아인슈타인 방정식 (v0.8)

Qaether → Einstein : 전과정 일람표

단계 핵심 식·정의 요지

A. 격자 기초	1 셀 길이 = 플랑크 길이 \(l_p\)플라켓 면적 \(A_p\sim l_p^{2}\)4-D 셀 부피 \(V_{\text{cell}} = l_p^{4}\)	FCC 격자·정사각플라켓이 공간의 최소 패치
B. 국소 위상 → 결핍각	플라켓 위상합 $$S_p=\sum_{(ij)\in\ell_4}\Delta\phi_{ij}=4\pi n_p$$	정수 \(n_p\) 가 결핍 정수
C. \(n_p\) ↔ 리치 스칼라	$$2\pi n_p \sime A_p R_{\text{eff}}(p)$$
D. Regge 작용 정의	$$S_R=C_0\sum_p A_p n_p$$	\(C_0\) 아직 미정
E. 격자 → 연속 치환	$$\displaystyle\sum_p f_p \;\to\; \int \frac{d^4x}{V_{\text{cell}}}\sqrt{-g}\,f(x)$$	$$V_{\text{cell}}=l_p^{4}$$.
F. \(S_R\) 연속 극한	$$S_R \;\to\; \dfrac{C_0}{2\pi l_p^{2}} \int d^4x\sqrt{-g}\,R$$	차원 =L2/G=L^{2}/G.
G. EH 작용과 대조	$$S_{\text{EH}}=\dfrac{1}{16\pi G_{\text{eff}}}\int d^4x\sqrt{-g}\,R$$	계수 일치 ⇒ $$C_0=\dfrac{l_p^{2}}{8\,G_{\text{eff}}}$$
H. \(C_0\) 의 Qaether 표현	$$C_0=\dfrac{\tilde C_0}{l_p^{2}},\qquad \tilde C_0=f(K_0,I_0,\lambda,\dots)$$ (무차원)	예: $$\tilde C_0=\gamma_1\frac{K_0 l_p^{2}}{\hbar c}+\gamma_2\frac{I_0}{l_p^{2}}+\dots$$
I. 유효 중력 상수	$$\boxed{G_{\text{eff}}=\dfrac{l_p^{4}}{8\,\tilde C_0(K_0,I_0,\dots)}}$$	실험 G와 맞추면 \(\tilde C_0\) 고정
J. 메트릭 창발	링크 길이 $$\displaystyle \ell_{ij}=a\sqrt{1+\kappa\frac{(\Delta\phi_{ij})^{2}}{1+V_{\text{void}}/V_0}}$$	세 링크 길이로 국소 \(g_{\alpha\beta}\) (코사인 법칙) → 전역 \(g_{\mu\nu}(x)\) 보간
K. 변분 → 진공 방정식	$$\delta S_{\text{EH}}/\delta g^{\mu\nu}=0$$	$$R_{\mu\nu}-\tfrac12 R g_{\mu\nu}=0$$.
L. 물질·진공 에너지	$$S_{\text{m}}=\int\!\sqrt{-g}\,[\,\tfrac12Z_\rho(\nabla\rho)^2+\tfrac12Z_n(\nabla n)^2-V(\rho,n)]$$	위상 결함 (\(\rho,n\))의 운동·포텐셜 ⇒ \(T_{\mu\nu}\)
M. 최종 장방정식	$$\displaystyle R_{\mu\nu}-\tfrac12 R g_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}= \frac{8\pi G_{\text{eff}}}{c^{4}}\,T_{\mu\nu}$$	$$\Lambda=8\pi G_{\text{eff}}\rho_{\text{vac}}/c^{4}$$ with $$\rho_{\text{vac}}=\varepsilon_q V_{\text{void,max}}/V_{FCC}$$

 

핵심 결과

1. 결핍 정수 양자화가 곡률 스칼라 R를 생성.
2. Regge → EH 매핑에서 계수 일치:$$C_0=\frac{l_p^{2}}{8G_{\text{eff}}},\qquad G_{\text{eff}}=\frac{l_p^{4}}{8\tilde C_0(K_0,I_0,\dots)}$$
3. 링크-기반 메트릭을 변분하면 완전한 아인슈타인 방정식이 복구됨.
4. 위상 결함·진공 에너지 항을 포함하면 \(T_{\mu\nu}\)·\(\Lambda\) 도 자연히 등장.

따라서 Qaether의 위상-결합 격자 가정으로부터 (i) 동적 메트릭, (ii) 중력 상수, (iii) 우주 상수, (iv) 물질 응력-에너지까지 모두 Emergent 하며, 연속 극한에서 표준 Einstein Field Equations를 완전히 재현한다.