격자 게이지 이론이란

Background

Qaether Theory 2025. 8. 7. 19:24

Qaether 이론은 실제 격자게이지 이론과 비슷한 부분이 많아 간단히 언급하고 가도록 하겠다.

1. 개요

목적: 연속적인 시공간에서 정의되는 게이지 이론(예: 양자색역학 QCD)을 유한한 격자 위에 이산화함으로써 비섭동(non-perturbative) 해석과 수치적 계산(몬테카를로 시뮬레이션 등)을 가능하게 함.
역사: 1974년 K. Wilson이 제안. 격자 위에 게이지 장을 정의하고, Wilson 작용을 도입하여 컨피먼트(confinement) 문제를 비섭동적으로 연구할 수 있게 함.

격자
- d차원 정사각/정육면체 격자(lattice) 위의 정점(site) 집합 $\{n\}$.
- 격자 간격을 $a$라 놓고, 연속극한에서는 $a\to0$.
링크 변수 (Link variable)
- 각 인접 정점 $n$과 $n+\hat\mu$를 잇는 간선(link)에 군 원소 $U_{n,\mu}\in G$를 부여.
- 보통 $G=U(1),\,SU(N)$.
- 게이지 불변 변환: $$U_{n,\mu}\;\longrightarrow\; \Omega_n\,U_{n,\mu}\,\Omega_{n+\hat\mu}^{-1}, \quad \Omega_n\in G$$

최소 폐회로(plaquette) $\Box_{n,\mu\nu}$에서의 홀로노미 $$U_{\Box} = U_{n,\mu}\;U_{n+\hat\mu,\nu}\;U_{n+\hat\nu,\mu}^{-1}\;U_{n,\nu}^{-1} \;\in G$$
순수 게이지장 작용: $$S_W = -\frac{\beta}{N}\sum_{n}\sum_{\mu<\nu} \Re\operatorname{Tr}\;U_{\Box_{n,\mu\nu}}, \qquad \beta=\frac{2N}{g^2}\ \ (\text{SU}(N)\text{의 경우})$$ 이는 연속극한 $a\to0$에서 $$\Re\operatorname{Tr}\,U_\Box \approx \operatorname{Tr}\bigl(1 - \tfrac{a^4}{2}F_{\mu\nu}^2\bigr)$$로 확장되어 전통적 Yang–Mills 작용 $\propto\int d^dx\,\operatorname{Tr}\,F_{\mu\nu}^2$를 복원함.

격자 경로적분: 장의 자유도는 모든 링크 변수 $U_{n,\mu}$. $$Z = \int \Bigl[\prod_{n,\mu}dU_{n,\mu}\Bigr]\, e^{-S_W[U]}\,$$
몬테카를로 시뮬레이션: 중요도 표본추출(importance sampling)으로 $Z$와 관측값(예: Wilson loop)의 기대값 계산.

폐곡선 $C$를 따라 곱한 홀로노미 $$W(C) = \operatorname{Tr}\prod_{(n,\mu)\in C} U_{n,\mu}$$
영역 법칙(area law) $$\langle W(C)\rangle \sim e^{-\sigma\,\mathrm{Area}(C)}$$꼴이면 색전하 간 선형 퍼텐셜 $V(R)\sim\sigma R$를 의미하며, 컨피먼트의 비섭동적 지표가 됨.

무차원화: 격자 간격 $a$를 단위로 물리량을 재규격화.
임계점 접근: $\beta\to\beta_c$ (또는 $g\to0$)에서 유효 격자 간격 $a\to0$, 물리적 상관 길이 $\xi\gg a$ 성립.
재규격화 군 흐름을 통해 연속 이론의 상수 $g(\mu)$ 등을 예측.

격자 게이지 이론은 게이지 장의 비섭동적 현상을 수치적으로 다루기 위한 강력한 틀입니다.

연속극한에서 전통적 연속 이론과 일치하며, 현재 비정준적 QCD, 상전이, 물질계 모델 등 다양한 분야에서 핵심 도구로 활용되고 있습니다.