[v2.1.3] Qaether의 공간정의 (쿼터니안 Vertex에 phase 배정)
Vertex quaternion과 induced edge transport로 정의되는 pure-gauge flat sector
본 연구의 기본 대상은, $1$-skeleton이 FCC 최근접 이웃 그래프에 실현되고, 그 elementary cycle들을 경계로 하는 triangular $2$-cell 및 square $2$-cell이 부착된 $2$-dimensional cellular complex $K$이다. 또한 $K$에는 geometric realization과 국소 bonding 정보를 기록하는 geometric data $\mathcal D$가 주어져 있다고 가정한다. 다만, 본 절에서 사용하는 quaternionic 구조와 flatness의 개념은 본질적으로 $K$의 cellular structure에 의해 결정되며, $\mathcal D$는 어떤 face들이 물리적으로 선택된 bonded face들인지를 해석하는 데 사용된다.
$K$의 $2$-cell들의 집합은
$$
K_2 = T \sqcup Q
$$
로 분해되며, 여기서 $T$는 triangular $2$-cell들의 집합이고, $Q$는 square $2$-cell들의 집합이다.
이제 vertex 변수는 가법적 위상값이 아니라 단위 쿼터니언
$$
Sp(1) := \{q \in \mathbb H \mid |q|=1\} \cong SU(2)
$$
값을 갖는다고 가정한다. $Sp(1)$은 곱셈에 대해 비가환군이므로, 아벨군값 cochain에서의 선형 coboundary $d:C^0\to C^1$를 그대로 사용할 수는 없다. 대신 본 절에서는 vertex quaternion으로부터 유도되는 상대 quaternion transport와 그 holonomy를 사용하여 flat sector를 기술한다.
각 unoriented $1$-cell에 대해 reference orientation을 하나씩 고정하고, oriented edge $\vec e$의 시작점과 끝점을 각각 $s(\vec e)$, $t(\vec e)$로 쓴다. 또한 각 $2$-cell에는 orientation을 하나씩 고정하고, 그 orientation에 의해 유도되는 boundary cycle을 사용한다.
1. Vertex quaternion configuration과 induced edge transport
vertex quaternion configuration space를
$$
\mathcal U(K) := \{u : K_0 \to Sp(1)\}
$$
로 정의한다. 즉, 각 vertex $v \in K_0$에 단위 쿼터니언
$$
u(v) \in Sp(1)
$$
를 배정한다.
이제 각 $u \in \mathcal U(K)$에 대하여, oriented edge $\vec e$를 따라 유도되는 edge transport를
$$
g_u(\vec e) := u\bigl(s(\vec e)\bigr)^{-1} u\bigl(t(\vec e)\bigr) \in Sp(1)
$$
로 정의한다.
그러면 임의의 oriented edge $\vec e$에 대하여
$$
\begin{aligned} g_u(\bar e) &= u\bigl(s(\bar e)\bigr)^{-1}u\bigl(t(\bar e)\bigr) = u\bigl(t(\vec e)\bigr)^{-1}u\bigl(s(\vec e)\bigr) = g_u(\vec e)^{-1}
\end{aligned}
$$
가 성립한다. 따라서 edge variable은 방향을 뒤집으면 역원으로 바뀌는 $Sp(1)$-값 transport로 볼 수 있다.
이에 따라 일반적인 edge configuration space를
$$
\mathcal A(K) :=
\{
g:E^{\mathrm{or}}(K)\to Sp(1)
\bigm|
g(\bar e)=g(\vec e)^{-1} \text{ for all oriented edges } \vec e
\}
$$
로 둔다. 여기서 $E^{\mathrm{or}}(K)$는 $K$의 oriented edge들의 집합이다.
이 모델의 induced sector에서는 edge variable이 독립 자유도가 아니라 vertex quaternion들의 상대값으로부터 유도되는 양이다.
2. Face holonomy와 induced sector의 자동 flatness
이제 oriented $2$-cell $f \in K_2$의 boundary orientation을 따라 순서대로 나열된 oriented edge들을
$$
\partial f = (\vec e_1, \dots, \vec e_m)
$$
라 쓰자. 여기서 $f \in T$이면 $m=3$, $f \in Q$이면 $m=4$이다.
