[v0.1] Lattice Phases: 2D Closure to 3D Flatness
[문제1]
정사각형 플라켓의 네 변에 위상차 (\(a,b,c,d\))가 배정되어 있다고 하자. 다음을 가정한다.
1. 위상차는 \((-\pi,\pi]\) 범위에 있고, **최소 단위가 \(\pi/6\)** 로 양자화되어 있다.
2. 네 값은 서로 달라 엄밀히 **오름차순** \((a<b<c<d)\) 이다.
3. 닫힘 조건: \(a+b+c+d\equiv 0\pmod{2\pi}\).
이때 가능한 모든 \((a,b,c,d)\)를 구하라.
[해답]
편의를 위해 \(a=k_1\frac{\pi}{6},,b=k_2\frac{\pi}{6},,c=k_3\frac{\pi}{6},,d=k_4\frac{\pi}{6}\) 로 두고
\[
k_i\in{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},\quad k_1<k_2<k_3<k_4
\]
라고 하자. 닫힘 조건 \(a+b+c+d\equiv 0\pmod{2\pi}\)는
\[
k_1+k_2+k_3+k_4\equiv 0\pmod{12}
\]
로 바뀐다. 가능한 합의 범위를 보면 \([-14,18]\)이므로 실제로는 합이 \(-12,0,12\)인 경우만 남는다.
결론만 깔끔히 나열하면, 가능한 모든 \((k_1,k_2,k_3,k_4)\) (따라서 \((a,b,c,d)=\frac{\pi}{6}(k_1,k_2,k_3,k_4)\)) 는 아래 42개다.
- 합이 (-12)인 경우 (2개)
- \((-5,-4,-3,0)\)
- \((-5,-4,-2,-1\))
- 합이 (0)인 경우 (31개)
- \((-5,-4,3,6),(-5,-4,4,5)\)
- \((-5,-3,2,6),(-5,-3,3,5)\)
- \((-5,-2,1,6),(-5,-2,2,5),(-5,-2,3,4)\)
- \((-5,-1,0,6),(-5,-1,1,5),(-5,-1,2,4)\)
- \((-5,0,1,4),(-5,0,2,3)\)
- \((-4,-3,1,6),(-4,-3,2,5),(-4,-3,3,4)\)
- \((-4,-2,0,6),(-4,-2,1,5),(-4,-2,2,4)\)
- \((-4,-1,0,5),(-4,-1,1,4),(-4,-1,2,3)\)
- \((-4,0,1,3)\)
- \((-3,-2,-1,6),(-3,-2,0,5),(-3,-2,1,4),(-3,-2,2,3)\)
- \((-3,-1,0,4),(-3,-1,1,3)\)
- \((-3,0,1,2)\)
- \((-2,-1,0,3),(-2,-1,1,2)\)
- 합이 (12)인 경우 (9개)
- \((-3,4,5,6)\)
- \((-2,3,5,6)\)
- \((-1,2,5,6),(-1,3,4,6)\)
- \((0,1,5,6),(0,2,4,6),(0,3,4,5)\)
- \((1,2,3,6),(1,2,4,5)\)
여기서 각 해는 \((a,b,c,d)=\frac{\pi}{6}(k_1,k_2,k_3,k_4)\) 로 환산하면 된다.
예: \((-5,-1,2,4)\Rightarrow (a,b,c,d)=\left(-\tfrac{5\pi}{6},-\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}\right)\).
총 42가지, 전부 서로 다른 오름차순 네 값이며 \((-\pi,\pi]\) 범위와 닫힘 조건을 만족한다.
[문제2]
정사각형 플라켓의 네 변에 위상차 (\(a,b,c,d\))가 배정되어 있다고 하자. 다음을 가정한다.
- 위상차는 ((-\pi,\pi]) 범위에 있고, 최소 단위가 \(\pi/6\) 로 양자화되어 있다.
- 네 값은 서로 달라 엄밀히 오름차순 (\(a<b<c<d\)) 이다.
- 닫힘 조건: \(a+b+c+d\equiv 0\pmod{2\pi}\).
이때 가능한 모든 (\(a,b,c,d\))를 구하라.
[해답]
- 한 사각 루프(플라켓)의 네 변 위상 ( \(a,b,c,d\) )는 \((-\pi,\pi]\)에 있고, \(\pi/6\) 단위로 양자화.
정수표기로 \(K={k_1,k_2,k_3,k_4}\subset{-5,\dots,6},\ k_1<k_2<k_3<k_4\). - 각 사각 루프는 닫힘 조건: \(k_1+k_2+k_3+k_4\equiv 0\pmod{12}\).
- 정팔면체의 XY·YZ·ZX 세 평면에 같은 4-집합 \(K\)를 놓되, 각 평면에서는 \(K\)의 순환/반전(순열)으로 배치 가능.
- 정팔면체의 8개 삼각 루프 합이 모두 \(0\pmod{2\pi}\) (정수로 \(0\pmod{12}\))가 되게 할 수 있는 \(K\)를 분류.
핵심 정리(필요충분)
\[
\boxed{\text{가능 }\iff\ 0\in K\ \ \text{(그리고 물론 }k_1{+}k_2{+}k_3{+}k_4\equiv0\pmod{12}\text{).}}
\]
증명
0. 기호
세 평면을 행으로, 네 개 “열”을 삼각면을 이루는 세 링크의 묶음으로 본다. 열 (j)의 세 수 합을 (T_j)라 하자.
