[v1.3] Qaether 해밀토니안

평탄 배경(민코프스키)에서 중력은 잠시 고정해 두고(ADM은 선택),  IR 통합 라그랑지안으로부터 정준 해밀토니안을 도출.

핵심은, 게이지장은 \(A_0\)가 라그랑주 승수로서 가우스 제약을 강제하고, 진공 퍼텐셜 \(V_{\rm eff}\)는 그대로 에너지 밀도(+)로 들어온다는 점이다.

 

준비 (표기·규약)

• 시그니처 (-,+,+,+).
• \(F_{0i}=\partial_0 A_i-\partial_i A_0, \quad E^i\equiv F^{i0}, \quad B^i\equiv \tfrac12\epsilon^{ijk}F_{jk}\)
• SU(2), SU(3)에서도 $$E^{a i}\equiv F^{a\,i0}, \quad B^{a i}\equiv \tfrac12\epsilon^{ijk}F^a_{jk} \quad \text{(색지수 a,A)}$$
• 로터: \(q(x)\in SU(2)\), $$D_\mu q=\partial_\mu q-i A_\mu^a \frac{\sigma^a}{2} q$$
• 라그랑지안 밀도

$$\mathcal L= \rho_s\,\mathrm{Tr}\!\big[(D_\mu q)^\dagger(D^\mu q)\big] -\frac{Z_1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\frac{Z_2}{4}F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu} -\frac{Z_s}{4}G^A_{\mu\nu}G^{A\,\mu\nu} - V_{\rm eff}$$

 

1) 정준 운동량

(a) U(1)

$$\Pi^{i}\;\equiv\;\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_0 B_i)}=Z_1\,E^{i},\qquad \Pi^{0}=0\quad(\text{1차 제약})$$

(b) SU(2)

$$\Pi^{a i}\;\equiv\;\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_0 A^a_i)}=Z_2\,E^{a i},\qquad \Pi^{a 0}=0$$

(c) SU(3)

$$\Pi^{A i}=Z_s\,E^{A i},\qquad \Pi^{A0}=0$$

(d) 로터 q

$$\Pi_q\;\equiv\;\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_0 q)}=\rho_s\,(D_0 q)^\dagger,\qquad \Pi_{q^\dagger}=\rho_s\,(D_0 q)$$

(\(q^\dagger q=\mathbb I\) 제약은 장방정식/양자화 단계에서 별도 처리 가능.)

 

2) 가우스 제약(전하 보존)

게이지 불변성으로 \(A_0\)들이 라그랑주 승수로 작동:

$$\mathcal G_{\rm U(1)}\;\equiv\;\partial_i \Pi^{i}-J^0_{(U1)}\;=\;0, \quad \mathcal G_{SU(2)}^a \;\equiv\;D_i \Pi^{a i}-J^{a0}_{\rm (rotor)}\;=\;0$$ $$J^{a\mu}_{\rm (rotor)}=i\rho_s\,\mathrm{Tr}\!\left\{\frac{\sigma^a}{2}\big[q^\dagger D^\mu q-(D^\mu q)^\dagger q\big]\right\}, \quad \mathcal G^A_{SU(3)}\;\equiv\;\mathcal D_i \Pi^{A i}-J^{A0}_{(SU3)}\;=\;0 $$

여기서 \(D_i\)와 \(\mathcal D_i\)는 각각 SU(2), SU(3) 공변미분(여기서는 adjoint).

 

3) 해밀토니안 밀도 (일반형)

