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[v0.1] FCC 격자의 위상차 합 규칙과 대칭군 작용으로부터 SU(3) Weight 다이어그램의 수학적 도출

Qaether Theory 2025. 9. 12. 23:51

[문제1]

FCC 격자에 site와 link를 기본객체로 정의하자. FCC격자에서는 최소 닫힌 경로는 기존의 격자 게이지 이론처럼 사각형 루프 (플라켓)이 있고 기존의 격자 게이지 이론에는 없지만 삼각형 루프(트라이앵글릿)이 있다. 이때 플라켓은 4개의 링크를 가지고 있고 트라이앵글릿은 3개의 링크를 가지고 있다. 루프의 링크는 각각 위상차를 가지고 있으며 이 위상차의 합을 \(2\pi \mathbb{Z}\)라고 정의하자. 이를 바탕으로 위상차가 특정한 값으로 양자화 되는지 그 값이 어떤 값인지 수학적으로 구해보자

 

FCC 격자에서 “사이트–링크”를 기본 객체로 두고, 링크 위상차 \(\Delta\phi_{ij}\) 를 U(1) 값(실수 값을 \(2\pi\)로 동치화)으로 보며, 모든 최소 닫힌 경로(플라켓=사각 루프, 트라이앵글릿=삼각 루프)에 대해
\[
\sum_{\ell\in C}\Delta\phi_\ell \in 2\pi\mathbb Z
\]
(루프 단일값성/겹침 없음)을 가정하겠습니다. 목표는 \(\Delta\phi_\ell\) 자체가 어떤 최소 간격 (q)의 정수배로 “양자화”되는지, 그리고 (q)가 얼마인지 수학적으로 고정하는 것입니다.

핵심은 FCC에 삼각형과 사각형 두 종류의 최소 루프가 공존한다는 사실입니다. 이 두 종류 루프의 “합은 \(2\pi\mathbb Z\)” 제약을 동시에 만족시키는 가장 미세한 공통 간격 (q)를 찾으면 됩니다.

 

1) 설정: 방향별 위상차의 정수 격자 가정

링크 위상차가 어떤 최소 양자 (q>0)의 정수배로만 취해진다고 두겠습니다:
\[
\Delta\phi_\ell \in q\mathbb Z \quad(\text{mod }2\pi)
\]
이 가정은 “모든 루프 합이 \(2\pi\mathbb Z\)”가 되어야 하므로, 가능한 \(\Delta\phi_\ell\)들의 집합이 결국 \(U(1)\)의 유한 순환부분군(혹은 그 위의 정수 격자)로 떨어져야 한다는 사실(위상 결함의 격자화)에서 자연스럽게 나옵니다. 이제 최소 루프 두 가지가 주는 정수방정식을 씁니다.

 

2) 삼각 루프(트라이앵글릿)의 제약

FCC의 ({111}) 평면에는 최근접 이웃 링크 3개가 닫힌 정삼각형을 만듭니다. 어떤 삼각 루프 (T)에 대해
\[
\Delta\phi_{\ell_1}+\Delta\phi_{\ell_2}+\Delta\phi_{\ell_3}
\in 2\pi\mathbb Z
\]
각 항이 \(q\mathbb Z\)에 있으므로
\[
(\text{정수})\cdot q = 2\pi n_T
\]
이 말은 \(2\pi/3\)가 (q)의 정수배가 되어야(=삼각형 하나를 세 개의 동일한 “단계”로 분해 가능해야) 함을 뜻합니다. 등가로,
\[
\exists r\in\mathbb Z_{>0}\ \text{such that}\quad \frac{2\pi}{3} = rq \tag{Tri}
\]

 

3) 사각 루프(플라켓)의 제약

FCC에는 최근접 이웃 4개 링크로 닫히는 사각형(마름모/직각 사각 포함) 최소 루프도 존재합니다. 임의의 사각 루프 (P)에 대해
\[
\Delta\phi_{\ell_1}+\Delta\phi_{\ell_2}+\Delta\phi_{\ell_3}+\Delta\phi_{\ell_4}
\in 2\pi\mathbb Z,
\]
따라서
\[
(\text{정수})\cdot q = 2\pi n_P
\quad\Rightarrow\quad
\frac{\pi}{2} = sq
\ \ \text{for some } s\in\mathbb Z_{>0} \tag{Sq}
\]