1. 열합은 (-12,0,12)만 가능
한 열은 세 칸의 합. 각 칸은 \([-5,6]\)이므로 합 범위 \([-15,18]\).
삼각면 닫힘이 \(T_j\equiv0\pmod{12}\)이므로
\[
T_j\in{-12,0,12}\quad(j=1,2,3,4).
\]
또
\[
\sum_{j=1}^4T_j=3\sum_{i=1}^4k_i\in \{-36,0,36\}.
\]
(사각 루프 닫힘으로 \(\sum k_i\in\{-12,0,12\}\).)
2. 충분성( \(0\in K\Rightarrow\) 항상 가능 )
\(K={0,x,y,z}\)라 하고 \(x+y+z\equiv 0\pmod{12}\). 다음처럼 놓는다:
\[
\mathrm{XY}:[0,x,y,z],\quad
\mathrm{YZ}:[0,y,z,x],\quad
\mathrm{ZX}:[0,z,x,y].
\]
네 열 합은 \(T=(0,,x{+}y{+}z,,x{+}y{+}z,,x{+}y{+}z)\equiv(0,0,0,0)\).
즉 8개 삼각면 모두 \(0\pmod{2\pi}\). (원하면 한 행을 반전해 \((n_{-12},n_0,n_{12})\) 분포를 바꿔도 성립.)
3. 필요성( \(0\notin K\Rightarrow\) 불가능 )
세 행은 모두 \(K\)의 순열이므로, \(K\)의 각 원소는 정확히 3번 쓰인다.
- 보조정리 A(6이 있는 열의 강제 쌍):
\(6\in K\)라면 \(6\)이 들어간 열의 합이 (-12,0,12)가 되려면 남은 두 수 합이 (-18,-6,6).
범위 제약으로 가능한 쌍은
\[
(-5,-1),\ (-4,-2),\ (1,5),\ (2,4)
\]
뿐이다. 즉 6을 담은 세 개의 열에는 위 네 쌍 중 \(K\)에 실제로 존재하는 쌍만을 붙여야 한다. - 정렬 모순:
\(0\notin K\)이면, (i) \(6\notin K\)인 경우 큰 절댓값을 쓰며 \(\pm12\)를 내는 열이 최소 2개 필요하고(총합 제약), 세 행이 같은 4-집합의 순열이라는 제약과 충돌하여 남는 열이 \(\pm6,\pm9\)류로 깨진다.
(ii) \(6\in K\)인 경우, 6이 들어간 세 열을 보조정리 A의 한정된 쌍으로 동시에 구성해야 한다. 쌍이 하나뿐이면(예: \(K=\{6,1,2,5\}\) → (\(1,5\))만 가능) 세 행에서 1과 5가 같은 세 위치에 고정되고 남는 한 열이 (6+)동일수×2 꼴로 \(0\pmod{12}\)가 되지 않는다. 쌍이 둘이어도 각 원소는 3회뿐이라 사용량이 강제되어, 마지막 열이 다시 \(\pm6,\pm9\)류로 깨진다.
→ 어떤 경우에도 네 열 모두 \(0\pmod{12}\)로 맞출 수 없다.
따라서 \(0\notin K\)는 모순. 필요성 완료.
대표 4-집합(동치류) 목록
한 사각 루프의 네 변이 오름차순 \(k_1<k_2<k_3<k_4\)이고 \(\sum k_i\equiv0\pmod{12}\)를 만족하는 경우들 중, 가능한 것은 “\(0\in K\)”인 경우만이다. 정수표기 대표 4-집합은 다음 14개(이전 분류에서 \(0\)을 포함하는 것만 추린 것):
- 합이 0인 조합
- \(\{-5,-4,-3,0\}\)
- \(\{-5,-1,0,6\}\)
- \(\{-5,0,1,4\}\)
- \(\{-5,0,2,3\}\)
- \(\{-4,-2,0,6\}\)
- \(\{-4,-1,0,5\}\)
- \(\{-4,0,1,3\}\)
- \(\{-3,-2,0,5\}\)
- \(\{-3,-1,0,4\}\)
- \(\{-3,0,1,2\}\)
- \(\{-2,-1,0,3\}\)
- 합이 12인 조합
- \(\{0,1,5,6\}\)
- \(\{0,2,4,6\}\)
- \(\{0,3,4,5\}\)
(위 \(k\)-집합에 \(\frac{\pi}{6}\)를 곱하면 실제 위상 (\(a,b,c,d\)). 순환/반전은 같은 동치류로 본다.)
실제 배치법(구성 알고리즘)
- 입력: 위 14개 중 하나 \(K=\{0,x,y,z\}\) (정렬은 자유).
- 출력: 세 평면의 순환열(한 예)
\[
\mathrm{XY}:[0,x,y,z],\quad
\mathrm{YZ}:[0,y,z,x],\quad
\mathrm{ZX}:[0,z,x,y].
\] - 검증: 각 열 합 \(T=(0,,x{+}y{+}z,,x{+}y{+}z,,x{+}y{+}z)\equiv(0,0,0,0)\pmod{12}\).
→ 정팔면체의 8개 삼각 루프 합이 전부 \(0\pmod{2\pi}\).
메모(틀 검산 포인트)
- 열합 값군 \(\{-12,0,12\}\), 총합 \(\{-36,0,36\}\): 범위+모듈러에서 바로 나온다.
- 필요성 쪽의 “6-짝” 강제(보조정리 A)와 “남는 한 열”의 모듈러 붕괴가 핵심 결절점.
이 두 곳만 조이면 반례가 빠져나갈 구멍이 없다.