다음과 같은 해밀토니안의 정의를 적용하면 $$\mathcal H=\Pi\cdot\dot\Phi-\mathcal L$$

$$\boxed{ \begin{aligned} \mathcal H &=\underbrace{\frac{1}{2Z_1}\,\Pi^{i}\Pi^{i}+\frac{Z_1}{2}\,B^{i}B^{i}}_{\text{U(1)}} +\underbrace{\frac{1}{2Z_2}\,\Pi^{a i}\Pi^{a i}+\frac{Z_2}{2}\,B^{a i}B^{a i}}_{\text{SU(2)}} +\underbrace{\frac{1}{2Z_s}\,\Pi^{A i}\Pi^{A i}+\frac{Z_s}{2}\,B^{A i}B^{A i}}_{\text{SU(3)}}\\[3pt] &\quad+\underbrace{\frac{1}{\rho_s}\,\mathrm{Tr}(\Pi_q \Pi_q^\dagger) +\rho_s\,\mathrm{Tr}\!\big[(D_i q)^\dagger(D_i q)\big]}_{\text{로터}} +\underbrace{V_{\rm eff}}_{\text{진공 에너지}} \\[4pt] &\quad+\;B_0\,\mathcal G_{\rm U(1)} +\;A_0^a\,\mathcal G^a_{SU(2)} +\;C_0^A\,\mathcal G^A_{SU(3)} \qquad (\text{제약 시행항}) \end{aligned}}$$

• 마지막 줄의 \(B_0,A_0^a,C_0^A\)는 각각의 가우스 제약을 강제하는 승수.
• \(V_{\rm eff}=Z_P\,p_0\,[1-\alpha\,\overline m]\) 는 그대로 + 로 들어와 우주상수 에너지밀도를 제공.

 

4) 템포럴 게이지(선택: \(B_0=A_0^a=C_0^A=0\))에서의 간단형

가우스 제약을 별도로 impose 하면서 해밀토니안만 간단히 쓰면

$$ \mathcal H_{\rm temp.g.}= \frac{1}{2Z_1}\Pi^2+\frac{Z_1}{2}B^2 +\frac{1}{2Z_2}\Pi^{a2}+\frac{Z_2}{2}B^{a2} +\frac{1}{2Z_s}\Pi^{A2}+\frac{Z_s}{2}B^{A2}$$ $$ +\frac{1}{\rho_s}\,\mathrm{Tr}(\Pi_q\Pi_q^\dagger) +\rho_s\,\mathrm{Tr}\!\big[(D_i q)^\dagger(D_i q)\big] +V_{\rm eff} $$

여기서 \(D_i q=\partial_i q-i A_i^a \frac{\sigma^a}{2}q\),
\(\Pi=\Pi^i, \quad B^2\equiv B^i B^i\) 등은 각 섹터별로 합을 의미.

 

5) 중력(선택): ADM 한 줄 요약

중력까지 포함한 완전 해밀토니안은 ADM 분해로

$$H_{\rm grav}=\int d^3x\;\big(N\,\mathcal H_{\rm ADM}+N^i\,\mathcal H_{i,\rm ADM}\big)+(\text{경계항})$$

형태(여기서 \(N\) 라프스, \(N^i\) 시프트).
현 단계에선 평탄 배경에서 위 \(\mathcal H\)만 쓰고, 우주론 분석 때 ADM을 부착하는 게 실용적.

 

다음으로 가우스 제약 해소 → 물리 자유도만 남긴 정준 해밀토니안 → 양자화(정준교환/모드전개) 순서로 바로 진행하자. 평탄 배경(민코프스키), 중력은 고정(ADM은 선택)이며, 표기는 앞서 통합 라그랑지안과 일치한다.

 

6) 게이지 고정과 가우스 제약 해소

6.1 공통 선택

• 템포럴 게이지: \(B_0=A_0^a=C_0^A=0\)
• 쿨롱 게이지(U(1)/SU(2)/SU(3)): $$\partial_i B_i=0,\qquad \partial_i A_i^a=0,\qquad \partial_i C_i^A=0$$ (SU(2)/SU(3)에서 진정한 게이지 고정은 FP 유령/BRST가 필요하지만, 정준 해밀토니안 전개엔 위 조건으로 충분.)

6.2 가우스 제약

라그랑주 승수로부터 (템포럴 게이지에서)

$$\partial_i\Pi^i=\rho_{U1},\qquad D_i \Pi^{a i}=\rho^a_{SU2},\qquad \mathcal D_i \Pi^{A i}=\rho^A_{SU3}$$

여기서

$$\rho^a_{SU2}=J^{a0}_{\rm rotor} = i\rho_s\,\mathrm{Tr}\!\left\{\frac{\sigma^a}{2}\big[q^\dagger D^0 q-(D^0 q)^\dagger q\big]\right\}$$

\(\rho_{U1},\rho^A_{SU3}\)는 해당 섹터의 전하밀도(물질 포함).

