[v0.3] FCC 격자 루프 제약에 따른 링크 위상차의 양자화 증명

0. 표기·가정 (공통)

• \( G=(V,E) \): FCC 최근접결합 그래프
• 2–셀 \( F \):
  • 사면체의 삼각면 ( \(\Delta\) )
  • octahedron의 사각면 ( \(Q\) ) — 대각 사각 루프.
• 사슬군 및 경계사상
  \[
  C_2=\mathbb Z^F,\quad C_1=\mathbb Z^E,\quad \partial_2:C_2\to C_1
  \]
• 각 링크 \( e\in E \)에 위상차 \( \phi_e\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)라고 하면 위상사상 \( \Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)는
  \[
  \Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0 \quad \text{ (모든 2–셀 경계의 위상합이 0) }
  \]
• 한 엣지 \( e \)의 국소 스타에는 \( e \)를 포함하는 2–셀 6장:
  \[
  (Q_1,Q_2,\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3,\Delta_4)
  \]
  링크 \( Lk(e) \)는 정육각형 \( C_6 \), 그 1–셀을 \(\{ a_1,\dots,a_6 \}\) (반시계)로 둔다.
• 각 2–셀의 방향은 \( e \)-행의 경계계수를 모두 \( +1 \)로 잡을 수 있다 (부호 반전 자유).

 

1. 코사이클 유도

• 가정 \( \Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0 \)으로부터, 몫군 \( A:=C_1/\operatorname{im}\partial_2 \)에 대해 다음과 같이 정의하면 대표 선택에 무관하다.
  \[
  \overline\Phi([c]) := \Phi(c),\quad c\in C_1
  \]
• 실제로 \( c-c'=\partial_2Z \Rightarrow \Phi(c)-\Phi(c')=\Phi(\partial_2Z)=0 \)
• 따라서 \( \overline\Phi:A\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)가 잘 정의된다. 

 

2. 양자화 조건

• \( [e]\in A \)의 차수가 \( k=\operatorname{ord}([e])<\infty \)라면, \( k[e]=0 \Rightarrow \exists Z\in C_2 : \partial_2Z=ke \).
• 그러면
  \[
  k\phi_e=\Phi(ke)=\Phi(\partial_2Z)=0\ (\bmod 2\pi),
  \]
  즉
  \[
  \phi_e\in\frac{2\pi}{k}\mathbb Z\ (\bmod 2\pi)
  =\frac{2\pi}{\operatorname{ord}([e])}\mathbb Z\ (\bmod 2\pi)
  \]

 

3. 최소성과 존재성 (한 엣지 \( e \) 고정)

마지막으로 국소 경계행렬의 정수선형대수적 구조로부터 최소성을, 국소 회전 대칭을 이용한 명시적 구성으로 존재성을 증명하자.

A) 차수 12인 엣지, \(\overline\Phi([e^*])\)의 존재 

1. 로컬 면 구조와 위상 배치
   • 한 엣지 \(e\)를 중심으로 붙은 사각형·삼각형 면에 다음 위상값을 부여한다
     • 사각형 루프 A :
       \[
       \phi=\frac{\pi}{6}(0,2,4,6)
       \]
     • 이 사각형에서 위상 0을 가진 변과 만나는 삼각형 4개:
       \[
       \phi=\frac{\pi}{6}(0,6,6)
       \]
     • 반대편 사각형 루프 B :
       \[
       \phi=\frac{\pi}{6}(0,1,5,6)
       \]
   • 모든 경우 각 면의 위상합은 다음과 같다. \[ \frac{\pi}{6}(\text{합})=\frac{\pi}{6}\cdot 12=2\pi\equiv 0 \]
   • 따라서 \(\Phi\)는 다음과 같은 몫군으로 자연스럽게 내려간다. \[ \overline\Phi: A=C_1/\operatorname{im}\partial_2 \longrightarrow \mathbb R/2\pi\mathbb Z \]
2. 차수 12인 엣지 하나의 존재
   • 반대편 사각형 루프 B에는 \[ \phi=\frac{\pi}{6} \] 을 가지는 변이 존재한다.
   • 이 변을 \(e^*\)라 하자. 그러면 \[ \Phi(e^*)=\frac{\pi}{6} \]이고, 따라서 \[ 12\Phi(e^*)=12\cdot\frac{\pi}{6}=2\pi\equiv 0, \]
   • 즉 \(\overline\Phi([e^*])\)는 정확히 차수 12인 원소이다.

