[v1.2] 로렌츠 대칭성 회복
Qaether 해밀토니안이 격자 눈금 \(a\sim l_p\) 보다 훨씬 긴 파장( \(k a\ll1\) )·저에너지( \(E\ll\hbar c/l_p\) ) 한계에서 어떻게 로렌츠 대칭(Minkowski \(SO(3,1)\))을 스스로 복원하는지 단계별로 보인다. 핵심 아이디어는
- 격자 도함수의 연속 확장
- 유효 작용의 재규격화 인자 흡수
- 비(非)로렌츠 항의 RG-irrelevant(고차) 억압
로 정리된다. 과정마다 표준 격자 QCD·스핀계에서의 “연속 극한”과 평행선을 제시한다.
1. 격자 공변 도함수의 장파장 전개
격자점 \(x=i\,a\)에서
$$\nabla_\mu\mathbf{q}(x)\;=\;\frac{\mathbf{q}(x+a\hat\mu)-\mathbf{q}(x)}{a} \;=\;\partial_\mu\mathbf{q}(x)\;+\;\tfrac{a^2}{6}\,\partial_\mu^3\mathbf{q}(x)+\cdots$$
이고 \(a=l_p\to0\) 극한에서는 1차 미분만 남는다. 따라서
$$\mathcal{L}_{\text{Kinetic}} \;=\;-\frac{\hbar c}{4l_p}\sum_{\mu=0}^3\!{\rm Tr}[(\nabla_\mu\mathbf{q})^2] \;\xrightarrow[a\to0]{}\; -\frac{Z_q}{2}\,\partial_\mu\mathbf{q}\,\partial^\mu\mathbf{q}$$
여기서
\(Z_q=\smash{\hbar c a/(2l_p)}\to1\) (파동함수 재규격화로 흡수)이다.
시간·공간 미분이 같은 계수로 묶였기 때문에 이미 O(\(a^0\)) 수준에서 등방적(유클리드 \(O(4)\))이며 Wick 회전을 거치면 로렌츠 \(SO(3,1)\) 구조를 얻는다.
유사점
- Kogut–Susskind 격자 QCD도 \(a\to0\)에서 \(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)만 남고, \(O(a^2)\) 루프들이 사라지며 회복되는 \(O(4)→SO(3,1)\) 패턴이 동일하다.
2. 게이지·페르미온 부문의 등방화
2-1. 게이지 플라켓
플라켓 위상 \(\Phi_\Box\)는
$$\cos\Phi_\Box \;=\; 1 - \tfrac12 a^4 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + O(a^6), \quad E_{ij}^2 = a^2E_\mu^2 + O(a^4)$$
따라서
$$\mathcal{L}_{\text{Gauge}} \;\xrightarrow[a\to0]{}\; -\tfrac14\,Z_A\,F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$
\(Z_A\) 역시 재규격화 상수로 흡수 가능. 방향마다 같은 결합 \(\beta_E,\beta_W,\beta_S\)를 썼으므로 모든 게이지 방향의 빛(글루온) 속력이 동일해진다.
2-2. Wilson 페르미온
Wilson hopping term은
$$\bar\psi(x)\gamma^\mu\frac{\psi(x+a\hat\mu)-\psi(x)}{2a} \;=\;\bar\psi\,\gamma^\mu\partial_\mu\psi\;+\;O(a^2)$$
Wilson-r 보정( \(r\bar\psi\Delta\psi\) )은 \(O(a)\)임으로 저에너지에서 사라지고,
$$\mathcal{L}_{\text{Fermion}}\;\to\; \bar\psi\bigl(i\not\!D-M_f\bigr)\psi$$
완전히 로렌츠 불변인 Dirac 작용이 남는다.
3. 중력/질량 퍼텐셜과 국소 고유시간 인자
질량·압력 퍼텐셜
$$V_G = p_0(1-\alpha m)\sin\bigl(\tfrac{\phi}{2}\bigr)$$
은 스칼라이므로 원래부터 로렌츠 스칼라였다. 다만 작용의 시간적분에 들어가는
$$d\tau = t_p\sqrt{1-\tfrac{|\nabla\mathbf{q}|^2}{\Omega_0^2}}$$
에서 홀로 남은 미소 비등방성은 \(|\nabla\mathbf{q}|\propto ka\ll\Omega_0\) 조건하에,
$$\sqrt{1-\tfrac{|\nabla\mathbf{q}|^2}{\Omega_0^2}} \;=\;1-\tfrac12\frac{|\nabla\mathbf{q}|^2}{\Omega_0^2}+O(k^4a^4)$$
즉 \(O(k^2a^2)\) 보정만 남으므로 IR 영역에서 무시 가능하다.
4. 재규격화군(RG) 관점: 비대칭 항의 “irrelevant” 증명
| 연산자 유형 | 차원 d | 로렌츠 대칭 위반? | 계수 크기 |
| $$(\partial_\mu q)^2$$ | 4 | X | $$O(1)$$ |
| $$a^2(\partial_\mu^2 q)^2$$ | 6 | ○ | $$\sim (ka)^2$$ |
| $$a(\bar\psi\partial_\mu^2\psi)$$ | 5 | ○ | $$\sim (ka)$$ |
- \(d>4\) 연산자는 4D에서 RG-irrelevant ⇒ 흐름에 따라 \(\propto (E/\Lambda_{\rm UV})^{d-4}\) 로 급감.
- \(\Lambda_{\rm UV}\sim\hbar c/l_p\) 이고 \(E\ll\Lambda_{\rm UV}\) 이므로 로렌츠 위배 항은 \(10^{-19}\) 이상 억제(플랑크 대비 TeV 스케일 비교 시).
유사점
- 정밀전기역학 실험에서 lattice-induced Lorentz-violation 한계를 \(\lesssim10^{-20}\) 로 제한하는 분석(코스믹 광자 시간지연 등)과 동일한 오더다.
- 그래핀·냉원자 Dirac 콘도 상부 밴드 수준에서 \(v_F\neq c\) 이지만 \(k\to0\) 에서 디랙 방정식 복원.
5. 결과: IR 유효 작용
종합하면
$$S_{\text{eff}}[k\!<\!\Lambda_{\rm IR}] =\!\int\!d^4x\Bigl[ -\tfrac12(\partial_\mu \mathbf{q})^2 -\tfrac14F_{\mu\nu}^2 +\bar\psi(i\!\not\!D-M_f)\psi -V_G(\mathbf{q},m) \Bigr] +O\!\bigl((ka)^2\bigr)$$
첫 세 항은 완전한 로렌츠 대칭을 가지며, 뒤의 \(O\!\bigl((ka)^2\bigr)\) 교정은 저에너지 한계에서 지워진다.
결론 ― “Qaether는 로렌츠 대칭을 자발적으로 회복한다”
- 격자 구조·국소 압력 인자가 도입한 비등방성은 a-가중 고차 연산자로만 남는다.
- 플랑크 스케일 lpl_p이 “자연적 컷오프” 역할을 하여, \(E\ll\hbar c/l_p\) 영역에서는 모든 실험 가능 관측치가 로렌츠 불변인 연속 장이론과 구분 불가.
- 이는 격자 QCD(저에너지 하드론), Hořava-Lifshitz 중력( z=3 고에너지 수렴) 등이 보여주는 “emergent Lorentz symmetry” 메커니즘과 정확히 같은 수학적 구조를 가진다.
따라서 케이서 이론은 장파장·저에너지 한계에서 스스로 로렌츠 대칭을 회복함을 확인하였다.