임의의 $g \in \mathcal A(K)$에 대하여, $f$ 위의 face holonomy를
$$
F_g(f) := g(\vec e_1)g(\vec e_2)\cdots g(\vec e_m) \in Sp(1)
$$
로 정의한다.
$Sp(1)$은 비가환군이므로, 이 곱에서 edge들의 순서는 본질적이다. 또한 boundary cycle의 시작점을 바꾸면 위 곱은 일반적으로 켤레변환된다. 따라서 엄밀히 말하면 $F_g(f)$ 자체는 시작점 선택에 의존하지만, 조건
$$
F_g(f) = 1
$$
은 켤레불변이므로 잘 정의된다. 즉, face holonomy가 자명하다는 성질은 boundary cycle의 시작점 선택과 무관하다.
이제 $g=g_u$가 어떤 vertex quaternion $u$로부터 유도되었다고 하자. $f$의 boundary가
$$
v_0 \to v_1 \to \cdots \to v_m = v_0
$$
를 따라 돈다면,
$$
g_u(\vec e_j) = u(v_{j-1})^{-1}u(v_j) \qquad (j=1,\dots,m)
$$
이므로
$$
\begin{aligned}
F_{g_u}(f) = g_u(\vec e_1)\cdots g_u(\vec e_m) = u(v_0)^{-1}u(v_1) u(v_1)^{-1}u(v_2) \cdots u(v_{m-1})^{-1}u(v_0) = 1
\end{aligned}
$$
이 성립한다. 따라서 모든 triangular face와 square face에 대하여
$$
F_{g_u}(f) = 1
$$
가 성립한다. 즉, vertex quaternion으로부터 유도된 모든 edge transport는 모든 $2$-cell 위에서 flat하다.
특히 geometric data $\mathcal D$에 의해 선택된 tetrahedral 또는 octahedral bonded face들도 $K_2$의 부분집합으로 해석되는 한, 위 결과는 그 face들에도 그대로 적용된다.
여기서 중요한 점은, 이 closure가 triangular face이기 때문 또는 square face이기 때문이 아니라, edge transport가
$$
g_u(\vec e) = u(s(\vec e))^{-1}u(t(\vec e))
$$
의 형태로 유도되었기 때문에 자동으로 성립한다는 것이다.
3. closed edge loop에 대한 holonomy와 pure-gauge 성질
이제 based closed edge loop
$$
C = (\vec e_1, \dots, \vec e_n)
$$
를 생각하자. 이는
$$
t(\vec e_j)=s(\vec e_{j+1}) \quad (1\le j<n), \qquad t(\vec e_n)=s(\vec e_1)
$$
를 만족하는 oriented edge들의 유한열이다.
임의의 $g \in \mathcal A(K)$에 대하여, $C$를 따른 holonomy를
$$
\operatorname{Hol}_C(g) := g(\vec e_1)g(\vec e_2)\cdots g(\vec e_n) \in Sp(1)
$$
로 정의한다.
비가환군의 경우, 같은 기하학적 closed edge loop를 다른 시작점에서 읽으면 holonomy 값은 일반적으로 켤레변환된다. 따라서 자연스러운 gauge-invariant 정보는 holonomy의 켤레류이다. 그러나 조건
$$
\operatorname{Hol}_C(g) = 1
$$
은 켤레불변이므로, closed edge loop의 holonomy가 자명하다는 성질 자체는 시작점 선택과 무관하게 잘 정의된다.
만약 $g=g_u$가 vertex quaternion $u$로부터 유도되었다면, $C$가
$$
v_0 \to v_1 \to \cdots \to v_n = v_0
$$
를 따라 도는 닫힌 경로이므로
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Hol}_C(g_u) &= u(v_0)^{-1}u(v_1) u(v_1)^{-1}u(v_2) \cdots u(v_{n-1})^{-1}u(v_0) \
&= 1
\end{aligned}
$$
이 된다.
즉, vertex quaternion으로부터 유도된 edge transport는 임의의 closed edge loop에 대해서도 holonomy가 항상 $1 \in Sp(1)$이다. 따라서 induced sector에 속하는 configuration들은 모두 pure gauge이며, 비자명한 loop holonomy를 갖지 않는다.