 

B) 최소성: \(\partial_2 Z=ke \Rightarrow 12\mid k\)

\[
\forall Z\in C_2:\quad \partial_2 Z = k e \Longrightarrow 12\mid k
\]

이건 군론적으로는 \(\operatorname{ord}([e])=12\)와 동치라는 것을 증명해야 한다.

즉, 아래 내용을 바탕으로 \(\operatorname{ord}([e])=12\)를 상한과 하한에서 동시에 구하면 된다.

\[
\boxed{\partial_2 Z = k e \Rightarrow 12\mid k}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\boxed{\operatorname{ord}([e]) = 12}
\]

 

1. 상한: \(\operatorname{ord}([e]) \mid 12\) (= \(12e\)가 실제로 경계)
   • 먼저 \(e\)를 포함하는 국소 스타 \(\operatorname{St}(e)\) 안에서 2–셀들을 정수계수로 조합해 2–사슬 \(P'\in C_2\) 하나를 잡는다. 이때:
     • \(\partial_2 P'\)의 \(e\)–성분은 \(2e\)가 되도록(즉 \(e\) 방향 계수가 2가 되도록),
     • 나머지 엣지들에 대해서는, FCC의 6배 회전 \(R\)을 이용해 계수가 서로 상쇄되도록 만들어 둔다.
   • 그다음 6배 회전 평균을 취해 다음을 정의한다.  \[ Z^* := \sum_{j=0}^5 R^j(P') \in C_2 \]
   • 여기서 \(R\)은 \(Lk(e)\cong C_6\)를 한 칸씩 회전시키는 셀룰러 자기동형이고, \(e\) 자체는 고정합니다.
   • \(e\)–성분: 각 \(R^j(P')\)에서 \(e\)의 계수는 항상 2이므로
     \[
     \big(\partial_2 Z^*\big)e
     = \sum{j=0}^5 \big(\partial_2 R^j(P')\big)e
     = \sum{j=0}^5 2e
     = 12e
     \]
   • 링크 \(Lk(e)\) 안의 엣지들(육각형의 6변)은, 어떤 \(\mathbf c\in\mathbb Z^6\)에 대한 순환이동들의 합으로 나타나는데,
     \(\sum_i c_i = 0\) 이 되도록 \(P'\)를 잡았으므로 회전 평균에서 모두 사라집니다.
   • 링크 밖의 “멀리 있는” 엣지들은 \(R\)–궤도마다 계수가 \((+1,-1)\)로 쌍을 이루게끔 \(P'\)를 선택했으므로
     각 궤도에 대해 \(\sum_j f(R^j x) = 0\), 따라서 이들도 합해서 0이 됩니다.
   • 상한결론: \[ \partial_2 Z^* = 12e \] 따라서 \[ 12e \in \operatorname{im}\partial_2 \quad\Rightarrow\quad 12[e] = 0 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{ord}([e]) \mid 12 \tag{상한} \]
   • 보조증명 (주석1 참조)
2. 하한: \(12 \mid \operatorname{ord}([e])\) (위상 코사이클 + 최소공배수 아이디어): 이번에는 코사이클을 이용해 \([e]\)의 차수가 12보다 작아질 수 없다는 걸 보입니다.
   • 위상 코사이클 \(\Phi\)와 몫군으로의 내림
     • 각 엣지 \(f\in E\)에 위상 \(\phi_f \in \mathbb R/2\pi\mathbb Z\)를 주는 사상 \[ \Phi : C_1 \to \mathbb R/2\pi\mathbb Z \]
     • 이 모든 2–셀 \(s\in F\)에 대해 다음을 만족한다고 하자. 즉, 모든 면의 경계 위상합이 0(≡ \(2\pi\)의 정수배)라는 뜻 \[ \Phi(\partial_2 s) = 0 \]
     • 이 조건은 곧 다음조건을 의미한다. \[ \Phi(\operatorname{im}\partial_2) = 0 \]
     • 따라서 몫군 \[ A = C_1 / \operatorname{im}\partial_2 \] 위로 \[ \overline\Phi : A \to \mathbb R/2\pi\mathbb Z,\quad \overline\Phi([c]) := \Phi(c) \]가 잘 정의되는 군 준동형.
   • 사각·삼각 루프 공유 엣지의 위상값
     • 각 엣지 \(e\)는 사각 루프(사각형 2–셀) 하나, 삼각 루프(삼각형 2–셀) 하나의 변으로 동시에 등장할 수 있다.
       • 기본 아이디어는 사각 루프 4변, 삼각 루프 3변에 동일한 위상차 \(\theta\)를 주면서, 각 루프의 경계 위상합이 \(2\pi\)의 정수배가 되도록 하는 \(\theta\)를 찾는다.