4) 공존 조건 → 최소 간격 (q) 결정

식 (Tri), (Sq)를 동시에 만족하는 최소의 (q)를 구합니다. 두 식을
\[
\frac{2\pi}{3}=r q,\qquad \frac{\pi}{2}=s q
\]
로 두고 (q)를 소거하면
\[
\frac{2\pi}{3}=\frac{r}{s}\cdot \frac{\pi}{2}
\ \Rightarrow
\frac{r}{s}=\frac{4}{3}
\]
서로소 최소 정수해는 \(r=4, s=3\). 따라서
\[
q = \frac{2\pi}{3r} = \frac{2\pi}{12}
= \boxed{\frac{\pi}{6}}
\]

즉, 삼각 최소 루프와 사각 최소 루프가 동시에 존재하는 FCC 격자에서, 루프 단일값성 제약을 모두 만족하려면 모든 링크 위상차는 \(\pi/6\)의 정수배로 양자화됩니다:
\[
\boxed{\ \Delta\phi_\ell \in \frac{\pi}{6} \mathbb Z \quad(\text{mod }2\pi)\ }
\]

 

5) 결과의 해석과 견고성

  • 위 결과는 “삼각 루프(3변)”와 “사각 루프(4변)”가 만드는 두 독립 위상 합 규칙의 최소 공배수 조건으로 이해할 수 있습니다.
    \(2\pi/3\)과 \(\pi/2\)의 공배 최소 간격이 \(\pi/6\)이기 때문입니다.
  • 격자 대칭(특히 ({111}) 평면의 \(C_6\) 회전 대칭)과 최근접 루프의 존재가 핵심 전제입니다. 이 전제는 FCC의 기하로부터 안정적입니다.
  • 따라서 FCC에서 허용되는 위상차 군은
    \[
    U(1)/\left\langle e^{i\pi/6}\right\rangle \simeq \mathbb Z_{12}
    \]
    로 축소되며, 12분할(\(30^\circ\)) 위상 격자가 자연스럽게 등장합니다.

 

결론

FCC 격자에서 “삼각 최소 루프”와 “사각 최소 루프”가 공존하고 각 루프 합이 \(2\pi\mathbb Z\)가 되도록 요구하면, 가능한 링크 위상차는 반드시 \(\displaystyle \pi/6\)의 정수배로 양자화됩니다.
즉,
\[
\Delta\phi_{ij}^{\text{(allowed)}} = m \frac{\pi}{6}\quad (m\in\mathbb Z, \ \text{mod }2\pi)
\]
이것이 해당 격자 위상 양자화의 필요충분한 최소 간격입니다.

 

[문제 2]

위에 유도한 링크의 위상차 양자화 조건을 바탕으로 플라켓의 링크 4개의 위상차를 (a,b,c,d)로 표현하자. 궤도 대칭과 반사 대칭은 같은 조합으로 본다고 했을때 a,b,c,d 4개 요소를 모두 써서 만들 수 있는 조합은 몇개인지 번사이드 정리 이용해서 풀어보자.

플라켓 4자리에 서로 다른 \((a,b,c,d)\)를 모두 한 번씩 배치한다고 하고, 회전(궤도 대칭)과 반사 대칭을 같은 조합으로 보겠습니다. 즉 정사각형의 이면군 \(D_4\) (원소 8개)가 작용하는 배치의 궤수(orbit 수)를 번사이드 정리로 셉니다.

번사이드 정리

\[
\#(\text{궤수})=\frac{1}{|D_4|}\sum_{g\in D_4}\mathrm{Fix}(g),
\]
여기서 \(\mathrm{Fix}(g)\)는 대칭 \(g\)가 고정시키는 배치 수입니다.

배치의 전체 경우는 \(4!=24\).