반대로, $1$-skeleton이 연결되어 있을 때 임의의 $g \in \mathcal A(K)$가 모든 closed edge loop $C$에 대해
$$
\operatorname{Hol}_C(g) = 1
$$
를 만족하면, $g$는 어떤 $u : K_0 \to Sp(1)$에 대하여
$$
g(\vec e) = u(s(\vec e))^{-1}u(t(\vec e))
$$
의 꼴로 표현된다. 실제로 기준점 $v_0 \in K_0$를 잡고 $u(v_0)=1$로 둔 뒤, 임의의 vertex $v$에 대해 $v_0$에서 $v$까지 가는 path를 따른 ordered product로 $u(v)$를 정의하면, 모든 closed edge loop holonomy가 자명하므로 이 정의는 path-independent가 된다.
따라서 연결된 $1$-skeleton에서는
$$
\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K) = \{ g \in \mathcal A(K) \mid \operatorname{Hol}_C(g)=1 \ \text{for all closed edge loops } C \}
$$
가 성립한다.
즉, induced sector는 정확히 trivial loop holonomy를 갖는 pure-gauge sector이다.
4. 전역 왼쪽곱 중복과 reduced vertex configuration space
$Sp(1)$은 $\mathcal U(K)$ 위에 전역 왼쪽곱으로 작용한다:
$$
Sp(1) \curvearrowright \mathcal U(K), \qquad (a \cdot u)(v) := a u(v) \qquad (a \in Sp(1), \ v \in K_0).
$$
이 작용은 induced edge transport를 바꾸지 않는다. 실제로
$$ \begin{aligned} g_{a \cdot u}(\vec e) &= \bigl((a \cdot u)(s(\vec e))\bigr)^{-1} (a \cdot u)(t(\vec e)) \\ &= \bigl(a u(s(\vec e))\bigr)^{-1} \bigl(a u(t(\vec e))\bigr) \\ &= u(s(\vec e))^{-1} a^{-1} a u(t(\vec e)) \\ &= u(s(\vec e))^{-1} u(t(\vec e)) \\ &= g_u(\vec e) \end{aligned} $$
가 된다.
따라서 전역 왼쪽곱은 induced edge transport를 바꾸지 않는 parametrization redundancy이다. 이에 따라
$$
\mathcal U_{\mathrm{red}}(K) := \mathcal U(K) / Sp(1)
$$
를 reduced vertex configuration space로 둘 수 있다.
즉, 이 모델에서 vertex 변수의 절대 quaternion 값 자체는 중복이며, edge transport가 반영하는 것은 vertex들 사이의 상대 quaternion 관계이다.
다만 주의할 점은, $\mathcal U_{\mathrm{red}}(K)$는 어디까지나 vertex quaternion 기술에서 전역 중복만을 제거한 공간이며, 아래에서 도입할 일반적인 gauge-theoretic moduli space와는 개념적으로 구별되는 대상이라는 점이다.
5. Local gauge transformation과 일반 flat sector
이제 induced sector를 일반적인 $Sp(1)$-값 edge transport와 비교하기 위해, vertex gauge group을
$$
\mathrm{Gau}(K) := \{h : K_0 \to Sp(1)\}
$$
으로 둔다.
본 절에서는 $\mathcal U(K)$ 위에 오른쪽 작용
$$
(u \cdot h)(v) := u(v)h(v)
$$
을 취한다. 이에 대응하여 $\mathcal A(K)$ 위에는
$$
(h \cdot g)(\vec e) := h\bigl(s(\vec e)\bigr)^{-1} g(\vec e) h\bigl(t(\vec e)\bigr)
$$
로 gauge action이 유도된다. 이 convention 아래에서 induced edge transport는 정확히
$$
g_{u \cdot h} = h \cdot g_u
$$
를 만족한다. 실제로
$$ \begin{aligned} g_{u \cdot h}(\vec e) &= \bigl(u(s(\vec e))h(s(\vec e))\bigr)^{-1} \bigl(u(t(\vec e))h(t(\vec e))\bigr) \\ &= h(s(\vec e))^{-1} u(s(\vec e))^{-1} u(t(\vec e)) h(t(\vec e)) \\ &= h(s(\vec e))^{-1} g_u(\vec e) h(t(\vec e)) \end{aligned} $$
이다.
