[v1.3] 로렌츠대칭회복

아래에서는 격자 간격 a 를 플랑크 길이 \(l_p\) 로 대응시키고, 링크 변수와 플라켓을 곡률 텐서 \(F_{\mu\nu}\) 로 근사하여 연속극한을 수행한 뒤, 로렌츠 대칭이 복원되는 과정을 보인다.

 

1. 링크 변수와 게이지 퍼텐셜의 대응

격자 위의 링크 변수 \(U_{i,i+\hat\mu}\) 를 연속장 \(A_\mu(x)\) 로 다음과 같이 표현한다.

$$U_{i,i+\hat\mu} =\exp\bigl(i\,a\,A_\mu(x)\bigr),\quad a\to l_p\,$$

여기서

• \(x=i\,a\) 는 격자 점 i의 위치
• \(A_\mu(x)\in\mathfrak{g}\) 은 게이지장 소속 리 대수(예: \(\mathfrak{su}(2),\mathfrak{u}(1),\mathfrak{su}(3)\))

 

2. 플라켓 변수의 곡률 근사

인접 링크로 이루어진 플라켓(사각 루프) 변수 \(U_{\mu\nu}(x)\) 는

$$U_{\mu\nu}(x) =U_\mu(x)\,U_\nu(x+a\hat\mu)\,U_\mu^\dagger(x+a\hat\nu)\,U_\nu^\dagger(x)$$

로 정의되며, 이의 소수 a 차수 전개에서

$$U_{\mu\nu}(x) =\exp\bigl(i\,a^2\,F_{\mu\nu}(x)+\mathcal O(a^3)\bigr)$$

를 얻는다. 여기서

$$F_{\mu\nu}(x) =\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu +i\,[A_\mu,A_\nu]$$

는 표준 곡률 텐서이다.

 

3. 라티스 작용의 연속극한 전개

격자 라그랑지안 항 $$\mathcal L_{\rm lat}=-\frac1{g^2}\sum_{\square}\Re\operatorname{Tr}\,U_{\mu\nu}$$ 에 대해,

$$\Re\operatorname{Tr}\,U_{\mu\nu} =\operatorname{Tr}\Bigl[1+\bigl(i\,a^2\,F_{\mu\nu}\bigr) -\tfrac12\bigl(i\,a^2\,F_{\mu\nu}\bigr)^2 +\cdots\Bigr] = N - \tfrac{a^4}{2}\,\operatorname{Tr}\bigl(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\bigr)+\mathcal O(a^6)\!$$

(NN 은 군 차원, 예: SU(2) 에서 N=2) 이므로

$$-\frac1{g^2}\Re\operatorname{Tr}\,U_{\mu\nu} \;\approx\; -\frac1{g^2}\Bigl( N - \tfrac{a^4}{2}\operatorname{Tr} F^2 \Bigr) \;\sim\; -\frac{N}{g^2}+\frac{a^4}{2g^2}\operatorname{Tr}\bigl(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\bigr)$$

격자 점 i 에서의 기여를 전부 합하고, 상수항은 무시하며
\(\sum_i a^4\to\int d^4x\) 를 취하면,

$$\mathcal L_{\rm cont} =\int d^4x\;\frac{1}{2g^2}\operatorname{Tr}\bigl(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\bigr)$$

를 얻는다. 일반적인 표기는

  $$ \boxed{\; \mathcal L_{\rm YM} =-\frac{1}{2g^2}\operatorname{Tr}\bigl(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\bigr) \;}$$

으로, 연속극한에서의 Yang–Mills 라그랑지안이다.

 

4. U(1) 및 SU(2), SU(3) 부문 적용

• U(1): \(\operatorname{Tr}\) 대신 스칼라 전개, \(\beta\sum\cos\Phi\) 항이 \(-\tfrac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\) (표준 Maxwell) 으로 복원.
• SU(2), SU(3): 위 전개를 각각의 곡률 텐서에 적용하여
  $$-\tfrac1{4g_2^2}F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu},\quad -\tfrac1{4g_s^2}G^A_{\mu\nu}G^{A\,\mu\nu} $$ 형태로 얻음.

 

5. 로렌츠 대칭 복원

1. 격자-연속 대응:
   \(\sum_{i}a^4\to\int d^4x\) 와 \(\Delta_\mu\to\partial_\mu\) 전환 시, 격자 고유의 이방성(격자축 우선성)이 사라지고 연속 시공간에서의 등방성이 회복된다.
2. 등방적 a:
   모든 축 방향의 격자 간격을 동일 a 로 유지하였으므로, O(4) (유클리드) 혹은 O(1,3) (민코프스키) 회전 대칭이 \(a\to0\) 에서 근사적으로 완전하게 복원된다.
3. 파동 전달 속도:
   유한 격자 분산 관계가 연속극한에서 선형 \(\omega^2\propto k^2\) 로 변하여, 빛/글루온의 등방적 속도 c=1 이 보존된다.

결론

격자 라그랑지안의 플라켓 항을 \(a\to l_p\) 에서 곡률 전개로 대응함으로써, 전기·약·강 상호작용 모두에 대해 표준 연속 Yang–Mills 라그랑지안을

$$\mathcal L =-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\frac1{4g_2^2}F^a_{\mu\nu}F^{a\,\mu\nu} -\frac1{4g_s^2}G^A_{\mu\nu}G^{A\,\mu\nu}$$

형태로 얻었으며, 이 과정에서 로렌츠 대칭 또한 복원됨을 보였다.