\) → 면전하 \(3q\)
   • 나머지 붙어 있는 면들은 가능한 면전하 \(-3q,\,-q,\,+q\)
   • 한 면이 \(-3q\)일 때: 나머지 두 면은 \(+q, -q\) → 전체 합 0
   • 그 외 조합에서도 대칭적으로 전체 전하 0
2. 기준 면 링크 모두 0 (루프 합 = 0, 면전하 0)
   • 기준 면전하 0 → 인접 면 중 하나는 반드시 링크 하나만 0
   • 남은 두 링크 조합에 따라 \((O,O,O), (I,I,I), (O,I,I), (I,O,O)\) 네 가지 패턴 (O: Out, I: In)
   • 각 패턴별로 링크에 \(q\) 배정 후 계산 시 전체 전하 역시 0
3. 모든 링크는 0 아니지만 루프 합 = 0 (면전하 = \(±q\))
   • 기준 면 링크 위상차 조합: \((\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{\pi}{3},-\pi)\) 또는 부호 반대
   • 각 링크가 \(q\) → 면전하 \(±q\)
   • \(\Delta\phi=\pm\pi\)인 링크를 공유하는 면들은 나머지 위상차 조합이 \((2π/3, π/3)\) 또는 부호 반대만 가짐
   • 공유 면전하가 \(±3q\)가 되면 1번 구조와 동일 → 전체 전하 0
   • 공유 면전하가 \(±q\)인 경우: 기준 면전하와 반대 부호 → 두 면 합 0, 나머지 두 면도 \(+q, -q\) → 전체 전하 0

4. 결론

모든 가능한 위상차(면전하) 조합에 대해 Tiara 내부의 4개 면전하 합은 항상 0이 된다.
따라서 정사면체 구조인 Tiara는 어떠한 경우에도 전체 전하 중성(neutral)을 유지한다.