Research Diary
격자게이지 이론에서 플라켓 위상차 양자화 모델을 이용한 SU(3) 게이지 대칭 창발
Qaether Theory
2025. 7. 26. 14:05
플라켓 위상차 양자화 모델에서 SU(3) 게이지 대칭 창발 과정을 단계별로 정리한 내용입니다.
1. 가정 및 출발점
- 플라켓 위상합 평탄 조건$$\Theta_{\mu\nu}(x) = \theta_\mu(x) + \theta_\nu(x+\hat\mu) - \theta_\mu(x+\hat\nu) - \theta_\nu(x) = 0 \quad (\bmod\,2\pi)$$
- 링크 위상 양자화$$\theta_\mu(x) = n_\mu(x)\,\delta,\quad n_\mu(x)\in\mathbb Z,\quad \delta = \frac{2\pi}{N} \quad (N≥3\;\text{일 때 충분한 이산화 단위로 SU(3) 연속극한으로의 부드러운 연결 가능})$$
이로써 각 링크는 \(\mathbb Z_N\) 값으로 제한되고, 플라켓마다 “이산 곡률”이 0이 되며 순수 게이지 해(pure gauge)를 이룹니다.
2. 플라켓 위상차의 순열과 동치류
- 4개의 위상값 {a,b,c,d}을 플라켓 주위를 따라 임의로 배치할 때 가능한 순열 수는 4! = 24가지.
- 이 중 순환 대칭(\(\mathbb Z_4\))과 반전 대칭(\(\mathbb Z_2\))을 동치로 묶으면\(\frac{4!}{4\times2} = 3\)개의 독립 동치류만 존재.
- 이 3개 동치류를 각각 SU(3) 기본 표현의 세 가지 색전하 채널에 대응시킬 수 있는 기반이 된다.
3. 동치류 ↔ SU(3) weight 벡터 매핑
| 동치류 | 대표 순열 | 대응 weight \(\omega\in\) Cartan 공간 |
| Ⅰ | (a,b,c,d) | $$\omega_1=(1,0)$$ |
| Ⅱ | (a,b,d,c) | $$\omega_2=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2})$$ |
| Ⅲ | (a,c,b,d) | $$\omega_3=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2})$$ |
- 3개의 동치류가 곧 SU(3) 기본 표현의 weight 3개와 일대일 대응.
- Weyl 군 \(S_3\) 작용(순환·반전)이 weight 벡터의 순열·반전에 대응.
4. 대각 SU(3) 링크 변수 해석
- 부록 A에서 정의한 두 생성자 Cartan \(H_1, H_2\)를 이용해 $$\omega_k \cdot H(x)= \omega_k^1\;H_1 + \omega_k^2\;H_2, \quad k=1,2,3$$
- 이에 대응하여 대각링크변수는 $$ U_\mu(x) = \exp\bigl(i\,\delta\,(\omega_k^i H_i)\bigr)$$
- 국소 게이지 변환$$U_\mu(x)\;\to\;G(x)\,U_\mu(x)\,G^{-1}(x+\hat\mu),\quad G(x)\in SU(3)$$→ 세 가지 weight 성분이 서로 섞이며 완전한 SU(3) 자유도가 창발.
5. 창발적 SU(3) 대칭의 확인
- Lie 대수 구조:
Cartan 생성자 \(H_i\)와 뿌리 생성자 \(E_{\pm\alpha}\)들이 \([H_i,E_{\alpha}]=\alpha_iE_{\alpha},[E_{\alpha},E_{-\alpha}]=\alpha_iH_i\) 관계를 만족. - Weyl 군:
플라켓 순열·반전이 SU(3) weight의 Weyl 반사를 재현. - Wilson loop(플라켓 행렬)
$$\,U_{\mu\nu}(x)=\exp(i\Theta_{\mu\nu}(x)) \to \text{비대각 방향 결합을 추가} \to \text{완전한 SU(3) 게이지 이론}$$
6. 오프‑대각 게이지 자유도 도입
- 전체 SU(3) 링크 변수
Cartan 부분 \(H\) 외에 오프‑대각 방향의 뿌리 생성자 \(E_{\pm\alpha}\)를 포함하여$$U_\mu(x) = \exp\!\Bigl[i\,\delta\,H(x) \;+\; i g \sum_{\alpha=1}^6 A_\mu^{\alpha}(x)\,E_{\alpha}\Bigr] \;\in SU(3)$$- \(A_\mu^\alpha(x)\)는 오프‑대각 게이지장 컴포넌트.
- g는 게이지 결합 상수.
- 유효 작용 (Wilson 격자 작용)$$S_{\rm gauge} = \frac{1}{g^2}\sum_{x,\mu<\nu}\Re\operatorname{Tr}\bigl[1 - U_{\mu\nu}(x)\bigr], \quad U_{\mu\nu}(x)=U_\mu(x)U_\nu(x+\hat\mu)U_\mu^\dagger(x+\hat\nu)U_\nu^\dagger(x)$$
- 연속 극한(\(a \to 0\)) 에서 $$\Re\operatorname{Tr}[1-U_{\mu\nu}]\approx \frac{a^4}{2}\,F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}$$
- 페르미온(쿼크) 장 도입$$S_{\rm matter} = \sum_{x,y}\bar\psi(x)\,\bigl[D_{xy}[U]+m\,\delta_{xy}\bigr]\,\psi(y)$$ $$D_{xy}[U] = \frac12\sum_\mu\Bigl[\,(1-\gamma_\mu)U_\mu(x)\,\delta_{y,x+\hat\mu} +(1+\gamma_\mu)U_\mu^\dagger(x-\hat\mu)\,\delta_{y,x-\hat\mu}\Bigr]$$
7. 플라켓 결함(\(\Theta \ne0\))과 색전하 소스
- 결함 국소화
일부 플라켓에서
$$\Theta_{\mu\nu}(x)=2\pi\,q_{\mu\nu}(x)\neq0, \quad q\in\mathbb Z$$로 두어 “이산 자기장” 결함을 삽입. - 색전하 소스 항
결함 위치 \(x\)의 dual lattice site \(\tilde x\)에 대응해$$S_{\rm source} = i\sum_{\tilde x,a} \,\rho^a(\tilde x)\,\phi^a(\tilde x)$$- \(\rho^a\): 색전하 밀도(결함량),
- \(\phi^a\): dual gauge potential (플럭스 튜브 양상).
