기본 가정 및 공리 (v2.0) -- 수정중

* 본 Qaether 이론은 실험적으로 검증되지 않은 유사 물리학 이론임을 미리 밝힙니다. 현재 업데이트 하는 중이라 수시로 수정될 수 있음을 알려드립니다.

 

도입: 이론의 핵심 철학 및 개요

1. 우주는 ‘절대 무(無)’의 경계인 Void 위에, 플랑크 스케일의 국소적 위상 결함인 Qaether들이 결합하여 만들어진 동적인 정보 네트워크이다.
2. 각 Qaether는 물리적으로 반지름 \(l_p\)인 3-sphere(\(\text{S}^3\))이며, 내부 위상 변수는 단위 반지름 \(S^3(1)\)위 쿼터니언 \(\mathbf{q}\)로 기술된다.
3. Qaether들은 면심입방(FCC) 격자로 서로 결합하여 공간의 뼈대를 이루고, 이들 사이의 상대 쿼터니언 위상차(Link 변수)가 게이지 상호작용을 내재화한다.
4. 모든 물리 법칙과 상호작용은 이 근원적인 위상 기하학의 동역학적 발현이다.
5. 2D 위상 꼬임(\(\pi_1\) 위상)은 렙톤·보손, 3D 와인딩(\(\pi_3\) 위상)은 바리온을 생성한다.

 

A1. 근본 실체: Void와 Qaether (\(S^3\))

1. Void (절대 경계):
   • 정의: 자유도가 완벽히 0으로 고정된 이상적인 수학적 경계 조건.
   • 역할: 물리적 실체는 아니나, 자신에게 닿는 모든 에너지와 정보를 100% 반사한다. 이 반사 작용이 Qaether 네트워크에 내부 응력과 곡률을 유발하는 근원이다.
2. Qaether 셀 (우주의 최소 단위):
   • 물리적형태
     • 3차원 공간에서 반지름이 플랑크 길이(\(l_p\))인 3-Sphere \(S^3(l_p)\)로 근사.
     • 우주의 최소 단위 공간(격자 상수) 역할
   • 내부위상변수
     • 단위 반지름 \(S^3(1)\)위의 쿼터니언 $$ \mathbf{q}_i = n^0_i + n^1_i\mathbf{i} + n^2_i\mathbf{j} + n^3_i\mathbf{k}, \quad \mathbf{q}_i \in SU(2) \simeq S^3 $$ $$ \sum_{a=0}^3 (n_i^a)^2=1 $$
     • 또는 회전 각·축으로$$\mathbf{q}_i = \cos\!\bigl(\tfrac{\theta_i}{2}\bigr) + \sin\!\bigl(\tfrac{\theta_i}{2}\bigr)\,\mathbf{n}_i\!\cdot\!\boldsymbol{i} ,\quad |\;\mathbf{q}_i\;|=1$$
   • 물리적 의미
     • \(n_i^0 = \cos(\tfrac{\theta_i}{2})\): 내부 스핀 회전의 스칼라 성분
     • \((n_i^1,n_i^2,n_i^3)=\sin(\tfrac{\theta_i}{2})\,\mathbf{n}_i\): 회전 축(단위벡터) 방향
     • \(\theta_i\): SU(2) 회전 각(스핀)
     • \(\mathbf{n}\): 3차원 회전 축(단위벡터)
     • 이 하나의 \(\mathbf{q}_i\)에 SU(2) 스핀 자유도가 통합되어 있으며, 전하(U(1))·색전(SU(3)) 위상 인자 역시 이 식 하나에서 유도 가능하다.

