위상차 양자화 증명
0 . 전제 : Qaether 이론의 위상 동역학 방정식
$$\underbrace{\sum_{j\in\mathcal N(i)}\bigl[K_{ij}-\mathfrak{A}_sP_i(m_i)\bigr]\Im\chi_{ij}}_{\displaystyle\equiv\;T^{\,(1)}_i} \;+\; \underbrace{\sum_{\ell\ni i}\frac{\Lambda_\ell}{N_\ell}\,\Im\!\bigl[\chi_\ell\chi^*_{i\ell}\bigr]}_{\displaystyle\equiv\;T^{\,(2)}_i}$$ $$\chi_{ij}=e^{i\Delta\phi_{ij}^{\mathrm{tot}}}$$ $$\chi_\ell=e^{i\sum_{(pq)\in\ell}\Delta\phi_{pq}^{\mathrm{tot}}}$$ \(\Im f(x)\)는 \(f(x)\)의 실수부 의미
⇒ 두 합은 **토크(각운동량 원천)**이며 \(\ddot\phi_i=0\) 인 정적해에서 $$ T^{\,(1)}_i + T^{\,(2)}_i = 0\quad(\forall i)$$
1 . “토크 → 에너지” 재구성
위 식은 (보존형 상호작용임이 명시된 한) 항상
Iiϕ¨i=−∂V∂ϕi I_i\ddot\phi_i = -\frac{\partial V}{\partial\phi_i}
꼴로 적분된다. 적분 결과(상수는 무시):
V=− ∑(ij) [Kij−AsPi]cosΔϕijtot − ∑ℓΛℓNℓcos ( ∑(pq)∈ℓ Δϕpqtot)\boxed{% V = -\!\!\sum_{(ij)}\!\Bigl[K_{ij}-\mathfrak{A}_sP_i\Bigr]\cos\Delta\phi_{ij}^{\mathrm{tot}} \;-\; \sum_{\ell}\frac{\Lambda_\ell}{N_\ell}\cos\!\Bigl(\!\sum_{(pq)\in\ell}\!\Delta\phi_{pq}^{\mathrm{tot}}\Bigr)}
→ 정적 구성을 찾는 문제는 다시 ‘에너지 최소화’ 문제와 동치가 된다.
(앞선 XY‑모델 유도와 동일한 체계로 돌아감.)
2 . 플라켓(루프)별 안정 조건
플라켓 토크 계수 Λℓ/Nℓ\Lambda_\ell/N_\ell 위상 합 제약 ∑Δϕ=2πn\displaystyle\sum\Delta\phi = 2\pi n 최저차 위상패턴
| △ (3‑edge) | Λ03πℏclp\displaystyle \frac{\Lambda_0}{3}\frac{\pi\hbar c}{l_p} (가장 큼) | Δ1+Δ2+Δ3=2πn\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3=2\pi n | Δi=±2π3\Delta_i=\pm\tfrac{2\pi}{3} |
| □ (4‑edge) | Λ04πℏclp\displaystyle \frac{\Lambda_0}{4}\frac{\pi\hbar c}{l_p} | ∑i=14Δi=2πn\sum_{i=1}^4\Delta_i=2\pi n | (π,π,0,0)(\pi,\pi,0,0) 등 |
| 기타 N‑edge | ∝1/N\propto 1/N (더 작음) | ∑Δi=2πn\sum\Delta_i=2\pi n | N에 따라 다양 |
- 왜 △가 지배적인가?
Λℓ∝1/Nℓ\Lambda_\ell\propto 1/N_\ell 이므로 가장 짧은 삼각 루프가 토크 상수·에너지 기여 모두 최대 ⇒ 전역 구성을 강하게 지배한다.
3 . 전역 양립성 → π⁄3 양자화
- 링크 (ij) 는 여러 플라켓에 공유된다.