  • 항등원 (e): 모든 배치를 고정 ⇒ \(\mathrm{Fix}(e)=24\).
  • 90°/270° 회전(2개): 4-순환이라 서로 다른 네 색을 모두 같게 해야 고정되지만 불가 ⇒ \(\mathrm{Fix}=0\).
  • 180° 회전(1개): 두 쌍(서로 마주보는 자리)이 같아야 고정인데 네 색이 모두 달라 불가 ⇒ \(\mathrm{Fix}=0\).
  • 반사(4개): 각 반사는 한 쌍 또는 두 쌍의 자리를 서로 교환하므로 교환되는 자리들이 같아야 하는데 모두 다른 색이라 불가 ⇒ \(\mathrm{Fix}=0\).

따라서
\[
\#(\text{궤수})
=\frac{1}{8}\big(24+0+0+0\big)
=\boxed{3}.
\]

즉, 회전·반사 대칭을 같게 볼 때 \((a,b,c,d)\)의 배치 유형은 3가지뿐입니다. (원형배치의 서로 다른 순서 수 \((4-1)!/2=3\)과도 일치합니다.)

[문제 3]

그렇다면 3종의 순환열 동치류를 갖는 (a,b,c,d)를 모두 구해. 예를 들어 (0,1,2,9) (0,2,4,6)등이 그 해가 될 것 같은데 다른 것들도 모두 구하는데 a+b+c+d 의 값이 12인 경우로 구분해서 보여줘

핵심 가정: 값은 \(\mathbb{Z}_{12}\)에서 서로 모두 다른 네 값 (a,b,c,d)이고, 링크 순서(사각형 둘레의 배치)는 회전·반사(\(D_4\)) 동치로 본다. 루프합 제약은 \(a{+}b{+}c{+}d\in{12}\) (즉 \(2\pi\)).

  • \(D_4\) 동치류(원형·반사 동일)만 남기면, 각 합마다 정확히 3종의 순환열 타입(T1,T2,T3)로 분류된다.
  • 각 합별 동치류(대표) 개수:
    • 합=12: T1=9, T2=9, T3=9 → 총 27류

모든 동치류의 대표(tuple) 를 표로 만들어서 아래에 공유한다.

plaquette_quads_sum_12.csv
0.00MB

 

간단히 각 합에서의 예시 대표(동치류 하나당 대표 1개):

  • 합=12
    • T1: (0, 1, 2, 9) ← 네 값의 상대순서가 단조 증가형(원형 기준)
    • T2: (0, 1, 9, 2) ← 한 번 “교차”되는 패턴
    • T3: (0, 9, 1, 2) ← 지그재그(교대) 패턴
  • 정렬된 4-집합(순서 무시)별로, 그 집합에서 나오는 3개의 \(D_4\) 순환열 동치류 대표를 정리했다. (모두 서로 다른 네 값, 단위는 \(\pi/6\), 합은 12인 경우만)

    {0,1,2,9}: (0,1,2,9), (0,1,9,2), (0,2,1,9)

    {0,1,3,8}: (0,1,3,8), (0,1,8,3), (0,3,1,8)

    {0,1,4,7}: (0,1,4,7), (0,1,7,4), (0,4,1,7)

    {0,1,5,6}: (0,1,5,6), (0,1,6,5), (0,5,1,6)

    {0,2,3,7}: (0,2,3,7), (0,2,7,3), (0,3,2,7)

    {0,2,4,6}: (0,2,4,6), (0,2,6,4), (0,4,2,6)

    {0,3,4,5}: (0,3,4,5), (0,3,5,4), (0,4,3,5)

    {1,2,3,6}: (1,2,3,6), (1,2,6,3), (1,3,2,6)

    {1,2,4,5}: (1,2,4,5), (1,2,5,4), (1,4,2,5)

    총 9개 4-집합 × 각 3개 동치류 = 27개 대표 조합

[문제 4]

정팔면체를 꼭짓점 \((\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)\)로 정의하고, XY·YZ·ZX 평면의 사각 루프에 각각 4-집합 순환열의 동치류를 뽑아 회전시키거나 반전시켜 배치했을 때, 8개의 삼각 루프 위상합이 mod 2π 조건을 만족하는 대표 순환열만 찾아라. 