 

A2. 공간의 구조: FCC 격자와 상대적 방향성

1. 격자 구조 (공간의 뼈대):
   • Qaether 셀들은 플랑크 길이 \(l_p\)를 격자상수로 하는 면심입방(FCC) 격자 구조로 배열된다.
   • 각 셀들은 최대 12개의 최근접 이웃과 결합(Link)할 수 있으며 최소 에너지 상태와 거시적 등방성(Isotropy)을 보장한다.
2. 링크의 위상변수 정의 (Link Variable):
   • 두 이웃 셀 \((i, j)\) 간의 결합은 상대 쿼터니언의 위상차로 정의된다.$$ \Delta\mathbf{q}_{ij} = \mathbf{q}_j \mathbf{q}_i^{-1} \in SU(2) $$
   • 즉, \(\Delta \mathbf{q}_{ij}\)는 FCC 격자에서 셀 \(i\)와 \(j\) 사이의 결합이 갖는 위상적 방향성과 에너지 상태(결합의 상태 변수를 포괄함)
3. 게이지변환 불변성 (site-gauge 변환)
   • 로컬 게이지라면: \(\mathbf{q}_i \to g_i \, \mathbf{q}_i ⟹ \Delta \mathbf{q}_{ij} \to g_j \,( \Delta \mathbf{q}_{ij}) \, g_i^{-1} \)
   • 전역 게이지라면: \(\mathbf{q}_i \to g \, \mathbf{q}_i ⟹ \Delta \mathbf{q}_{ij} \to g \,( \Delta \mathbf{q}_{ij}) \, g^{-1} \)
   • 두 경우 모두 Gauge freedom(covariant)을 갖는다.
4. 양자화 조건
   • 안정적 결합을 위해 \(\Delta \mathbf{q}_{ij}\)가 나타내는 SU(2) 회전각은 FCC 격자 위상 대칭에 따라 \(\pi/6\)의 정수배로 양자화된다.
   • 이는 동역학적으로도 최소 에너지 조건임을, 격자 action의 변분 계산으로 정당화할 수 있다.

 

A3. 질량과 중력의 창발: 결합 압력 모델

1. 셀 면적 변수
   • 전체 빈 경계면 면적: \(\mathfrak A_s\) (한 Qaether 셀의 외부 반사 가능한 면적)
   • 결합당 막히는 면적: $$\mathfrak A_b \ll \mathfrak A_s \; \Longrightarrow\; \alpha \;\equiv\; \frac{\mathfrak A_b}{\mathfrak A_s} \ll 1$$
2. 남은 반사 면적
   • 셀 \(i\)가 \(m_i\)개 결합했다면 $$\mathfrak A_i(m_i) = \mathfrak A_s - m_i\,\mathfrak A_b = (1 - \alpha\,m_i)\,\mathfrak A_s$$
   • FCC 격자 최대 \(m_i=12\)에서도 \(\alpha m_i\ll1\) 이므로 \(\mathfrak A_i>0\).
3. 위상 토션 에너지 밀도 $$u_\theta(i) = \bigl|\Im(q_i)\bigr| = \sin\!\Bigl(\tfrac{\theta_i}{2}\Bigr) \;\in[0,1]$$
4. 기준 압력 \(p_0\)
   • 단위 면적당 100% 반사 시 받는 압력”을 정의하면 다음과 같다. $$p_0 = 2\,u_{\theta,0} \;=\; \frac{3\hbar c}{l_p^4}$$
   • 막힌 영역(\(m_i\,\mathfrak A_b\))에는 위상파가 닿지 않으므로 압력 0.
5. 국소 유효 압력 $$\boxed{ P_i(m_i,\theta_i) = p_0 \;\frac{\mathfrak A_i(m_i)}{\mathfrak A_s}\;u_\theta(i) = p_0\,(1 - \alpha\,m_i)\,\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta_i}{2}\Bigr) }$$
   • \(m_i=0,\;\theta_i=\pi\) 시 최대 \(P_i=p_0\).
6. 표면 질량-면밀도
   • 플랑크 두께 \(l_p\)를 “thick-to-thin” 인자로 취하여 $$\sigma = \frac{p_0\,l_p}{c_{\rm eff}^2}, \quad c_{\rm eff}\simeq c$$
   • 단위: 질량/면적
7. 국소 관성 모멘트
   • 열려 있는 면적 \(\mathfrak A_i(m_i)\)에서만 \(\sigma\)가 작용하므로 $$I_i(m_i) =\int_{\mathfrak A_i(m_i)}\!\sigma\,r^2\,dA \;\approx\; \frac{p_0\,l_p}{c^2}\;l_p^2\,\mathfrak A_i(m_i) =\frac{p_0\,l_p^3}{c^2}\,(1-\alpha m_i)\,\mathfrak A_s$$ \(m_i=0\) 일 때 $$I_0 = \frac{p_0\,l_p^3}{c^2}\,\mathfrak A_s = \frac{3\hbar}{c\,l_p}\,\mathfrak A_s$$ 따라서 $$\boxed{I_i(m_i) = I_0\,(1 - \alpha\,m_i),}$$ \(\alpha\ll1,\;m_i\le12\) 이므로 1차 근사 정확도 <1%.