따라서 전역 왼쪽곱은 $u$의 parametrization redundancy이고, 오른쪽의 local multiplication은 edge transport에 비자명하게 작용하는 gauge symmetry이다.
이제 모든 $2$-cell에서 flat한 edge configuration들의 집합을
$$
\mathcal A_{\mathrm{flat}}(K) := \{ g \in \mathcal A(K) \mid F_g(f)=1 \ \text{for all } f \in K_2 \}
$$
로 정의한다.
한편, vertex quaternion으로부터 유도되는 edge configuration들의 집합을
$$
\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K) := \{ g_u \mid u \in \mathcal U(K) \} \subset \mathcal A(K)
$$
로 정의하면, 앞 절의 논의에 의해
$$
\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K) \subset \mathcal A_{\mathrm{flat}}(K)
$$
가 성립한다.
그러나 일반적으로 이 포함은 equality가 아니다. 즉, 모든 flat $Sp(1)$-valued edge configuration이 vertex quaternion으로부터 유도되는 것은 아니다. connected complex $K$와 기준점 $v_0 \in K_0$를 택하면, 기준점에서 항등인 gauge transformation들의 부분군
$$
\mathrm{Gau}_0(K) := \{ h \in \mathrm{Gau}(K) \mid h(v_0)=1 \}
$$
에 대하여 표준적으로
$$
\mathcal A_{\mathrm{flat}}(K) / \mathrm{Gau}_0(K) \cong \operatorname{Hom}\bigl(\pi_1(K,v_0), Sp(1)\bigr)
$$
를 얻는다. 다시 전체 gauge group $\mathrm{Gau}(K)$으로 나누면 전역 켤레작용까지 식별되어
$$
\mathcal A_{\mathrm{flat}}(K) / \mathrm{Gau}(K) \cong \operatorname{Hom}\bigl(\pi_1(K,v_0), Sp(1)\bigr) \big/ Sp(1)
$$
로 이해된다. 여기서 우변의 $Sp(1)$ 작용은 representation에 대한 전역 켤레작용이다.
반면 induced sector $\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)$는 flat sector 전체가 아니라, 그중에서도 모든 closed edge loop holonomy가 자명한
$$
\operatorname{Hol}_C(g) = 1 \qquad \text{for all based closed edge loops } C
$$
를 만족하는 pure-gauge flat sector이다.
또한 induced sector의 원소들은 gauge-theoretic 관점에서는 모두 자명한 connection과 동치이다. 실제로 $g=g_u$에 대하여 $h=u^{-1}$를 택하면
$$
h \cdot g_u = 1
$$
이 된다. 이때 $1(\vec e) \equiv 1 \in Sp(1)$이다. 따라서 $\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)$는 풍부한 vertex parametrization을 갖지만, edge connection의 gauge moduli 관점에서는 자명 holonomy sector에 해당한다.
6. Simply connected인 경우: $\mathcal A_{\mathrm{flat}}(K)=\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)$
특히 $K$가 connected이고 simply connected이면
$$
\pi_1(K,v_0) = 0
$$
이므로 모든 flat connection은 자명한 holonomy만을 가진다. 이 경우 사실
$$
\mathcal A_{\mathrm{flat}}(K) = \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
가 성립한다.
그 이유는 다음과 같다. 임의의 $g \in \mathcal A_{\mathrm{flat}}(K)$를 잡고 기준점 $v_0 \in K_0$ 및 $u(v_0)=1$을 정한다. 임의의 vertex $v \in K_0$에 대하여, $v_0$에서 $v$까지의 oriented edge path를 하나 택하고 그 path를 따른 ordered product로 $u(v)$를 정의한다. 각 $2$-cell 경계에서의 holonomy가 자명이므로, $2$-cell boundary를 삽입하거나 제거하여 path를 바꾸어도 이 값은 변하지 않는다. 또한 $K$가 simply connected이므로 임의의 두 path의 차이는 attaching $2$-cell boundary들의 곱으로 소거되며, 따라서 $u(v)$의 정의는 path-independent가 된다. 이때 구성된 $u$는
$$
g(\vec e) = u(s(\vec e))^{-1}u(t(\vec e))
$$
를 만족하므로 $g=g_u$이다. 따라서 모든 flat configuration이 induced form으로 표현된다.