 

1. 총합 조건

모든 12항의 합은
\[
\sum_{j=1}^4 S_j = 3(a+b+c+d) = 3 \cdot 12 = 36.
\]

각 열 합은 세 수의 합이므로 \(0 \le S_j \le 33\), 그리고 조건상 \(S_j \equiv 0 \pmod{12}\). 따라서
\[
S_j \in {0, 12, 24}.
\]

열 개수를 \((n_0, n_{12}, n_{24})\)라 하면:
\[
n_0 + n_{12} + n_{24} = 4,\quad 0\cdot n_0 + 12n_{12} + 24n_{24} = 36.
\]
즉
\[
n_{12} + 2n_{24} = 3.
\]

가능한 정수 해:

  1. \((n_{24},n_{12},n_0) = (0,3,1)\)
  2. \((1,1,2)\)

 

2. 불가능 케이스 배제

  • \(S_j=0\)이려면 열의 세 수가 모두 0이어야 한다.
  • 4-집합에는 0이 최대 1개 포함 → 각 행마다 0은 최대 1번 → 전체 12칸에 0은 정확히 3개뿐.
  • 따라서 (0,0,0) 열은 최대 한 열만 만들 수 있다.
  • 케이스 (2)는 \(n_0=2\)가 필요 → 불가능.

 

3. 유일한 가능 패턴

케이스 (1)만 남는다:
\[
(n_{24},n_{12},n_0) = (0,3,1).
\]

즉

  • 반드시 하나의 열이 (0,0,0)이어야 함.
  • 나머지 세 열은 모두 합이 12가 되어야 함.

이를 만들려면 4-집합에 반드시 0이 포함되어야 하고, 각 행에서 그 0을 같은 열에 배치하면 된다.
나머지 세 열은 간단히 시프트·순환 배치하면 \(S_j=12\)가 맞춰진다.

 

4. 최종 결론

  • 가능 ⇔ 4-집합에 0 포함.
  • 불가능 집합: ({1,2,3,6}, {1,2,4,5}).

[문제 5]

앞서 구한 7개 가능 조합은  \(\alpha∣r⟩+\beta∣g⟩+\gamma∣b⟩\)과 같은 구조로 만들어 진다고 할때 \(∣r⟩, ∣g⟩,∣b⟩\)는 4개 성분을 갖는 베이스 조합으로 모든 7개조합에 같이 적용된다. 그리고 \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1\)이라면 이에 맞는 베이스 조합 찾자.

“가능 조합은 항상 \( \alpha\lvert r\rangle+\beta\lvert g\rangle+\gamma\lvert b\rangle \)” 꼴이고, \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1\)을 요구한다면, **모든 7개 4-집합(0을 포함, 합=12)**에 공통으로 쓸 수 있는 가장 간단하고 보편적인 베이스는 아래처럼 잡으면 된다.

베이스 선택 (공통)

\[ \boxed{ \lvert r\rangle=(0,1,0,0),\quad \lvert g\rangle=(0,0,1,0),\quad \lvert b\rangle=(0,0,0,1) } \]

설명: 각 사각루프 4성분 중 첫 성분은 ‘0열’(세 행 모두 0)이고, 나머지 세 성분(2,3,4번째 위치)에 세 숫자 \(x,y,z\)가 들어간다는 구조를 모든 해에서 공유한다(앞서 증명: 한 열은 반드시 (\(0,0,0\)), 나머지 세 열 합은 12). 위 베이스는 바로 그 3개의 “비영(非0) 열”에 해당하는 좌표축 벡터다.

계수 설정 (각 4-집합별로)

임의의 가능 4-집합을 ({0,x,y,z})라 쓰면(정렬 불필요, \(x+y+z=12\)) 세 면의 한 대표 배치는
\[
(0,x,y,z),\quad (0,y,z,x),\quad (0,z,x,y)
\]
형으로 잡을 수 있다(회전/반전 동치 포함).