 

A4. 유효 시간의 정의

1. 쿼터니언 격자 미분
   • 셀 \(i\)의 내부 쿼터니언을 다음과 같이 두자. $$q_i = n^0_i + n^1_i\,\mathbf{i} + n^2_i\,\mathbf{j} + n^3_i\,\mathbf{k}$$
   • 그리고 이웃 셀 \(j\)와의 차분을 다음과 같이 정의한다. $$\Delta q_{ij} = q_j q_i^{-1}$$ (\(\Delta q_{ij}\)는 SU(2) 군원소)
   • 격자 공간 방향의 차분을 다음과 같이 쓰고 각 방향별로 계산한다.  $$\nabla_\mu q_i = \frac{1}{2l_p}\bigl[\log(\Delta q_{i+\mu,i}) - \log(\Delta q_{i-\mu,i})\bigr] = \frac{1}{2l_p} \left[ \log(q_{i+\mu} q_i^{-1}) - \log(q_{i-\mu} q_i^{-1}) \right]$$
     • 여기서 \(\log\)는 SU(2) 쿼터니언에 대한 행렬 로그(리대수 SU(2) 원소)
     • \(\log(q_{i+\mu} q_i^{-1}) = i\,\mathbf{n}_{i+\mu,i}\, \frac{\theta_{i+\mu,i}}{2}\) 꼴이 됨.
     • 행렬 로그 취할 때, \(\Delta q\)의 회전축·각(\(\theta\))를 복원한 뒤 principal branch \(\theta\in(-\pi,\pi]\)로 자동 조정하여 \(\pm2\pi\) 불연속을 제거.
   • 노름(norm): 쿼터니언 차분의 norm을 $$\|\nabla q_i\|= \sqrt{\sum_\mu -\tfrac12\mathrm{Tr}(\nabla_\mu q_i\,\nabla_\mu q_i)}$$ 으로 정의합니다. 여기서 \(\|q\|\)는 쿼터니언의 표준 유클리드 노름, 즉 $$\|q\| = \sqrt{ (n^0)^2 + (n^1)^2 + (n^2)^2 + (n^3)^2 }$$ 
2. 국소 "속도" (Quaternion field gradient) $$\mathbf{v}_i = \frac{c}{\Omega_0}\, \|\nabla q_i\|, \qquad \Omega_0 = \frac{2\pi c}{l_p}$$ 또는 \(c\)와 \(l_p\)로 $$\mathbf{v}_i = \frac{l_p}{2\pi}\, \|\nabla q_i\|$$ 와 같이 쓸 수 있습니다.
3. Proper-time 요소 $$d\tau_i = t_p\, \sqrt{ 1 - \frac{\|\nabla q_i\|^2}{\Omega_0^2} }$$ 혹은 위와 동치로, $$d\tau_i = \frac{t_p}{\Gamma_i}, \quad \Gamma_i = \frac{1}{\sqrt{1 - \|\mathbf{v}_i\|^2 / c^2 }}$$
   • UV 극한(\(\|\nabla q_i\|\to0\))에서 \(d\tau_i = t_p\)
   • IR 극한(\(\|\nabla q_i\|\ll \Omega_0\))에서 Lorentz 대칭 복원
4. 블록 유효시간
   • 블록 B에서 $$\Delta T_{\rm eff}(B) = \frac{1}{|B|} \sum_{i\in B} d\tau_i$$
   • 권장: time-step = \(\min_{i\in B}d\tau_i\), 평균 최대는 보조옵션
5. 전역(좌표)시간
   • 쿼터니언 링크(ij)에 대해 $$\delta t_{ij} = \frac{l_p}{c}\,\Gamma_{ij}, \qquad \Gamma_{ij} = \tfrac12 (\Gamma_i + \Gamma_j)$$
   • 경로 상 총 왕복 시간 $$t_{r\leftrightarrow i} = 2\sum_{\text{path } r\to i} \delta t_{jk}$$
   • 셀 \(i\)의 전역 좌표시간 $$t_i = \tau_r + \tfrac12\,t_{r\leftrightarrow i}, \quad (\tau_r = \sum_{\text{steps up to }r} d\tau_i)$$
6. 게이지 불변성/물리적 해석
   • \(\log(q_{i+\mu} q_i^{-1})\)는 site gauge 변환에 대해 $$q_i \;\to\; g_i q_i \;\Longrightarrow\; \Delta q_{i+\mu,i}\to g_{i+\mu}\,\Delta q_{i+\mu,i}\,g_i^{-1},\quad \log(\Delta q_{i+\mu,i})\to g_{i+\mu}\,\log(\Delta q_{i+\mu,i})\,g_i^{-1}$$
   • 이므로, 노름 자체는 게이지 불변.
   • 로그 차분의 크기는 SU(2) 군원소의 실제 위상 변화량(국소 회전각)의 총합을 의미하며, 곧 국소 곡률, 토션, 에너지 밀도 등과 직접적으로 연결 됨.
   • IR/UV 극한에서 Lorentz 대칭 및 causal structure 자동 복원.