6.3 종・횡 분해(U(1): 완전 해법)

$$\Pi^i=\Pi_T^i+\Pi_L^i,\quad \nabla\!\cdot\!\Pi_T=0,\ \ \Pi_L^i=\partial^i\chi,\ \ -\nabla^2\chi=\rho_{U1}$$

• 쿨롱 에너지(U(1)):$$H^{\rm Coul}_{U1}=\frac{1}{2Z_1}\int d^3x\,(\nabla\chi)^2 =\frac{1}{2Z_1}\!\int\! d^3x\,d^3y\;\rho_{U1}(x)\,G(x-y)\,\rho_{U1}(y)$$\(G(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi|\mathbf r|}\)는 \(-\nabla^2 G=\delta^3\).

6.4 비가환 섹터(SU(2)/SU(3): 구조만)

비가환에서는

$$\Pi_L^{a i}=D^i\omega^a,\quad -D_i D^i\,\omega^a=\rho^a_{SU2}$$

유효 쿨롱 커널이 배경 \(A_i^a\)에 비선형으로 의존:

$$H^{\rm Coul}_{SU2}=\frac{1}{2Z_2}\!\int\! d^3x\,d^3y\;\rho^a(x)\,K^{ab}(x,y;A)\,\rho^b(y)$$

여기서

$$K^{ab}=\big[(-D\!\cdot\!\partial)^{-1}(-\nabla^2)(-D\!\cdot\!\partial)^{-1}\big]^{ab}$$

SU(3)도 동일 구조로 \(Z_2\to Z_s\), 색지수 치환. (경험상 쿨롱 게이지 QCD의 표준 결과.)

 

7) 물리 자유도 해밀토니안(제약 해소 후)

U(1):

$$\boxed{ H_{U1}=\int d^3x\left[ \frac{1}{2Z_1}\Pi_T^2+\frac{Z_1}{2}B^2\right]+H^{\rm Coul}_{U1} }$$

SU(2):

$$\boxed{ H_{SU2}=\int d^3x\left[ \frac{1}{2Z_2}\Pi_T^{a2}+\frac{Z_2}{2}B^{a2}\right]+H^{\rm Coul}_{SU2} }$$

SU(3):

$$\boxed{ H_{SU3}=\int d^3x\left[ \frac{1}{2Z_s}\Pi_T^{A2}+\frac{Z_s}{2}B^{A2}\right]+H^{\rm Coul}_{SU3} }$$

로터(비선형 \(\sigma\)모델식):

$$\boxed{ H_{\rm rotor}=\int d^3x\left[ \frac{1}{\rho_s}\,\mathrm{Tr}(\Pi_q\Pi_q^\dagger) +\rho_s\,\mathrm{Tr}\!\big[(D_i q)^\dagger(D_i q)\big]\right] }$$

진공 퍼텐셜(우주상수):

$$\boxed{H_{\rm vac}=\int d^3x\;V_{\rm eff}},\qquad V_{\rm eff}=Z_P p_0\,[1-\alpha\,\overline m]$$

따라서

$$\boxed{ H_{\rm phys}=H_{U1}+H_{SU2}+H_{SU3}+H_{\rm rotor}+H_{\rm vac}. }$$

 

8) 정준 양자화(동시각 교환관계)

8.1 게이지(횡 성분만)

투영 텐서 $$P_{ij}^T(\mathbf x)=\delta_{ij}\delta^3-\partial_i\partial_j\nabla^{-2}$$를 쓰면

$$[B_i(\mathbf x),\Pi_j(\mathbf y)]=i\,P_{ij}^T(\mathbf x-\mathbf y),\quad [A_i^a,\Pi_j^b]=i\,\delta^{ab}P_{ij}^T,\quad [C_i^A,\Pi_j^B]=i\,\delta^{AB}P_{ij}^T$$

(필드 재정규화로 \(Z\)를 흡수해도 됨: \(A\to A/\sqrt{Z}\), \(\Pi\to \sqrt{Z}\,\Pi\).)

