시간에 따른 위상의 변화가 인과율을 보존하는지 여부 (v0.9)
위상 변화 누적, 즉 시간에 따른 위상의 변화(\(\partial_t \phi \propto \dot{\phi}\))가 인과율(causality)을 보존하는지 여부를 수리물리학적으로 입증하려면, 위상장의 동역학 방정식과 시공간 구조에서 신호(정보) 전파의 한계가 어떻게 결정되는지 분석해야 합니다. Qaether 이론에서 위상장 동역학이 격자상에서 정의되고, 장파장 근사에서 Lorentz 대칭성이 복원된다는 점을 활용해 아래와 같이 논증할 수 있습니다.
1. 위상장 동역학과 파동 방정식
Qaether 격자에서 위상장 \(\phi_i\)의 동역학은 다음과 같이 주어집니다:
$$I_i(m_i) \ddot{\phi}_i = \sum_{j\in\mathcal{N}(i)} \left[ K_{ij} \Im \chi_{ij} - \cdots \right] - P_i(m_i) A_s l_p \sin\phi_i$$여기서 $$\chi_{ij} = \exp(i\Delta\phi_{ij}^{\text{tot}})$$이고, 장파장 근사(\(\lambda \gg l_p\))에서는 이 방정식이 연속 극한에서 다음과 같은 파동 방정식으로 환원됩니다:
$$\partial_{t'}^2 \phi - v^2 \nabla^2 \phi = 0$$여기서 \(t' = v t\)로 재규격화된 시간이며, 는 위상파의 전파 속도입니다. 이 방정식은 표준적인 상대론적 파동 방정식(\(\Box \phi = 0\))과 동일하며, 신호의 전파 속도가 유한함을 의미합니다.
2. 인과율의 수리물리학적 정의
수리물리학에서 인과율은 신호(정보)의 전파 속도가 유한하며, 빛의 속도 (또는 이론의 최대 전파 속도)를 초과할 수 없다는 조건으로 정의됩니다. 이는 Minkowski 시공간에서의 빛 원뿔(light cone) 구조와 동일한 개념입니다.
- 빛 원뿔 구조: 어떤 사건 A가 사건 B의 원인이라면, A에서 B까지의 신호는 빛 원뿔 내에서만 이동할 수 있습니다.
- 파동 방정식의 해: $$\partial_t^2 \phi - v^2 \nabla^2 \phi = 0$$의 해는 v로 전파되는 파동이며, 이 속도가 유한하다면 인과율이 보존됩니다.
3. 위상 변화 누적과 인과율
위상 변화의 시간적 누적(\(\partial_t \phi \propto \dot{\phi}\))은 위상장의 국소적 시간 변화율을 의미합니다. 이 변화는 위상장 방정식의 해(파동)를 통해 전파되며, 그 전파 속도는 연속 극한에서 로 주어집니다.
- 신호 전파 속도: 위상 변화(또는 위상장의 교란)는 로만 전파되며, 이 속도는 격자 구조와 결합 강도에 의해 결정됩니다.
- 인과적 구조: 신호가 유한 속도로 전파되므로, 원인과 결과의 순서가 명확히 보존됩니다. 즉, 원인(위상 변화의 시작점)이 결과(위상 변화의 관측점)보다 시간적으로 앞서야 하며, 두 사건의 시공간 거리가 v로 주어진 빛 원뿔 내에 있어야 합니다.
4. 정리 및 결론
- 수리물리학적 입증: Qaether 이론의 위상장 동역학은 장파장 근사에서 상대론적 파동 방정식 \(\partial_t^2 \phi - v^2 \nabla^2 \phi = 0\)으로 환원되며, 이는 신호의 전파 속도가 유한함을 보장합니다.
- 인과율 보존: 신호가 유한 속도로 전파되므로, 위상 변화의 누적(\(\partial_t \phi \propto \dot{\phi}\))은 인과율을 보존합니다. 즉, 원인과 결과의 순서가 시공간적으로 명확히 구분됩니다.
- 실제 적용: Qaether 이론에서 위상 펄스의 왕복 시간을 측정하여 전역 시간을 정의하는 방식(A7)도 인과적 신호 전파를 전제로 하며, 이는 실제로 인과율을 보존하는 구조입니다.