 

Ax. 상호작용의 통합: 게이지 공변성

• 물리적 힘(상호작용)은 링크 변수에 게이지장(Gauge Field)을 결합하는 형태로 나타난다.
• 공변 링크 변수 (Electroweak Force): $$ \Xi_{ij} = (\mathbf{q}_j \mathbf{q}_i^{-1}) \cdot \exp\bigl[-i(g'A_{ij} + g\mathcal{A}_{ij})\bigr] \in SU(2) $$
  • \(A_{ij}\)는 U(1) 게이지 퍼텐셜, \(\mathcal{A}_{ij}\)는 SU(2) 게이지 퍼텐셜 링크이다.
  • 이로써 전약력(Electroweak Interaction, SU(2)×U(1))이 이론에 자연스럽게 내장된다. 강력(Strong Interaction)은 A8에서 정의된다.

 

Ax. 스핀(Spin)의 정의

• 내재적 속성: 모든 Qaether는 SU(2) 구조로 인해 근본적으로 스핀 \(\hbar/2\)의 자유도를 갖는다.
• 입자의 총 스핀:
  • 렙톤 (\(\mathbf{q}_\ell=-1\)): 2D 루프의 위상 꼬임으로 인해 유효 스핀이 \(\hbar/2\)로 나타난다.
  • 바리온 (\(B_V=\pm1\)): 3D 위상 결함 내 스핀들의 복합적인 정렬 결과로 총 스핀이 \(\hbar/2\) 등으로 나타난다.
  • 매개 입자 (\(\mathbf{q}_\ell=+1\)): 위상 꼬임이 없어 유효 스핀이 정수(\(0, \hbar\))로 나타난다.

 

