[v2.1] 3개의 계층공간

세 모델은 같은 Qaether 공간 \(K\) 위에 세워져 있지만,
핵심 차이는 자유도를 어디에 두느냐와 closure/flatness를 얼마나 강하게 요구하느냐입니다.
아주 짧게 말하면:

• Edge 모델: 가장 일반적입니다. edge에 위상을 직접 놓고, bonded face에서만 closure를 강제할 수도 있습니다.
• Vertex(U(1)) 모델: vertex에 위상을 놓고 edge phase는 차이 \(d\theta\)로 유도됩니다. 그래서 모든 face와 모든 loop에서 자동으로 flat합니다.
• Vertex-Quaternion 모델: 구조는 vertex 모델과 비슷하지만 값을 \(Sp(1)\cong SU(2)\)에 두는 비가환 버전입니다. edge transport가 \(u(s)^{-1}u(t)\)로 유도되어 역시 모든 face와 loop에서 holonomy가 자명합니다.

공통점

세 모델 모두 기본 배경은 같습니다.
즉, 1-skeleton이 FCC 최근접 이웃 그래프에 놓이고, triangular 2-cell과 square 2-cell이 붙은 2-차원 cellular complex \(K\)를 쓰며, tetrahedral/octahedral bonding을 해석하는 geometric data를 둡니다.

또 셋 다 “face를 따라 위상을 합하거나 곱했을 때 자명해지는가”를 중요하게 봅니다.
다만 Edge 모델은 이를 제약조건으로 둔 반면, 두 Vertex 계열 모델은 정의상 자동으로 만족합니다.

가장 큰 차이 1: 자유도의 위치

1) Edge에 위상을 배치한 모델

기본 변수는 edge 자체의 phase \(\phi\)입니다.
즉 edge phase configuration space 전체 \(\mathcal A_{\mathrm{raw}}(K)\)를 먼저 잡고, 그 위에서 curvature \(d\phi\)와 closure 조건을 논합니다. 그래서 edge 값이 독립 자유도입니다.

2) Vertex에 위상을 배치한 모델

기본 변수는 vertex phase \(\theta:K_0\to G\)이고, edge phase는
$$
\phi_\theta(\vec e)=\theta(t(\vec e))-\theta(s(\vec e))=d\theta
$$
로 유도된 값입니다. 즉 edge는 독립 자유도가 아닙니다.

3) Vertex-Quaternion 모델

기본 변수는 vertex의 unit quaternion \(u:K_0\to Sp(1)\)이고, edge transport는
$$
g_u(\vec e)=u(s(\vec e))^{-1}u(t(\vec e))
$$
로 유도됩니다. 구조는 Vertex 모델과 비슷하지만, 값이 \(G=\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)가 아니라 비가환군 (Sp(1)) 에 있다는 점이 다릅니다.

가장 큰 차이 2: flatness의 강도

Edge 모델

bonded face들에 대해서만 \((d\phi)(f)=0\)을 요구하는 admissible space
$$
\mathcal A_{\mathrm{adm}}(K,\mathcal G)
$$
를 정의합니다. 즉 bonded face가 아닌 곳에는 curvature가 남아도 허용됩니다. 그래서 국소 결함, face flux 같은 것을 담을 여지가 큽니다. 전역 flat한 공간 \(\mathcal A_0(K)\)은 그 안의 더 작은 부분입니다.

Vertex(U(1)) 모델

\(\phi_\theta=d\theta\)이므로 자동으로 \(d\phi_\theta=d^2\theta=0\)입니다.
따라서 triangular face, square face는 물론이고, 모든 닫힌 loop에서 총 위상차가 0입니다. 즉 단순히 face-flat이 아니라 exact flat sector를 기술합니다.

Vertex-Quaternion 모델

여기도 유도식 때문에 face holonomy가 자동으로 1이 되고, 더 나아가 모든 closed loop holonomy가 1입니다. 다만 비가환이라 “합”이 아니라 “ordered product”와 holonomy로 써야 합니다. 그래서 이 모델은 pure-gauge flat sector를 기술합니다.