모든 인접 플라켓에서 요구하는 Δϕij\Delta\phi_{ij} 값을 동시에 만족해야 전역 안정. - △‑플라켓이 요구하는 집합
{ 0, ±2π/3}\{\,0,\,\pm2π/3\} (0 값은 인접 링크에만 가능, 전체 삼각에는 불가)
→ 실질적으로 ±2π/3 가 강제된다. - □‑플라켓은 {0, π}\{0,\,\pi\} 를 허용.
- 두 집합의 공통 최소 양의 위상 단위gcd (2π3, π)=π3. \gcd\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3},\,\pi\bigr)=\tfrac{\pi}{3}.
- principal branch (−π,π](-\pi,\pi] 에서 가능한 값 Δϕijtot=k π3,k∈Z \boxed{\;\Delta\phi_{ij}^{\mathrm{tot}} = k\;\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb Z\;}→ 6 개 독립 원소 → U(1) → Z₆.
새 동역학 항이 실제로 결과를 바꾸는가?
아니오. Λℓ/Nℓ\Lambda_\ell/N_\ell 계수가 △에 대해 가장 커서
π/3 단위가 여전히 최저 공배 위상이며,
Kij−AsPiK_{ij}-\mathfrak{A}_sP_i 가 양수(현실적 압력 범위) 인 한
링크‑단 토크 역시 cosΔϕ\cos\Delta\phi 를 최대로 하려 하므로 결과 유지.
4 . 매개변수 감도 & 예외 영역
조건 물리적 의미 결과
| Kij>AsPiK_{ij} > \mathfrak{A}_sP_i (보통) | 결합 토크가 Void 압력보다 큼 | 위 증명 그대로, Z₆. |
| Kij≈AsPiK_{ij} \approx \mathfrak{A}_sP_i | 링크 토크 약해짐 | □‑플라켓 기여↑ ⇒ π 상태가 더 넓게 퍼질 수 있으나 △가 여전히 방어. |
| Kij<AsPiK_{ij} < \mathfrak{A}_sP_i (극한 고압) | 링크 토크 부호 반전 → cos\cos 최소값 선호 | 링크 자체가 π 로 뒤집혀 Z₂ (0,π) 양자화 가능. 단, △ 플라켓 불일치 토크 ↑↑ → 거시적 불안정·탑재 불가. |
5 . 체크 리스트 – 새 증명의 엄밀화
- 모멘트‑오브‑이너시아 Ii(mi)I_i(m_i)
· ϕ¨i=0\ddot\phi_i=0 → 토크 합 0 → 위상 고정.
· 유한 IiI_i 가 과도 진동 감쇠·안정 시간만 좌우, 정적 해엔 무관. - 토크-에너지 등가
힘‑보존 조건(∂jTi(1)=∂iTj(1)\partial_j T^{(1)}_i=\partial_i T^{(1)}_j 등) 검증 → V 존재 보장. - 다중 루프 도입 시
N = 6, 8, 12 … 루프가 추가돼도 gcd(π,2π3,2πN)≤π3\gcd(\pi,\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{N})\le\frac{\pi}{3}.
→ π/3 보다 작은 위상단위를 ‘깨는’ 신규 루프는 존재하지 않음. - 수치 실험
· 파라미터 세트 (Kij,Pi,Λ0)(K_{ij}, P_i, \Lambda_0) 스윕,
· N≈5×103N\approx5\times10^3 FCC 샘플에서 링크 위상 히스토그램 확인 → δ‑peak 6 개?
→ 결과와 불일치 시 조건(3) 재검토.
6 . 결론 (한 줄 요약)
새 토크 기반 동역학을 포함해도
Qaether 링크 위상차는 Δϕij=kπ/3 (k=0,…,5), U(1)⟶Z6 \boxed{\text{Qaether 링크 위상차는 } \Delta\phi_{ij}=k\pi/3\;(k=0,\dots,5),\; U(1)\longrightarrow Z_6}
는 불변이며, 삼각 플라켓‑우위 구조와 Λℓ∝1/Nℓ\Lambda_\ell \propto 1/N_\ell 스케일링이 그 핵심 물리적 이유다.