Ax. 전하의 정의

1. 위상기하학적 정의
   • Qaether 셀 쿼터니언 \(q_i\)의 실수부(\(\cos(\theta_i/2)\)) 위상 각도를 두 이웃 간 차이로 추출하면 U(1) 위상차가 정의된다.
   • 격자 위의 임의 루프 \(\ell\)를 따라 실수부 위상차를 모두 더하면, 해당 루프가 \(S^1\) 섬유를 감은 횟수(정수 winding number)가 곧 전하량 \(Q_\ell = e n_\ell\)이 된다. $$Q_\ell = e \cdot n_\ell,\qquad n_\ell = \frac{1}{\pi} \sum_{(ij)\in\ell} \arg\left(\frac{\Re(q_j)}{\Re(q_i)}\right)$$  
   • 이 때, winding number \(n_\ell\)는 항상 정수로 양자화된다.
2. 쿼터니언 내부 구조와 위상 분해
   • 각 Qaether 셀의 내부 자유도는 $$\mathbf{q}_i = \cos\!\Bigl(\frac{\theta_i}{2}\Bigr) + \sin\!\Bigl(\frac{\theta_i}{2}\Bigr)\,\mathbf{n}_i\cdot\mathbf{i}$$ 로 SU(2) 위상 공간(=3-구면) 위에 놓인다.
   • 여기서
     • 실수부\((q_i^0): \cos(\theta_i/2)\),
     • 벡터부\((\vec{q}_i): \sin(\theta_i/2)\,\mathbf{n}_i\).
3. 쿼터니언 결합 위상차와 U(1) 위상
   • 이웃 셀 \(i, j\) 간의 쿼터니언 위상차는 $$\Delta q_{ij} = q_j q_i^{-1}$$ 로 정의된다.
   • 이 \(\Delta q_{ij}\)는 일반적으로 SU(2) 군원소이지만, 그 실수부(스칼라 부위) $$\Re(\Delta q_{ij}) = \cos\!\Bigl(\frac{\Delta\theta_{ij}}{2}\Bigr)$$ 만 추출하면, U(1) 위상차 (전기적 전하의 기원)가 된다.
   • \(\Delta\theta_{ij}\)는 \(\Delta\theta_{ij} = \theta_j - \theta_i\)(또는 위상 각도의 차이)로 정의된다.
4. 루프 홀로노미와 전하 정수화
   • 격자 위에 임의의 닫힌 2D 루프 \(\ell\)를 잡았을 때, 해당 루프를 따라 실수부 위상차를 모두 합산하면 $$\Phi_\ell = \sum_{(ij)\in\ell} \arg \Re(q_j) - \arg \Re(q_i) = \sum_{(ij)\in\ell} \frac{\Delta\theta_{ij}}{2}$$ (여기서 \(\arg \Re(q)\)는 \(\cos(\theta/2)\)의 위상 각도.)
   • 이 루프 위상 \(\Phi_\ell\)가 한 바퀴 \(2\pi\)의 정수배만큼 감기면, 정수 winding number \(n_\ell\)로 \(\Phi_\ell = \pi n_\ell\)가 되며, 이 winding number가 곧 루프 입자의 전하수(전기적 전하량)가 된다.
   • 즉, 입자 루프가 실수부 U(1) 위상섬유를 n번 감으면, 정수 전하를 갖는다. (e: 기본 전하량)$$Q_\ell = e\cdot n_\ell, \quad n_\ell\in\mathbb{Z}$$  $$\boxed{ \text{입자 루프가 실수부 U(1) 위상섬유를 n번 감으면, 정수 전하를 갖는다} }$$

 