각 행(=한 면의 순환열 벡터) \(\mathbf v\)에 대해
\[
\mathbf v = \Lambda \big(\alpha\lvert r\rangle+\beta\lvert g\rangle+\gamma\lvert b\rangle\big)
\quad\text{with}\quad \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1,
\]
로 두면, 정규화는
\[ \text{1행 }(0,x,y,z):\quad (\alpha,\beta,\gamma)=\frac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\quad \Lambda=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \] \[ \text{2행 }(0,y,z,x):\quad (\alpha,\beta,\gamma)=\frac{(y,z,x)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\quad \Lambda=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \] \[ \text{3행 }(0,z,x,y):\quad (\alpha,\beta,\gamma)=\frac{(z,x,y)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\quad \Lambda=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]
즉, \(\alpha,\beta,\gamma\)는 각 행의 비영 3성분의 크기비만 담고(단위벡터), 전체 스케일 \(\Lambda\)가 그 행의 실제 값을 복원한다. 이로써 \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1\) 조건을 만족하면서 모든 7개 4-집합에 동일한 베이스 \({\lvert r\rangle,\lvert g\rangle,\lvert b\rangle}\)를 공통 적용할 수 있다.

예시: ({0,2,4,6})

\[  \text{1행 }(0,2,4,6):\ \ (\alpha,\beta,\gamma)=\frac{(2,4,6)}{\sqrt{2^2+4^2+6^2}}=\frac{(2,4,6)}{\sqrt{56}},\quad \Lambda=\sqrt{56} \Rightarrow\ \Lambda(\alpha\lvert r\rangle+\beta\lvert g\rangle+\gamma\lvert b\rangle)=(0,2,4,6).\]

\[\text{2행 }(0,4,6,2):\ \ (\alpha,\beta,\gamma)=\frac{(4,6,2)}{\sqrt{56}},\ \ \Lambda=\sqrt{56}.\ \]

\[\text{3행 }(0,6,2,4):\ \ (\alpha,\beta,\gamma)=\frac{(6,2,4)}{\sqrt{56}},\ \ \Lambda=\sqrt{56}.  \]

요약

  • 공통 베이스(4성분)로 \((0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\)를 채택하면, 0을 포함하는 모든 가능 4-집합에서 각 면의 순환열 벡터를 \( \alpha\lvert r\rangle+\beta\lvert g\rangle+\gamma\lvert b\rangle \) (단, \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1\)) 꼴로 동일한 방식으로 표현 가능.
  • 행마다 (\(\alpha,\beta,\gamma\))는 그 행의 비영 3성분을 정규화한 값이고, 스케일 \(\Lambda\)가 실제 물리적 위상차(정수 값)를 복원한다.
  • 회전/반전으로 얻는 모든 동치 배치에도 그대로 적용된다.
  • 한단계 더 나아가면  모든 베이스의 첫번째가 모두 0이기 때문에 이걸 줄여서 \((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\)로 줄이는 것이 가능하다.

[질문 6]

여기서 한단계 더 나아가  \( \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1\)을 제약으로 이용해서 SU(3) weight 벡터로 투영 가능한지 확인해보자.

핵심은 \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1\)가 확률 단순스IMPLEX(barycentric 좌표)를 이루므로, 이를 SU(3) Cartan 부분대수(2차원) 위의 weight 삼각형으로 선형 사상하면 된다.

1) Cartan 생성자와 weight 좌표

표준 정규화(당신이 자주 쓰는 규약)에 맞춰 Cartan 생성자를
\[
H_1=\tfrac12
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&0
\end{pmatrix},
\qquad
H_2=\tfrac{1}{2\sqrt3}
\begin{pmatrix}
1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&-2
\end{pmatrix}
\]
로 두자. 색상 기저 \(|r\rangle=(1,0,0)^\top\), \(|g\rangle=(0,1,0)^\top\), \(|b\rangle=(0,0,1)^\top\).

이때 기본 표현의 세 꼭짓점 weight(=순수 색상 상태의 기대값)는
\[
\omega_r=\big(\tfrac12,\tfrac{1}{2\sqrt3}\big),\quad
\omega_g=\big(-\tfrac12,\tfrac{1}{2\sqrt3}\big),\quad
\omega_b=\big(0,-\tfrac{1}{\sqrt3}\big),
\]
즉 정삼각형의 세 꼭짓점.