- 수론방정식
변분원리에서
$$\delta S_{\rm gauge}/\delta U + \delta S_{\rm source}/\delta U = 0$$
⇒ 결함점 주위로 국소적인 비평탄(curvature) 영역이 형성.
8. 색전하 동역학과 가둠 메커니즘
- Wilson loop 관측량
닫힌 경로 \(C\)에 대한
$$\langle W(C)\rangle=\langle\operatorname{Tr}\prod_{l\in C} U_l\rangle$$
강결합(\(g\gg1\))에서
$$ \langle W(C)\rangle \;\sim\;(1/N)^{A(C)} \;\approx\;e^{-\sigma\,A(C)}, \quad \sigma = -\ln\bigl(1/N\bigr) $$
⇒ 면적 법칙(area law) 가둠. - 플럭스 튜브 모형
결함(쿼크) 사이를 잇는 “색 플럭스 튜브”가 형성되고, 선형 퍼텐셜 \(V(r)\approx\sigma\,r\) (장력 \(\sigma\)) 유도. - 격자 시뮬레이션 제안
- \(\rho^a(\tilde x)\)를 특정 색 채널(defect class)으로 할당.
- Monte Carlo를 통해 \(\Theta_{\mu\nu}\neq0\) 결함 삽입 시 Wilson loop 행동 변화 관측.
- 색전하 쌍 생성·소멸, 가두기 길이 스케일 추출.
부록: Cartan 정규화 보강
A. Cartan 생성자 정규화 및 Weight 매핑 보강
- SU(3) Cartan 생성자 표준형:$$H_1 = \tfrac12\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad H_2 = \tfrac{1}{2\sqrt3}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$$이때 $$\operatorname{Tr}(H_iH_j)=\tfrac12\delta_{ij}$$
- 동치류 대응 Weight 벡터를 Cartan 공간에서 \(\omega_k^i H_i \)로 매핑하여 \(\exp\bigl[i\delta(\omega_k^i H_i)\bigr]\)가 링크변수임을 보강.
B. Baker–Campbell–Hausdorff 전개로 Gluon 활성화 메커니즘
- Cartan 부분 \(X=i\delta (\omega\cdot H) \)와 뿌리 생성자 \(Y= i\,g\,A_\mu^\alpha E_\alpha \)에 BCH 공식을 적용: $$e^{X}Y\,e^{-X} = Y + [X,Y] + \tfrac12[X,[X,Y]] + \cdots = e^{i\delta\,\alpha_i\omega_i}\,E_\alpha $$
- 이를 통해 $$U_\mu(x) = e^{i\delta(\omega\cdot H)}\,e^{i\,g\,A_\mu^\alpha E_\alpha}$$ 에서 Cartan 성분과 off‑diagonal 뿌리 성분이 교차 작용하며, \(E_\alpha\) 방향 글루온이 활성화됨을 명시적으로 확인합니다.
C. 연속 극한 전개로 Yang–Mills 장강도장 \(F_{\mu\nu}\) 유도
- 플라켓 변수 $$U_{\mu\nu}(x) = U_\mu(x)\,U_\nu(x+\hat\mu)\,U_\mu^\dagger(x+\hat\nu)\,U_\nu^\dagger(x) = \exp\!\bigl(i\,a^2\,\mathcal F_{\mu\nu}(x) + \mathcal O(a^3)\bigr)$$
- 여기서 장강도 행렬 (\(\mathcal F_{\mu\nu} = F_{\mu \nu}^a T^a\): Lie 대수원소) $$\mathcal F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + i\,g\,[A_\mu,A_\nu], \quad A_\mu = A_\mu^\alpha\,E_\alpha + A_\mu^i\,H_i$$
- 따라서 Wilson 격자 작용 $$\displaystyle S_{\rm gauge}=\tfrac1{g^2}\sum\Re\operatorname{Tr}[1-U_{\mu\nu}]$$
- 연속극한에서 다음으로 귀결 $$S_{\rm gauge} \;\xrightarrow[a\to0]{}\; \int d^4x\;\tfrac12\,\operatorname{Tr}\bigl[\mathcal F_{\mu\nu}\,\mathcal F^{\mu\nu}\bigr]$$
D. 강결합 전개 및 면적 법칙 계수 계산
- 강결합(\(g\gg1\)) 영역에서 Wilson loop \( \displaystyle W(C)=\operatorname{Tr}\prod_{l\in C}U_l \)을 전개하면 최초 근사로 $$ \langle W(C)\rangle \;\sim\;(1/N)^{A(C)} \;\approx\;e^{-\sigma\,A(C)}, \quad \sigma = -\ln\bigl(1/N\bigr) $$
- 실제 수치는 몬테카를로 방법을 이용해서 확인필요.