8.2 로터 섹터

좌-불변 전류

$$L_\mu\equiv i\,q^\dagger D_\mu q\in\mathfrak{su}(2),\quad L_0=\frac{i}{\rho_s}\,q^\dagger \Pi_q,\quad L_i=i\,q^\dagger D_i q$$

등시 교환:

$$[L_0^a(\mathbf x),L_0^b(\mathbf y)] =i\epsilon^{abc}L_0^c(\mathbf x)\delta^3(\mathbf x-\mathbf y)$$ $$[L_0^a(\mathbf x),\,q(\mathbf y)] = \frac{\sigma^a}{2}\,q(\mathbf x)\,\delta^3(\mathbf x-\mathbf y)$$

및 \([L_0^a, L_i^b]\), \([L_i^a,L_j^b]\)는 표준 \(\sigma\)-모델 대수(로컬 SU(2)).

 

9) 모드 전개와 전파자(요지)

9.1 U(1) 횡 모드

정규화 \(Z_1\to1\)로 흡수했다고 치면

$$B_i^T(\mathbf x,t)=\sum_{\lambda=1,2}\!\int\!\frac{d^3k}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf k}}}\Big[ \epsilon_i^{(\lambda)}(\mathbf k)\,a_{\mathbf k\lambda}\,e^{-i\omega t+i\mathbf k\cdot\mathbf x} + \text{h.c.}\Big]$$

$$\omega_{\mathbf k}\simeq c_{\rm eff}|\mathbf k|\,[1+O(a^2k^2)]$$전파자(쿨롱 게이지):

$$D_{ij}(\omega,\mathbf k)=\frac{-i}{\omega^2-c_{\rm eff}^2 k^2+i0^+}\left(\delta_{ij}-\frac{k_i k_j}{k^2}\right)$$

9.2 비가환 횡 모드

선형화(약결합)에서 동일한 형태(색지수 \(\delta^{ab}\), \(\delta^{AB}\) 배수).
쿨롱 에너지는 비선형 커널 \(K^{ab}\)로 남아 즉시적(instantaneous) 상호작용을 제공.

 

10) 에너지 양의성·진공 이동

• 각 섹터의 \(H\)는 \(\Pi^2\)·\(B^2\)·\((D_i q)^2\) 꼴 ⇒ 양의정.
• \(V_{\rm eff}\)는 상수이므로 동역학에 영향은 없고, 총 에너지를 \(\int V_{\rm eff}\) 만큼 이동(중력과 결합하면 \(\Lambda_{\rm eff}\)로 재해석).
• 필요하면 평탄 양자화에선 \(\langle0|H|0\rangle\)의 정규정수로 흡수하고, 곡률 배경/우주론에선 그대로 유지.

 

11) BRST(선택·경로적분 준비)

완전 양자화를 경로적분으로 하려면

• 게이지 고정 함수 $$\mathcal F=\partial_i A_i^a \text{등,}$$
• FP 행렬 $$\mathcal M^{ab}=\delta \mathcal F^a/\delta \omega^b$$
• 유령 액션 $$S_{\rm gh}=\int \bar c^a\,\mathcal M^{ab}\,c^b$$
• BRST 변환 $$\delta_{\rm B} A_\mu^a=D_\mu c^a,\ \delta_{\rm B} c^a= -\tfrac12 f^{abc}c^b c^c …$$을 추가해 \(S_{\rm tot}+S_{\rm gf}+S_{\rm gh}\)로 구성하면 된다.