가장 큰 차이 3: 수학적 성격

Vertex(U(1)) 모델은 아벨 cochain 이론

값이 \(G=\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)인 아벨군이라서
$$
C^0 \xrightarrow{d} C^1 \xrightarrow{d} C^2
$$
형태의 선형 cochain complex를 그대로 씁니다. 그리고 induced sector와 전체 flat sector의 차이는
$$
H^1(K;G)
$$
가 측정합니다. 즉 “flat인데 exact는 아닌 상태”가 있을 수 있습니다.

Vertex-Quaternion 모델은 비가환 gauge 이론

\(Sp(1)\)은 비가환이므로 선형 coboundary \(d:C^0\to C^1\)를 그대로 쓰지 않고, edge transport와 face holonomy, gauge action으로 기술합니다. flat sector 전체는 단순히 “exact cochain”이 아니라, 본질적으로
$$
\operatorname{Hom}(\pi_1(K),Sp(1))/Sp(1)
$$
같은 representation/gauge moduli로 나타납니다.

즉,

• Vertex(U(1)) 모델의 차이는 코호몰로지 \(H^1\) 로 보이고,
• Vertex-Quaternion 모델의 차이는 비가환 holonomy 표현으로 보입니다.

가장 큰 차이 4: 중복 대칭과 물리적 상태공간

Vertex(U(1)) 모델에서는 전역 상수 위상 이동
$$
\theta(v)\mapsto \theta(v)+c
$$
이 edge phase를 바꾸지 않으므로, 물리적 상태공간은 \(\Theta(K)/\Delta G\)입니다. 즉 절대 위상이 아니라 상대 위상차가 물리량입니다.

Vertex-Quaternion 모델에서도 전역 왼쪽곱
$$
u(v)\mapsto a u(v)
$$
이 induced edge transport를 바꾸지 않아 \(\mathcal U(K)/Sp(1)\)를 reduced space로 봅니다. 여기에 더해, 이 모델은 local gauge transformation까지 명시적으로 도입합니다. 이 점이 U(1) vertex 모델보다 훨씬 게이지 이론적입니다.

Edge 모델은 애초에 edge 변수를 직접 기본 변수로 놓으므로, 위 두 모델처럼 “vertex 변수의 전역 중복을 quotient”하는 구조가 중심이 아닙니다. 대신 어떤 face에 closure를 걸 것인지가 핵심입니다.

관계를 한 줄로 정리하면

같은 값을 쓰는 두 모델 사이에서는 다음처럼 볼 수 있습니다.

• Edge 모델 = 가장 큰 운동학적 공간
• 전역 flat sector = 그 안에서 모든 face closure를 만족하는 부분
• Vertex(U(1)) 모델 = 그 전역 flat sector 안의 exact flat sector

Quaternion 쪽도 비슷한 그림이지만, 선형 cochain 대신 비가환 gauge/holonomy 언어로 바뀝니다.

• 일반 (Sp(1)) edge transport
• flat sector
• Vertex-Quaternion induced sector = 그 안의 pure-gauge, trivial-holonomy sector

연구적으로 보면 셋의 역할 분담은 이렇습니다

• Edge 모델은 가장 물리적입니다. 결함, face flux, 부분적 closure 위반을 직접 담기 좋습니다.
• Vertex(U(1)) 모델은 가장 단순하고 깨끗합니다. exact flat한 기준 진공/배경 모델로 좋습니다.
• Vertex-Quaternion 모델은 비가환 일반화입니다. 내부 자유도를 더 풍부하게 주면서도, induced sector에서는 여전히 pure gauge라는 점이 분명합니다.

이 세 모델은 경쟁 모델이라기보다 계층 구조에 가깝습니다.

1. Edge 모델이 가장 넓은 우주를 줍니다.
2. Vertex(U(1)) 모델은 그 안의 아벨 exact-flat 부분입니다.
3. Vertex-Quaternion 모델은 이를 비가환적으로 올린 pure-gauge 버전입니다.