       • 이를 엄밀히 쓰려면, \(\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)의 대표를 실제 실수로 들어 올려야 한다.
     • 각 엣지 \(f\)에 대해 \(\widetilde\phi_f \in \mathbb R\)를 잡아 다음과 같이 정의하자. \[ \widetilde\phi_f \equiv \phi_f \pmod{2\pi} \]
     • 어떤 사각 루프 \(\square\)가 변 \(e_1,e_2,e_3,e_4\)로 이루어져 있고, 어떤 삼각 루프 \(\triangle\)가 변 \(f_1,f_2,f_3\)로 이루어져 있으며, 이때 엣지 하나가 겹친다고 가정하자: \[ e_1 = f_1 = e \]
     • 이제 대칭을 이용해, 이 두 루프의 변 위상들을 모두 같은 값 \(\theta\)로 갖는 해만 찾겠다 \[ \widetilde\phi_{e_i} = \widetilde\phi_{f_j} = \theta \quad (\forall i,j) \]
     • 그럼 면별 “위상합 = \(2\pi\mathbb Z\)” 조건은 다음을 의미
       • 사각 루프:
         \[
         \widetilde\phi_{e_1} + \widetilde\phi_{e_2} + \widetilde\phi_{e_3} + \widetilde\phi_{e_4}
         = 4\theta
         = 2\pi n_\square,\quad n_\square\in\mathbb Z.
         \]
       • 삼각 루프:
         \[
         \widetilde\phi_{f_1} + \widetilde\phi_{f_2} + \widetilde\phi_{f_3}
         = 3\theta
         = 2\pi n_\triangle,\quad n_\triangle\in\mathbb Z.
         \]
     • \(\theta\)를 정규화하여 \(x := \theta/(2\pi)\)라고 쓰면, \[ 4x = n_\square\in\mathbb Z,\qquad 3x = n_\triangle\in\mathbb Z \]
     • 즉 \[ x \in \frac{1}{4}\mathbb Z \cap \frac{1}{3}\mathbb Z = \frac{1}{\operatorname{lcm}(4,3)}\mathbb Z = \frac{1}{12}\mathbb Z \]
     • 따라서 어떤 정수 \(k\)가 존재해서 \[ x = \frac{k}{12},\quad \theta = 2\pi x = \frac{2\pi k}{12} \]
     • 특히 \(k=1\)을 택하면, 공유 엣지 \(e\)에 대해 다음과 같은 배치를 만들 수 있다. \[ \phi_e \equiv \theta \equiv \frac{2\pi}{12} \pmod{2\pi} \]
     • 이렇게 만들어진 코사이클에 대해 \[ \overline\Phi([e]) = \Phi(e) = \phi_e = \frac{2\pi}{12}\]
     • 이 원소는 \(\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)에서 정확히 차수 12
       • \(12\cdot \frac{2\pi}{12} = 2\pi \equiv 0\),
       • \(m\cdot \frac{2\pi}{12}\equiv0\pmod{2\pi}\)이면 \(12\mid m\)
     • 즉 \[ \operatorname{ord}\big(\overline\Phi([e])\big) = 12 \]
   • 하한결론
     • 이제 군 준동형의 일반 성질인 아벨 군 준동형 \(f:A\to B\)와 원소 \(a\in A\)에 대해,
       \[
       \operatorname{ord}\big(f(a)\big) \mid \operatorname{ord}(a)
       \]
       이 항상 성립 (이미지의 차수는 원소 차수의 약수)
     • 여기서 \(f=\overline\Phi, a = [e]\)라 놓으면, \[ \operatorname{ord}\big(\overline\Phi([e])\big) \mid \operatorname{ord}([e]) \]
     • 왼쪽이 12이므로, \[ 12 \mid \operatorname{ord}([e]) \tag{하한} \]
3. 상한 + 하한 ⇒ \(\operatorname{ord}([e]) = 12\)
   • 앞에서 얻은 두 식을 합치면, 자연수의 나눗셈 성질상 \[ \operatorname{ord}([e]) = 12 \]