Ax. 색전하의 정의

1. 글루온의 구조 (Y-패턴 색결합의 기초 구조)
   • 셀 배치 및 내부 위상 변수
     • 격자 내 기준 셀 O와, 그 인접 3개 셀 R, G, B (Red, Green, Blue)를 선택하여 Y자형 패턴을 이룸.
     • 각 셀은 내부 SU(2) 쿼터니언 위상 \(q_O, q_R, q_G, q_B \in SU(2)\)를 가진다. $$q_X = n^0_X + n^1_X\,\mathbf{i} + n^2_X\,\mathbf{j} + n^3_X\,\mathbf{k}$$
   • 결합 링크 및 위상차
     • 셀 O에서 R, G, B 방향으로 뻗는 3개의 링크에 대해 \(\Delta q_{O\alpha} = q_\alpha\, q_O^{-1} \qquad (\alpha = R, G, B)\)를 정의한다.
     • 각 링크는 SU(2) 군원소이며, FCC 격자 내 특정 방향을 따라 선택된 이웃을 의미.
2. 위상 보존(색중성)과 양자화 조건
   • 중성(플럭스 합 0) 조건
     • 3개 링크의 결합 위상차의 합이 항상 0이 되어야 함:$$ \Delta q_{OR} + \Delta q_{OG} + \Delta q_{OB} = 0 $$
     • 이는 SU(3) 색공간의 \(\mathrm{Tr}=0\) (traceless) 조건과 동형.
     • 물리적으로는 바리온 내에서 색플럭스가 완전히 폐합되어 색중성(색가둠)이 구현됨.
   • 위상차 이산화 (\(\pi/6\) 양자화)
     • 각 링크의 위상차 크기는 $$\|\Delta q_{O\alpha}\| = n_\alpha \frac{\pi}{6}, \qquad n_\alpha \in \mathbb{Z}$$와 같이 FCC 격자의 대칭 및 최소 위상 단위에 따라 불연속적으로 양자화 된다.
3. Lie-log 변환 및 SU(3) 임베딩
   • SU(2) → su(2) Lie-log 변환
     • 각 SU(2) 링크를 su(2) 리대수로 변환:$$X_{O\alpha} = \frac{1}{2i}\ln(\Delta q_{O\alpha}) \in su(2)$$
     • 로그의 branch는 양자화 조건에 따라 \([-\pi/3,\,\pi/3]\) 내에서 선택한다.
   • SU(3) 색공간 임베딩 (기준축 변환)
     • Y-패턴의 세 방향을 SU(3) 색공간의 겔만 행렬(\(lambda_1, \lambda_4, \lambda_6\)) 방향과 맞추기 위해,
     • 각 방향별 unitary 행렬 \(U_\alpha\)를 정의:$$\begin{aligned} U_R &= I \quad\text{(Red 방향 기준축)} \\ U_G &= \exp(i\pi\lambda_2/2) \\ U_B &= \exp(i\pi\lambda_5/2) \end{aligned}$$
     • 이를 이용해, 각 링크별 su(2) 대수를 SU(3) 대수로 임베딩:$$\widetilde X_{O\alpha} = U_\alpha X_{O\alpha} U_\alpha^{-1} \in su(3)$$
     • 이 임베딩 방식은 FCC 격자의 Y-패턴 위상 결함이 SU(3) 색공간의 세 축으로 자연스럽게 맵핑됨을 의미한다.
4. 관측가능 색전하와 8개 글루온 모드
   • 색전하(Cartan 성분) 정의
     • SU(3)의 두 Cartan 생성자(\(\lambda_3, \lambda_8\)) 방향으로 사영하여 관측가능 색전하를 정의:$$C_O^a = \frac{1}{g_s}\operatorname{Tr}\left[ \lambda^a \sum_\alpha \widetilde X_{O\alpha} \right], \quad a = 3,8$$
     • 바리온 색중성 조건(\(\sum_\alpha \Delta q_{O\alpha}=0\))에 의해 \(C_O^a=0\)이 항상 성립.
   • 8개 글루온 모드 생성
     • 임베딩된 \(\widetilde X_{OR}, \widetilde X_{OG}, \widetilde X_{OB}\)를 바탕으로, 대칭·직교조합을 취해 8차원 SU(3) 글루온 기저 생성:\(\begin{aligned} G_1 &= \widetilde X_{OR} - \widetilde X_{OG}, \\ G_4 &= \widetilde X_{OR} - \widetilde X_{OB}, \\ G_6 &= \widetilde X_{OG} - \widetilde X_{OB}, \\ &\cdots\quad \text{(나머지 5개도 유사 조합)} \end{aligned}\)
     • 각 \(G_a\)는 겔만 행렬 \(\lambda_1~\lambda_8\) 방향으로 사영되어 표준 글루온장 \(A_\mu^{1\sim8}\)와 일대일 대응된다.
5. 공변 링크 변수와 색가둠
   • 공변링크(글루온 퍼텐셜) 도입
     • 각 Y-패턴 링크에 색게이지 퍼텐셜을 결합해 게이지 공변 링크 변수를 정의:$$\Xi_{O\alpha} = \Delta q_{O\alpha}\, \exp\left[ -i g_s \mathcal{G}_{O\alpha} \right] \in SU(3)$$
     • \(g_s\): 색결합 상수
     • \(\mathcal{G}_{O\alpha} \in su(3)\): 링크별 글루온 퍼텐셜
   • 색가둠(Gauss 법칙) 조건
     1. 바리온 내부 세 링크의 곱은 반드시 항등원이 되어야 한다:$$ \Xi_{OR}\, \Xi_{OG}\, \Xi_{OB} = \mathbf{1}_{3\times 3}$$
     2. 이는 플럭스 보존·색중성·색가둠(Confinement)을 위상적으로 구현하는 조건임.
6. 공식 요약 $$\begin{aligned} &\Delta q_{O\alpha}=q_\alpha\,q_O^{-1} \quad (\alpha=R,G,B),\quad \sum_\alpha \Delta q_{O\alpha}=0\\[4pt] &\|\Delta q_{O\alpha}\|=n_\alpha\frac{\pi}{6},\quad n_\alpha\in\mathbb{Z}\\[4pt] &X_{O\alpha}=\frac{1}{2i}\ln(\Delta q_{O\alpha}),\quad \widetilde X_{O\alpha}=U_\alpha X_{O\alpha} U_\alpha^{-1}\\[4pt] &C_O^{a}=\frac{1}{g_s}\mathrm{Tr}\left[\lambda^a\sum_\alpha \widetilde X_{O\alpha}\right],\quad (a=3,8)\\[4pt] &G_a=\text{직교조합}(\widetilde X_{OR},\widetilde X_{OG},\widetilde X_{OB}),\quad(a=1,\dots,8)\\[4pt] &\Xi_{O\alpha}=\Delta q_{O\alpha}\exp(-ig_s\mathcal{G}_{O\alpha}),\quad \Xi_{OR}\Xi_{OG}\Xi_{OB}=1 \end{aligned}$$