 

항목	Edge에 위상 배치 모델	Vertex에 위상 배치 모델	Vertex-Quaternion에 위상 배치 모델
기본 배경 공간	FCC 최근접 이웃 그래프의 \(1\)-skeleton 위에 triangular/square \(2\)-cell이 붙은 \(2\)-complex \(K\)를 사용	같은 \(K\) 사용	같은 \(K\) 사용
기본 자유도 위치	edge에 직접 위상 \(\phi\)를 둠. edge 변수가 독립 자유도임	vertex에 위상 \(\theta\)를 두고, edge phase는 \(\phi_\theta=d\theta\)로 유도됨	vertex에 quaternion \(u\in Sp(1)\)를 두고, edge transport는 \(g_u(\vec e)=u(s)^{-1}u(t)\)로 유도됨
값이 사는 공간 / 구조군	\(G=\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)인 아벨 위상값	\(G=\mathbb R/2\pi\mathbb Z\)인 아벨 위상값	\(Sp(1)\cong SU(2)\)인 비가환 단위 quaternion 값
edge의 방향 반전 규칙	\(\phi(\bar e)=-\phi(\vec e)\)	유도된 edge phase도 자동으로 \(\phi_\theta(\bar e)=-\phi_\theta(\vec e)\) 만족	\(g(\bar e)=g(\vec e)^{-1}\)
face 위의 closure / curvature 표현	\((d\phi)(f)=\sum \phi(\vec e_j)\), 또는 \(U(1)\)-holonomy로 표현	\(d\phi_\theta=d^2\theta=0\) 이므로 모든 face에서 closure 자동 성립	face holonomy \(F_g(f)=g(\vec e_1)\cdots g(\vec e_m)\), 유도형이면 항상 \(F_{g_u}(f)=1\)
closure를 어디까지 강제하는가	bonded face에서만 closure를 강제한 admissible space를 정의 가능. non-bonded face에는 제약 없음	bonded face 포함 모든 \(2\)-cell에서 자동 closure	bonded face 포함 모든 \(2\)-cell에서 자동 trivial holonomy
허용 공간의 크기	\(\mathcal A_{\mathrm{raw}}(K)\)가 가장 큼, 그 안에 \(\mathcal A_{\mathrm{adm}}(K,\mathcal G)\), 그 안에 전역 flat sector \(\mathcal A_0(K)\)	전체 flat sector가 아니라 그중 exact flat sector \(\operatorname{Im}(d:C^0\to C^1)\)만 다룸	전체 flat sector가 아니라 그중 pure-gauge / trivial holonomy sector만 다룸
닫힌 loop에서의 holonomy	일반적으로 비자명할 수 있음. bonded face만 닫혀도 전체 loop holonomy는 남을 수 있음	모든 닫힌 loop에서 총 위상차가 0, 즉 비자명 holonomy 없음	모든 닫힌 loop에서 holonomy가 \(1\), 즉 비자명 holonomy 없음
결함/face flux 허용성	허용 가능. bonded되지 않은 face에는 curvature가 남을 수 있어 local defect를 담기 좋음	허용하지 않음. induced sector는 언제나 exact flat	허용하지 않음. induced sector는 언제나 pure gauge/trivial holonomy
수학적 언어	cellular cochain \(C^1(K;G)\), curvature \(d\phi\)	아벨 cochain complex, exactness, \(H^1(K;G)\)로 flat와 exact의 차이를 측정	비가환 gauge theory, holonomy, gauge action, \(\operatorname{Hom}(\pi_1(K),Sp(1))/Sp(1)\) 같은 moduli로 flat sector를 이해
중복 대칭 / 물리 상태공간	edge를 직접 기본 변수로 두므로 vertex형 전역 중복 제거가 중심은 아님	전역 상수 위상 이동 \(\theta\mapsto \theta+c\)은 같은 상태. \(\Theta(K)/\Delta G\)가 물리 공간	전역 왼쪽곱 \(u\mapsto au\)는 같은 induced transport. \(\mathcal U(K)/Sp(1)\)가 reduced space
연결된 경우의 대응	특별한 vertex quotient 대응을 전면에 두지 않음	연결되면 \(\Theta(K)/\Delta G \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)\)	연결되면 \(\mathcal U(K)/Sp(1) \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)\)
철학적 성격	가장 일반적이고 물리적인 모델. 부분적 closure, 결함, flux를 담기 좋음	가장 단순한 아벨 exact-flat 모델	Vertex 모델의 비가환 확장판으로, 구조는 비슷하지만 gauge/holonomy가 더 풍부함