 

12) 바로 쓸 수 있는 최종 형태(요약)

$$ H_{\rm phys}= \int d^3x\left[ \frac{1}{2Z_1}\Pi_T^2+\frac{Z_1}{2}B^2 +\frac{1}{2Z_2}\Pi_T^{a2}+\frac{Z_2}{2}B^{a2} +\frac{1}{2Z_s}\Pi_T^{A2}+\frac{Z_s}{2}B^{A2} +\frac{1}{\rho_s}\mathrm{Tr}(\Pi_q\Pi_q^\dagger)+\rho_s\,\mathrm{Tr}[(D_i q)^\dagger(D_i q)] \right] +H_{\rm Coul}^{U1,SU2,SU3} +\int d^3x\,V_{\rm eff} $$

 

 

>> 우리가 전개한 해밀토니안 전개의 물리적 의미

 

1. 케이서(Qaether) 격자와 표준 게이지 이론의 연결

• 시작은 플랑크 길이 \(a = l_p\) 스케일의 Qaether 격자였지.
• 링크 변수–플라켓 변수를 곡률 \(F_{\mu\nu}\)로 전개하면, 장파장(IR) 한계에서 연속 Yang–Mills 라그랑지안이 복원됨을 확인했어.
• 이건 U(1) (전기력), SU(2) (약력), SU(3) (강력) 모두에 해당하고,
  로렌츠 대칭도 \(\mathcal O((l_p/\lambda)^2)\) 정확도로 회복됨.
• 결론적으로, Qaether 격자 위의 위상 변수/연결 변수는 IR에서 표준 모델 게이지 장으로 변환된다.

 

2. 유효압력 항의 중력적 해석

• Qaether 라그랑지안에는 \(V_{\rm eff}\)라는 도함수 없는 스칼라 퍼텐셜(유효압력 항)이 있음.
• 이 항을 곡률 배경으로 올리고 메트릭 변분을 하면, 스트레스-에너지 텐서가$$T_{\mu\nu}^{(\text{press})} = -V_{\rm eff}\, g_{\mu\nu}$$형태로 나와, 완전한 진공 텐서(EOS \(w=-1\))를 형성.
• 이 진공 텐서는 중력방정식에서 우주상수 항과 동일하게 작용해:$$\Lambda_{\rm eff} = \Lambda_{\rm bare} + 8\pi G\,V_{\rm eff}$$
• 즉, Qaether 내부 결합 구조가 바로 우주상수의 기원일 수 있다.

 

3. 점접촉 가정과 \(\alpha\)

• \(\alpha\) = Qaether 간 접점 면적 비율.
• 점접촉 가정 ⇒ \(\alpha \ll 1\) 자연스럽게 성립.
• \(\alpha\)가 작을수록 \(V_{\rm eff}\)가 줄어들어, 우주상수가 작아짐.
• 플랑크 밀도 대비 관측 우주상수 비율(\(\sim 10^{-123}\))을 맞추려면
  기하학적 면적비율 해석은 힘들지만,
  유효 결합분율(renormalized participation ratio)로 보면
  양자 억제·위상상쇄·희소 활성 접촉 같은 메커니즘으로 지수적으로 작아질 수 있음.

 

4. 통합 작용과 해밀토니안

• 중력 + 표준 게이지 부문 + 로터(물질) + 진공항이 모두 포함된 통합 작용 완성.
• 해밀토니안 분석을 통해:
  • 물리 자유도(횡 모드)와 제약(가우스 법칙)을 분리.
  • 쿨롱 게이지에서 장기적(instantaneous) 상호작용이 Coulomb 형태로 나타남.
  • \(V_{\rm eff}\)는 해밀토니안에 그대로 진공 에너지 밀도로 들어감.
• 양자화 구조도 설정 → 모드 전개와 전파자 도출 가능.

 

5. 물리적 의미 요약

• Qaether 이론의 IR 한계 = 표준 모델 게이지 이론 + 로렌츠 대칭 복원.
• Qaether의 미시 구조가 우주상수를 결정 → 플랑크 스케일 정보가 IR로 전달됨.
• \(\alpha\)는 미시적 접촉/결합의 희소성 또는 위상 억제를 측정하는 파라미터로, 우주상수 미세값을 설명할 핵심.
• 해밀토니안과 양자화 절차까지 갖추었기 때문에,
  이제 이론은 동역학·산란·우주론 예측 단계로 바로 확장 가능.