 

Ax. 광자의 정의

1. 광자(photon)의 정의: 격자 위상 전파모드
   • 광자(Photon)는 Qaether 격자의 링크(link) 위상 전파 모드로 정의된다.
   • 각 이웃 셀 \(i,j\) 사이 링크 위상 변수에 내재된 U(1) 자유도 \(A_{ij}\)의 작은 진동이 곧 광자장이다.
2. 수학적 형식화
   • U(1) 링크 변수 $$\Xi_{ij} \;=\; \bigl(q_j\,q_i^{-1}\bigr)\;\exp\bigl[-\,i\,g'\,A_{ij}\bigr] \;\in\;SU(2) \quad\longrightarrow\quad \exp\bigl[-\,i\,g'\,A_{ij}\bigr]\;\in\; U(1)$$ 여기서 \(A_{ij}\)는 링크별 U(1) 게이지 퍼텐셜이다.
   • 광자 전파:\(A_{ij}\)가 시간·공간 방향으로 진동하면, 이산 라그랑지안에서$$\sum_{\square_{ijkl}}(A_{ij}+A_{jk}+A_{kl}+A_{li})^2$$ 형태의 항이 생성되어 연속극한에 Maxwell 장전하 밀도 ∝\(\propto(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)^2\) 로 귀결된다.
3. 물리적 성질
   • 비질량성: 질량항이 없으므로, 광자는 0질량 보존 입자로 전파된다.
   • 스핀-1 및 편광: U(1) 게이지 보존 입자로서, 전파 방향에 수직한 두 개의 횡방향 편광 모드를 갖는다.
   • 선형 분산 관계: 연속극한에서 \(\omega = c\,|\mathbf{k}|\)를 회복하며, c는 진동 속도(빛속)이다.
   • 국소 게이지 불변성: \(A_{ij}\to A_{ij} + \alpha_j-\alpha_i\) (국소 위상 변화) 아래 물리 관측량 \(F_{ij}\)는 불변이다.
4. 연속극한 정합성
   • \(l_p\to0\) 연속극한에서 Maxwell Lagrangian $$\displaystyle \mathcal{L}_{\rm EM} = -\tfrac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$ 를 정확히 재현하며, 표준 양자전기역학(QED)으로 매끄럽게 연결된다.