즉, connected simply connected $2$-complex에서는 flat sector 전체와 induced sector가 일치한다.
7. Connected complex에서 $\mathcal U_{\mathrm{red}}(K)\cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)$
이제 $K$의 $1$-skeleton이 연결되어 있다고 하자. 그러면
$$
\mathcal U_{\mathrm{red}}(K) \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
가 성립한다.
이를 보이기 위해 사상
$$
\Phi : \mathcal U(K) \to \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K), \qquad \Phi(u) = g_u
$$
를 생각하자. $\Phi$는 정의상 전사이다.
이제 $\Phi(u) = \Phi(u')$라고 하자. 그러면 모든 oriented edge $\vec e$에 대하여
$$
u(s(\vec e))^{-1}u(t(\vec e)) = u'(s(\vec e))^{-1}u'(t(\vec e))
$$
이므로
$$
u'(t(\vec e))u(t(\vec e))^{-1} = u'(s(\vec e))u(s(\vec e))^{-1}
$$
가 된다.
따라서
$$
a(v) := u'(v)u(v)^{-1}
$$
는 인접한 vertex들마다 같은 값을 가진다. $1$-skeleton의 연결성에 의해 $a(v)$는 전체 $K_0$ 위에서 하나의 상수 $a \in Sp(1)$와 같아진다. 즉,
$$
u'(v) = a u(v) \qquad (v \in K_0)
$$
가 된다.
반대로 임의의 상수 $a \in Sp(1)$에 대하여
$$
g_{a \cdot u} = g_u
$$
이므로, $\Phi$의 fiber는 정확히 전역 왼쪽곱 궤도와 일치한다. 따라서 $\Phi$는 quotient를 거쳐 잘 정의된 전단사
$$
\bar\Phi : \mathcal U(K)/Sp(1) \to \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
를 유도한다. 즉,
$$
\mathcal U(K)/Sp(1) \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
이므로
$$
\mathcal U_{\mathrm{red}}(K) \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
이다.
이는 연결된 복합체에서는 서로 다른 reduced vertex quaternion 상태들이 정확히 induced edge transport configuration들과 일대일 대응함을 의미한다.
참고로, $1$-skeleton이 연결되지 않은 경우에는 각 연결성분마다 독립적인 전역 왼쪽곱이 존재하므로, 위 결과는 일반적으로
$$
\mathcal U(K)/Sp(1)^{\pi_0(K)} \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
의 형태로 바뀐다.
8. 요약
이 모델에서 기본 자유도는 vertex quaternion
$$
u \in \mathcal U(K) = \{u : K_0 \to Sp(1)\}
$$
에 있고, edge transport는 항상 그 상대값
$$
g_u(\vec e) = u(s(\vec e))^{-1}u(t(\vec e))
$$
으로 유도된다.
따라서 모든 triangular face와 square face에 대해
$$
F_{g_u}(f) = 1
$$
가 자동으로 성립하여 face-level flatness가 만족된다. 그러나 사실 이 성질은 삼각결합과 사각결합에만 국한되지 않으며, induced 구조 때문에 임의의 closed edge loop $C$에 대해서도
$$
\operatorname{Hol}_C(g_u) = 1
$$
가 성립한다. 즉, induced sector에서는 비자명한 loop holonomy가 존재하지 않는다.
결국 이 모델이 직접 기술하는 것은 $\mathcal A(K)$ 전체도 아니고, 모든 flat edge configuration 전체도 아니라,
$$
\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K) = \{ g_u \mid u \in \mathcal U(K) \}
$$
로 주어지는 pure-gauge flat sector, 즉 vertex quaternion으로부터 유도되는 자명 holonomy sector이다.
또한 $1$-skeleton이 연결되어 있으면
$$
\mathcal U_{\mathrm{red}}(K) = \mathcal U(K)/Sp(1) \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
가 성립하므로, reduced vertex quaternion 상태와 induced edge transport 상태는 서로 동등하게 기술된다.