맥스웰방정식 유도 (v0.8)

U(1) 위상 결합 모델에서 시작하여 장파장·저에너지 극한에서 어떻게 Maxwell 방정식이 유도되는지 단계별로 보여드리겠습니다.

 

1. 이산 U(1) 게이지 변수 정의

1. 위상장과 연결형 변수
   • 각 셀 i 에 위상 \(\phi_i(t)\) 를 할당하고, 인접 링크 \((i,j)\) 위에는 전자기 포텐셜의 이산 버전 \(A_{ij}(t)\) 를 도입합니다.
   • 게이지 공변 위상차는\(\Delta\phi^{\rm tot}_{ij} = (\phi_j - \phi_i) \;-\; q_e\,A_{ij}\)로 정의합니다. 여기서 \(q_e\) 는 기본 전하 단위입니다.
2. 이산 전계·자계 정의
   • 링크 전위차 \(\Delta\phi_{ij}\) 에 대응하는 전기장 성분:$$E_{ij} \;\propto\; -\frac{d}{dt}\bigl(\Delta\phi^{\rm tot}_{ij}\bigr) = -\bigl(\dot\phi_j - \dot\phi_i - q_e\,\dot A_{ij}\bigr)$$
   • 사각형 플라켓 \(\ell_4\) 에 걸친 순환 위상차(게이지 곡률)는$$\sum_{(ij)\in\ell_4}\Delta\phi^{\rm tot}_{ij} = -q_e \sum_{(ij)\in\ell_4} A_{ij} \;\equiv\; -q_e\,\Phi_{\ell_4}$$여기서 \(\Phi_{\ell_4}\) 는 격자의 이산 자속(자기플럭스)입니다.

 

2. 이산 방정식에서 연속체로

2.1. Gauss 법칙 (정전기 방정식)

격자의 각 셀 i 에 대해 국소 Gauss 법칙:

$$\sum_{j\in\mathcal N(i)} E_{ij} = \rho_i$$

\(\rho_i\) 는 셀 i 의 전하 밀도.
장파장 극한(\(a\to0\))에서,

$$\nabla\cdot\mathbf E(\mathbf x_i) = \rho(\mathbf x_i)$$

즉

$$\nabla\cdot\mathbf E = \rho$$

2.2. Faraday 법칙 (자기 유도)

사각형 플라켓에서 위상 순환의 시간 변화:

$$\frac{d}{dt}\Bigl(\sum_{\ell_4}\Delta\phi^{\rm tot}_{ij}\Bigr) = -q_e\,\frac{d}{dt}\Phi_{\ell_4} \;\longrightarrow\; \nabla\times \mathbf E = -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}$$

2.3. Ampère–Maxwell 법칙

위상 동역학 방정식 (A9)을 U(1) 부분만 취하면,

$$I\,\ddot\phi_i = K_0\sum_{j}\sin\bigl(\Delta\phi^{\rm tot}_{ij}\bigr) \;\approx\; K_0\sum_j\Delta\phi^{\rm tot}_{ij}$$

여기서 링크별 위상차는 포텐셜 \(A_{ij}\) 와 연결되므로, 연속체로

$$\epsilon_0\,\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf B - \mathbf J$$

꼴로 재정리됩니다.

2.4. 자기 단극 부재 (No‐monopoles)

사각형 플라켓의 순환 위상차 합이 위상 양자화 조건을 만족하므로(총합 \(= 2\pi n\)), 장파장에서는

$$\nabla\cdot\mathbf B = 0$$

 

3. 최종 Maxwell 방정식

이상 네 개를 모으면, 연속체 극한에서

$$\boxed{ \begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf E &= \rho,\\ \nabla\cdot\mathbf B &= 0,\\ \nabla\times\mathbf E &=-\frac{\partial \mathbf B}{\partial t},\\ \nabla\times\mathbf B &= \mu_0\mathbf J + \mu_0\epsilon_0\,\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}. \end{aligned} }$$

이로써 Qaether 위상 모델에서 출발한 이산 전자기 동역학이 장파장·저에너지 극한에서 Maxwell 방정식을 완전히 재현함을 확인할 수 있습니다.

 

추가가: 파동 방정식

무전하·무전류 영역(\(\rho=0,\;J=0\))에서

$$\nabla\times(\nabla\times \mathbf E) =\nabla(\nabla\cdot \mathbf E)-\nabla^2\mathbf E =-\nabla^2\mathbf E$$

와 Faraday 법칙을 합치면

$$\nabla^2\mathbf E =\mu_0\epsilon_0\,\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}$$

즉 광속 \(c=(\mu_0\epsilon_0)^{-1/2}\) 로 전자기파가 전파됩니다.