[v2.1] Qaether에서의 admissible phase configuration space의 정의

본 연구의 기본 대상은, $1$-skeleton이 FCC 최근접 이웃 그래프에 실현되고, 그 elementary cycle들을 경계로 하는 triangular $2$-cell 및 square $2$-cell이 부착된 $2$-dimensional cellular complex $K$이다. 또한 $K$에는 geometric realization과 국소 bonding 정보를 기록하는 geometric data $\mathcal G$가 주어져 있다고 가정한다.

$K$의 $2$-cell들의 집합은
$$
K_2=T\sqcup Q
$$
로 분해되며, 여기서 $T$는 triangular $2$-cell들의 집합이고 $Q$는 square $2$-cell들의 집합이다.

이하에서는 각 $1$-cell에 기준 방향(reference orientation)을 하나씩 고정하고, 각 $2$-cell에도 orientation을 하나씩 고정한다. $E^{\mathrm{or}}(K)$를 $K$의 oriented $1$-cell들의 집합이라 하며, oriented edge $\vec e\in E^{\mathrm{or}}(K)$에 대하여 $\bar e$는 그 반대 방향을 갖는 oriented edge를 뜻한다고 하자. 계수군은 가법 표기를 사용하는
$$
G:=\mathbb R/2\pi\mathbb Z
$$
로 둔다.

이때 edge phase configuration의 전체 공간을
$$
\mathcal A_{\mathrm{raw}}(K)
:=
\{
\phi:E^{\mathrm{or}}(K)\to G \;| \; \phi(\bar e)=-\phi(\vec e)\ \text{for all }\vec e\in E^{\mathrm{or}}(K)
\}
$$
로 정의한다. 각 $1$-cell의 기준 방향을 고정하였으므로, $\mathcal A_{\mathrm{raw}}(K)$는 표준적인 cellular cochain space $C^1(K;G)$와 자연스럽게 동일시된다.

각 $\phi\in \mathcal A_{\mathrm{raw}}(K)$에 대하여, 그 curvature를 $d\phi\in C^2(K;G)$로 정의한다. 구체적으로, oriented $2$-cell $f\in K_2$의 oriented boundary를 그 orientation이 유도하는 cyclic order에 따라
$$
\partial^{\mathrm{or}}f=(\vec e_1,\dots,\vec e_m)
$$
로 쓴다. 여기서 $f\in T$이면 $m=3$이고, $f\in Q$이면 $m=4$이다. 이때
$$
(d\phi)(f):=\sum_{j=1}^m \phi(\vec e_j)\in G
$$
로 둔다. 위의 자연스러운 동일시 아래 이 연산은 usual cellular coboundary와 일치한다.

필요하면 이에 대응하는 $U(1)$-값 holonomy를
$$
\operatorname{Hol}_{\phi}(f):=\exp\bigl(i(d\phi)(f)\bigr)\in U(1)
$$
로 둘 수 있다. 특히 $(d\phi)(f)=0$은 $\operatorname{Hol}_{\phi}(f)=1$과 동치이며, 이를 해당 $2$-cell $f$에서의 closure condition이 성립한다고 해석한다.

이제 geometric data $\mathcal G$에 의해 선택된 octahedral bonded subconfiguration들의 집합을
$$
\mathrm{Oct}=\mathrm{Oct}(K,\mathcal G),
$$
tetrahedral bonded subconfiguration들의 집합을
$$
\mathrm{Tet}=\mathrm{Tet}(K,\mathcal G)
$$
라 하자. 각 $o\in\mathrm{Oct}$에 대하여, 해당 octahedral bonding에 연관된 triangular 및 square $2$-cell들의 집합을
$$
F_{\mathrm{Oct}}(o)\subset K_2
$$
로 둔다. 또한 각 $t\in\mathrm{Tet}$에 대하여, 해당 tetrahedral bonding에 연관된 triangular $2$-cell들의 집합을
$$
F_{\mathrm{Tet}}(t)\subset T
$$
로 둔다.

이때 bonded face들의 집합을
$$
B(K,\mathcal G):=
\Bigl(\bigcup_{o\in\mathrm{Oct}}F_{\mathrm{Oct}}(o)\Bigr)
\cup
\Bigl(\bigcup_{t\in\mathrm{Tet}}F_{\mathrm{Tet}}(t)\Bigr)
$$
로 정의한다.

이제 admissible configuration space를
$$
\mathcal A_{\mathrm{adm}}(K,\mathcal G)
:=
\{
\phi\in \mathcal A_{\mathrm{raw}}(K)
\;|\;
(d\phi)(f)=0\ \text{for every }f\in B(K,\mathcal G)
\}
$$
로 정의한다. 즉, octahedral bonding을 이루는 모든 triangular face 및 square face, 그리고 tetrahedral bonding을 이루는 모든 triangular face에서는 반드시 closure가 성립해야 한다. 반면, 이러한 bonded subconfiguration에 속하지 않는 face들에 대해서는 별도의 closure 조건을 부과하지 않는다.

마지막으로, 전역적으로 flat한 configuration들의 부분군을
$$
\mathcal A_0(K)
:=
\{
\phi\in \mathcal A_{\mathrm{raw}}(K)
\;|\;
(d\phi)(f)=0\ \text{for all }f\in K_2
\}
$$
로 둔다. 그러면 자명하게
$$
\mathcal A_0(K)\subset \mathcal A_{\mathrm{adm}}(K,\mathcal G)\subset \mathcal A_{\mathrm{raw}}(K)
$$
가 성립한다.