2) \((\alpha,\beta,\gamma)\) → weight 평면으로의 사상

상태벡터 \(\psi=(\alpha,\beta,\gamma)^\top\) (여기서는 실수 가중을 가정; 복소여도 \(|\alpha|^2\) 등으로 동일) 에 대해 Cartan 성분의 기대값:
\[
h_1=\psi^\dagger H_1\psi=\tfrac12\big(|\alpha|^2-|\beta|^2\big),\qquad
h_2=\psi^\dagger H_2\psi=\tfrac{1}{2\sqrt3}\big(|\alpha|^2+|\beta|^2-2|\gamma|^2\big).
\]
여기서
\[
p_r:=|\alpha|^2,\quad p_g:=|\beta|^2,\quad p_b:=|\gamma|^2,\quad
p_r+p_g+p_b=1.
\]
그러면
\[
(h_1,h_2)=p_r \omega_r+p_g \omega_g+p_b \omega_b.
\]
즉 **가중치가 \((p_r,p_g,p_b)\)**인 볼록 결합으로, 항상 삼각형 내부(또는 변/꼭짓점)에 위치한다.

  • 순수 상태 \(|r\rangle\) 등은 꼭짓점으로 간다.
  • \(\alpha=\beta=\gamma=1/\sqrt3\)이면 \((h_1,h_2)=(0,0)\) (무게중심).
  • Cartan으로의 투영은 위상(상대위상)을 보지 않으므로 오프대각 성분(위상 정보)은 여기선 사라진다. (그 정보는 \(T^a\)의 비대각 성분 기대값에 들어간다.)

3) 예시: \({0,2,4,6}\)에서 한 면 \((2,4,6)\)

정규화: \(\sqrt{2^2+4^2+6^2}=\sqrt{56}\).
\[
\alpha=\tfrac{2}{\sqrt{56}},\ \beta=\tfrac{4}{\sqrt{56}},\ \gamma=\tfrac{6}{\sqrt{56}}
\Rightarrow
(p_r,p_g,p_b)=\Big(\tfrac{4}{56},\tfrac{16}{56},\tfrac{36}{56}\Big)=\Big(\tfrac1{14},\tfrac4{14},\tfrac9{14}\Big).
\]
따라서
\[
h_1=\tfrac12 \left(\tfrac1{14}-\tfrac4{14}\right)=-\tfrac{3}{28},\quad
h_2=\tfrac{1}{2\sqrt3} \left(\tfrac1{14}+\tfrac4{14}-2\tfrac9{14}\right)
=-\tfrac{13}{28\sqrt3}.
\]
즉 해당 루프의 색상 성분은 weight 평면에서 (\omega)-삼각형 내부의 점 \(\big(-\frac{3}{28},-\frac{13}{28\sqrt3}\big)\)로 투영된다. 같은 4-집합의 다른 순환열은 (p)의 순서를 바꾸므로 Weyl 군\((S_3)\) 작용(꼭짓점 교환)에 의해 삼각형 내에서 대칭적으로 이동한다.

4) 정리 (필요충분 성질)

  • 제약 \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1\)만으로도 항상 SU(3) weight 평면으로의 투영이 가능하고,
    \[
    (h_1,h_2)=\big(\tfrac12(p_r-p_g),\ \tfrac{1}{2\sqrt3}(p_r+p_g-2p_b)\big)
    \]
    가 보편적 사상이다.
  • 이는 곧 “가능 7조합” 각각의 \((\alpha,\beta,\gamma)\)가 **동일한 공통베이스(3차원)**에서 동일한 선형식으로 SU(3) weight에 매핑됨을 뜻한다.
  • 다만 Cartan 투영만 보면 위상 정보를 잃으므로, 위상·간섭(예: \(\alpha\beta\) 등의 실수/허수부)은 6개의 비대각 생성자 기대값 \(\psi^\dagger T^{\text{off}}\psi\)에 담긴다. 

 

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