 

Ax. 입자의 구성: 2D 루프와 3D 위상 결함

1. 2차원 루프 (렙톤과 보손):
   • 정의: Qaether 링크로 형성된 닫힌 2차원 평면 루프(\(\ell\)).
   • 홀로노미(Holonomy): 루프를 한 바퀴 돌았을 때의 총 쿼터니언 곱. 이는 루프의 위상적 꼬임 정도를 나타낸다.$$ \mathbf{q}_\ell = \prod_{(ij)\in\ell} \Delta\mathbf{q}_{ij},\quad \mathbf{q}_\ell  \in \{+1, -1\} $$
   • 입자 분류:
     • \((\mathbf{q}_\ell = +1)\): 보손 (Boson). 위상적 꼬임이 없어 정수 스핀을 갖는다. (예: WZ보손)
     • \((\mathbf{q}_\ell = -1)\): 렙톤 (Lepton). 위상적 꼬임이 존재하여 반정수 스핀을 갖는다. (예: 전자)
2. 3차원 위상 결함 (바리온):
   • 정의: FCC 격자 내 정사면체 또는 정육면체와 같은 체적(Volume) (V)에 걸쳐 형성된 쿼터니언 필드의 위상학적 꼬임(Topological Twist). 이는 스카이미온(Skyrmion)과 유사한 구조이다.
   • 바리온 수 (Baryon Number): 이 3차원 꼬임의 정도는 와인딩 수(Winding Number)라는 정수값으로 양자화된다. $$ B_V = W_V = \frac{1}{24\pi^2}\int_V \operatorname{Tr}\bigl[(\mathbf{q}^{-1}d\mathbf{q})^3\bigr] \in \mathbb{Z} $$
   • 입자 분류:
     • \((B_V = +1)\): 바리온 (Baryon) (예: 양성자, 중성자)
     • \((B_V = -1)\): 반바리온 (Antibaryon)
     • \((B_V = 0)\): 중간자(Meson), 렙톤 등

 

Ax. 시스템 동역학 방정식

• 시스템의 전체 동역학은 쿼터니언 필드 \(\mathbf{q}(x)\)에 대한 라그랑지안(Lagrangian)으로 기술된다.
  $$ \mathcal{L} = \frac12\,\operatorname{Tr}(\partial_\mu q^{-1}\,\partial^\mu q) \;+ \;\sum_{i<j}U_{ij}(q_i,q_j) \; + \mathcal{L}_{\text{Skyrme}} + \mathcal{L}_{\text{WZW}} + \mathcal{L}_{\text{Gauge}} $$
• 각 항의 역할:
  • \(\mathcal{L}_{\text{Kinetic}} \sim \operatorname{Tr}(\partial_\mu \mathbf{q}^{-1} \partial^\mu \mathbf{q})\): 필드의 운동 에너지.
  • 유효 결합 에너지 항 \(U_{ij}\):$$ U_{ij}(q_i,q_j) = K_{ij}\bigl[1 - \Re \operatorname{Tr} (q_j\,q_i^{-1})\bigr], \quad K_{ij} = K_0\,\exp\!\Bigl[\beta\,\frac{m_i+m_j}{2}\Bigr]$$
    • \(\beta\): 셀 결합수 증가에 따른 커플링 증폭률
    • \(m_i\): Qaether 셀 \(i\)의 결합수
    • 직관: 두 셀의 상대 위상 불일치를 스프링 토크처럼 줄이려는 메커니즘
  • \(\mathcal{L}_{\text{Skyrme}}\): 3D 위상 결함(바리온)이 붕괴하지 않고 안정적인 크기를 갖도록 보장.
  • \(\mathcal{L}_{\text{WZW}}\): 페르미온의 통계적 성질과 관련된 위상적 효과를 올바르게 기술.
  • \(\mathcal{L}_{\text{Gauge}}\): 게이지장(힘)과의 상호작용을 포함.
  • 연속극한 정합:
    이 유효 결합 에너지 항과 게이지 결합항이 합해져, 표준모형의 페르미온·보손·글루온 동역학 방정식과 정확히 일치.

 

Ax. 이론의 계층적 구조 요약

Void (경계) → S³-Qaether (기본 구성) → FCC 격자 (공간) → 루프 & 꼬임 (입자) → 결합 압력 (질량/중력) → 국소 동역학 (시간) → 상호작용 (힘)