 

4. 최종 결론: \(\partial_2 Z = k e \Rightarrow 12\mid k\)

이제 임의의 2–사슬 \(Z\in C_2\)가

\[
\partial_2 Z = k e
\]

를 만족한다고 하자. 그러면 몫군 \(A\)에서 다음과 같다.

\[
0 = [\partial_2 Z] = k[e]
\]

그런데 \([e]\)의 차수가 12이므로, 정의상

\[
k[e] = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 12\mid k.
\]

따라서

\[
\boxed{
\partial_2 Z = k e \Rightarrow 12\mid k
}
\]

가 엄밀하게 따라온다.

 

---

주석1

 

보조증명 (국소 경계행렬을 이용한 엄밀한 계산)

위 상한 증명의 아이디어를 국소 경계행렬 관점에서 엄밀히 쓰면 다음과 같다.
엣지 \(e\)의 국소 스타 \(\mathrm{St}(e)\) 안에는 \(e\)를 포함하는 2–셀 6개
\[
(Q_1,Q_2,\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3,\Delta_4)
\]
가 있고, 링크 \(Lk(e)\cong C_6\)의 1–셀을
\[
(a_1,\dots,a_6)
\]
라 하자. 2–셀들을 이 순서로 열벡터 좌표 \((z_1,\dots,z_6)^T\)에 대응시키면,
국소 경계사상 \(\partial_2\)의 relevant block은 다음과 같은 \(7\times 6\) 정수 행렬로 쓸 수 있다.

• 첫 번째 행은 엣지 \(e\)에 대한 계수(모든 2–셀에 대해 \(+1\)),
• 아래 6개 행은 링크 \(C_6\)에서의 순환 차분(cyclic difference)을 나타낸다:

\[
\partial_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\tag{(*)}
\]

이제 \(Z=(z_1,\dots,z_6)^T\in\mathbb Z^6\)에 대해
\[
\partial_2 Z = (12,0,\dots,0)^T
\]
를 만족하는 정수해가 존재함을 보이자.
행렬 \((*))\에 대한 연립방정식은

• 링크 엣지들에 대한 6개의 식:
  \[
  -z_1+z_2=0,\quad -z_2+z_3=0,\quad \dots,\quad -z_6+z_1=0,
  \]
• 엣지 \(e\)에 대한 식:
  \[
  z_1+z_2+z_3+z_4+z_5+z_6 = 12
  \]
  이다.

먼저 링크 조건들로부터
\[
z_1 = z_2 = \cdots = z_6 =: t
\]
가 되어야 한다. 그러면 \(e\)-행 식은
\[
6t = 12
\]
이므로 \(t=2\)가 유일한 정수해이다. 따라서
\[
Z = (2,2,2,2,2,2)^T
\]
를 얻고, 실제로
\[
\partial_2 Z
= 
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\vdots & & & & & \vdots
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{pmatrix}
= 12 e
\]

가 된다.

따라서
\[
12e \in \operatorname{im}\partial_2,
\]
즉
\[
12[e]=0,\quad\text{그래서 }\operatorname{ord}([e])\mid 12
\]
임이 정수선형대수적으로 엄밀하게 따른다.